四川省瀘州市瀘縣第五中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．利用反證法證明“若，則”時，假設正確的是（）A．都不為2 B．且都不為2C．不都為2 D．且不都為22．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為假命題，則均為假命題；③命題，則，其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．85．已知是函數(shù)的一個零點，若，則（）A．, B．,C．, D．,6．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)圖像對應的解析式為（）A． B．C． D．8．設函數(shù)，有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為（）A． B． C． D．9．設，則（）A． B．10 C． D．10010．若圓和圓相切，則等于()A．6 B．7 C．8 D．911．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)12．關于函數(shù)的四個結論：的最大值為；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得到函數(shù)的圖象；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；圖象的對稱中心為其中正確的結論有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象如圖所示，則的取值范圍是__________．14．若隨機變量，已知，則_____．15．已知定義在上的函數(shù)滿足（其中為的導函數(shù)）且，則不等式的解集是__________．16．棱長為的正四面體的高為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.18．（12分）設函數(shù)（k為常數(shù)，e＝1．71818…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（1）若函數(shù)在（0,1）內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍．19．（12分）已知的展開式中第項是常數(shù)項.（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項，20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．21．（12分）平面直角坐標系xOy中，拋物線的焦點為F，過F的動直線l交于M、N兩點.（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；（2）若，求線段MN的中點P的軌跡方程；（3）求的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列的前項的和，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項的和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)反證法的知識，選出假設正確的選項.【題目詳解】原命題的結論是“都為2”，反證時應假設為“不都為2”．故選：C【題目點撥】本小題主要考查反證法的知識，屬于基礎題.2、B【解題分析】試題分析：“若，則”的逆否命題為“若，則”，為真命題；若為假命題，則至少有一為假命題；命題，則，所以正確的個數(shù)是1，選B.考點：命題真假【名師點睛】若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假，需先判斷構成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式（組）求解即可.3、A【解題分析】

代入特殊值對選項進行驗證排除，由此得出正確選項.【題目詳解】若，符合題意，由此排除C,D兩個選項.若，則不符合題意，排除B選項.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎題.4、B【解題分析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．5、B【解題分析】

轉化是函數(shù)的一個零點為是函數(shù)與的交點的橫坐標,畫出函數(shù)圖像,利用圖像判斷即可【題目詳解】因為是函數(shù)的一個零點,則是函數(shù)與的交點的橫坐標,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,則當時,在下方,即；當時,在上方,即,故選：B【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點問題,考查數(shù)形結合思想與轉化思想6、B【解題分析】

由導數(shù)與極大值之間的關系求解．【題目詳解】函數(shù)在極大值點左增右減，即導數(shù)在極大值點左正右負，觀察導函數(shù)圖象，在上有兩個有兩個零點滿足．故選：B.【題目點撥】本題考查導數(shù)與極值的關系．屬于基礎題．7、B【解題分析】

函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得，再將所得圖像向左平移個單位，得，選B.8、B【解題分析】

先由題意得到方程在上僅有一個實根；令，得到函數(shù)與直線在上僅有一個交點；用導數(shù)的方法判斷單調(diào)性，求出最值，結合圖像，即可得出結果.【題目詳解】因為函數(shù)，有且僅有一個零點；所以方程在上僅有一個實根；即方程在上僅有一個實根；令，則函數(shù)與直線在上僅有一個交點；因為，由得，因為，所以；由得，因為，所以；所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此作出函數(shù)的大致圖像如下：因為函數(shù)與直線在上僅有一個交點，所以，記得.故選B【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，通常將函數(shù)零點問題，轉化為兩函數(shù)圖像交點的問題，結合圖像求解即可，屬于常考題型.9、B【解題分析】

利用復數(shù)的除法運算化簡為的形式，然后求得的表達式，進而求得.【題目詳解】，，.故選B.【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的平方和模的運算，屬于基礎題.10、C【解題分析】

根據(jù)的圓標準方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件,分別求得的值并驗證即可得結果.【題目詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．【題目點撥】本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關系，屬于基礎題.兩圓半徑為，兩圓心間的距離為，比較與及與的大小，即可得到兩圓的位置關系.11、D【解題分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點屬于已知區(qū)間即可.【題目詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點，因為函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選:D.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.12、B【解題分析】

把已知函數(shù)解析式變形,然后結合型函數(shù)的性質(zhì)逐一核對四個命題得答案．【題目詳解】函數(shù)的最大值為,故錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,得即得到函數(shù)的圖象,故正確;由解得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為故錯誤；由,得圖象的對稱中心為,故錯誤.∴其中正確的結論有1個。故選:B.【題目點撥】本題考查命題的真假判斷與應用,考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),考查三角函數(shù)的平移變換,難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)圖像得，解得b,a關系,即得解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求取值范圍.詳解：因為根據(jù)圖像得，所以點睛：本題考查冪函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)求最值方法.14、0.363【解題分析】

根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，根據(jù)曲線的對稱性，得到的值，即可求解.【題目詳解】由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以圖象關于對稱，因為，根據(jù)曲線的對稱性，可得.【題目點撥】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性的應用，其中解答中熟練應用正態(tài)分布曲線的對稱性，合理計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】分析：根據(jù)題意，令g（x）=，對其求導可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結合f（1）=e可得g（1）=，則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），借助函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，令g（x）=，則其導數(shù)g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），則有g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；且g（1）=；則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則有x＜1；則不等式f（x）＞ex的解集為（-∞,1）；故答案為：．點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和解不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答本題的關鍵是構造函數(shù)g（x）=求其單調(diào)性,再利用單調(diào)性解不等式g（x）＞g（1）.16、【解題分析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點撥】本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結構，結合勾股定理進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

⑴因為，所以，即,其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因為，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（1）．【解題分析】

試題分析：（I）函數(shù)的定義域為，由可得，得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）分，，，時，討論導函數(shù)值的正負，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點的有無、多少.試題解析：（I）函數(shù)的定義域為，由可得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由（I）知，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點；當時，設函數(shù)，因為，當時，當時，，單調(diào)遞增，故在內(nèi)不存在兩個極值點；當時，得時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點；當且僅當，解得，綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為.考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，分類討論思想，不等式組的解法.19、(1)(2)【解題分析】

（1）利用展開式的通項計算得到答案.（2）因為，所以二項系數(shù)最大的項為與，計算得到答案.【題目詳解】解：（1）展開式的通項為因為第項為常數(shù)項，所以第項,即（2）因為，所以二項系數(shù)最大的項為與即【題目點撥】本題考查了二項式的計算，意在考查學生的計算能力.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）最大值為6，,最小值為【解題分析】

（1）求出定義域和導數(shù)，由導數(shù)大于零，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于零，可得減區(qū)間。（2）由（1）可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求出極值，與端點值進行比較，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域為，由得令得，當和時，；當時，，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1），列表得單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為，，，所以在區(qū)間上的最大值為6，,最小值為．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問題，考查學生的基本運算能力，屬于基礎題。21、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，問題得一解決，（2）利用點差法和中點坐標公式和點斜式方程即可求出，（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根據(jù)根系數(shù)的關系和兩角和的正切公式，化簡整理即可求出．【題目詳解】解：（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，∴Γ的方程為y2＝x，（2）拋物線Γ：y2＝4x，設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l為y﹣y0（x﹣x0），又l過點F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝2（x﹣1）（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，則y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，則tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），，，，，，故tan∠MON的取值范