大學數(shù)學高數(shù)微積分導(dǎo)數(shù)概念課堂講義匯報人：AA2024-01-25contents目錄導(dǎo)數(shù)概念引入導(dǎo)數(shù)定義及性質(zhì)微分概念與運算導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系及應(yīng)用典型例題解析與課堂練習導(dǎo)數(shù)概念引入0103物理意義描述物體運動快慢和方向的物理量，是微積分在物理學中的重要應(yīng)用之一。01平均速度物體在某段時間內(nèi)位移與時間的比值。02瞬時速度物體在某一時刻或某一位置的速度，即平均速度在時間間隔趨于零時的極限。瞬時速度問題切線定義與曲線在某點只有一個公共點的直線。幾何意義切線斜率是函數(shù)圖像在某點局部變化率的反映，是微積分在幾何學中的應(yīng)用。切線斜率切線傾斜角的正切值，反映切線的傾斜程度。切線斜率問題邊際概念在經(jīng)濟學中，邊際通常指新增一個單位自變量時因變量的變化量。邊際分析研究自變量微量變動時因變量如何隨之變動的分析方法。經(jīng)濟意義邊際分析有助于企業(yè)或個人在決策時權(quán)衡利弊，實現(xiàn)資源的最優(yōu)配置和效益最大化。經(jīng)濟學中邊際問題導(dǎo)數(shù)定義及性質(zhì)02導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。要點一要點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$，就是曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)定義左右導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處的左導(dǎo)數(shù)定義為$lim_{Deltaxto0^-}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Deltax}$，右導(dǎo)數(shù)定義為$lim_{Deltaxto0^+}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Deltax}$。可導(dǎo)性判斷函數(shù)在某一點可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。左右導(dǎo)數(shù)及可導(dǎo)性判斷$(upmv)'=u'pmv'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$（其中$vneq0$）。導(dǎo)數(shù)的四則運算法則如果函數(shù)$u=g(x)$在點$x$可導(dǎo)，而函數(shù)$y=f(u)$在點$u=g(x)$可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$在點$x$也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$或$frac{dy}{dx}=f'(u)cdotg'(x)$。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)、可導(dǎo)且$f'(x)neq0$，那么它的反函數(shù)$x=varphi(y)$在對應(yīng)區(qū)間上也可導(dǎo)，且$varphi'(y)=frac{1}{f'(varphi(y))}$或$frac{dx}{dy}=frac{1}{frac{dy}{dx}}$。反函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)由參數(shù)方程$begin{cases}x=varphi(t)y=psi(t)end{cases}$給出，且$varphi'(t)$和$psi'(t)$存在且$varphi'(t)neq0$，那么函數(shù)在對應(yīng)點上可導(dǎo)，且$frac{dy}{dx}=frac{psi'(t)}{varphi'(t)}$。參數(shù)方程求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)微分概念與運算03微分定義及幾何意義微分定義微分是函數(shù)局部變化率的一種線性描述方式，即當函數(shù)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量增量之商的極限。幾何意義微分在幾何上表示函數(shù)圖像在某一點處的切線斜率，即函數(shù)在該點的變化率。微分運算法則包括常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的微分法則。基本初等函數(shù)的微分法則包括加法、減法、乘法、除法等四則運算的微分法則，以及復(fù)合函數(shù)的微分法則和隱函數(shù)的微分法則。微分運算法則高階微分的定義高階微分是指對函數(shù)進行多次微分運算，得到的結(jié)果稱為函數(shù)的高階微分。高階微分的幾何意義高階微分在幾何上表示函數(shù)圖像在某一點處的曲率，即函數(shù)在該點的彎曲程度。高階微分的計算高階微分的計算可以通過連續(xù)應(yīng)用微分運算法則來實現(xiàn)，也可以通過公式直接計算。高階微分簡介導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系及應(yīng)用04導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，而微分則描述了函數(shù)在該點處的局部線性逼近。兩者之間存在緊密聯(lián)系，微分是導(dǎo)數(shù)乘以自變量的增量。導(dǎo)數(shù)與微分的定義及聯(lián)系在一元函數(shù)中，可導(dǎo)與可微是等價的，即函數(shù)在某一點處可導(dǎo)當且僅當該點處可微。這一性質(zhì)為微積分學中的許多問題提供了便利。可導(dǎo)與可微的等價性導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系VS利用微分可以得到函數(shù)的近似計算公式，如泰勒公式等。這些公式在求解復(fù)雜函數(shù)的近似值時非常有用，可以避免直接計算帶來的誤差。微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用在數(shù)值計算中，微分被廣泛應(yīng)用于求解方程的近似解、計算函數(shù)的極值等問題。通過微分可以將這些問題轉(zhuǎn)化為求解導(dǎo)數(shù)的零點或極值點，從而簡化計算過程。微分近似公式及應(yīng)用微分在近似計算中應(yīng)用誤差傳播公式及應(yīng)用在測量和計算過程中，誤差是不可避免的。利用微分可以推導(dǎo)出誤差傳播公式，用于估計誤差對最終結(jié)果的影響程度。這對于提高測量和計算的精度具有重要意義。微分在誤差分析中的應(yīng)用通過對測量或計算過程中產(chǎn)生的誤差進行微分分析，可以找出影響結(jié)果的主要因素，并采取相應(yīng)的措施減小誤差。這種方法在科學實驗、工程設(shè)計等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價值。微分在誤差估計中應(yīng)用典型例題解析與課堂練習05例1求函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)。解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x+Deltax)-f(x)}{Deltax}$。將$f(x)=x^2$代入公式，得到$f'(2)=lim_{Deltaxto0}frac{(2+Deltax)^2-2^2}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}frac{4Deltax+Deltax^2}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}(4+Deltax)=4$。典型例題解析求函數(shù)$f(x)=sinx$在$x=frac{pi}{2}$處的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)，$f'(x)=lim_{Deltaxto0}frac{sin(x+Deltax)-sinx}{Deltax}$。利用三角函數(shù)的和差化積公式，得到$f'(frac{pi}{2})=lim_{Deltaxto0}frac{cosDeltax-1}{Deltax}=0$。例2解析典型例題解析例3求函數(shù)$f(x)=e^x$的導(dǎo)數(shù)。解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，$(e^x)'=e^x$。因此，$f'(x)=e^x$。典型例題解析求函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)。練習1求函數(shù)$f(x)=cosx$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)。練習2求函數(shù)$f(x)=lnx$的導(dǎo)數(shù)。練習3課堂練習題選講對于多項式函數(shù)$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0$，其導(dǎo)數(shù)