3．2立體幾何中的向量方法

第1課時空間向量與平行、垂直關系學習導航學習目標重點難點重點：利用空間向量證明線線、線面、面面垂直與平行．難點：把線、面問題轉化為向量問題．新知初探思維啟動1.法向量如圖所示,直線l⊥α,取直線l的___________，則向量a叫做平面α的_________，給定一點A和一個向量a，則過點A，以a為法向量的平面是完全確定的．方向向量a法向量想一想直線的方向向量和平面的法向量是惟一的嗎？提示：不惟一．2.空間中平行關系、垂直關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α,β的法向量分別為u，v，則線線平行l∥m?a∥b?a＝kb；線面平行l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行α∥β

?u∥v?u＝kv；線線垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku；面面垂直α⊥β

?u⊥v?u·v＝0.做一做根據下列各條件，判斷相應的直線與直線、平面與平面的位置關系：(1)直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；(2)平面α，β的法向量分別是u＝(1，3，0),v＝(－3，－9，0)．已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，試求出平面ABC的一個法向量．典題例證技法歸納題型探究例1求平面的法向量(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定某個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的法向量．例2利用空間向量證明平行關系已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【名師點評】

(1)用向量法證明線面平行：一是證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；二是證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量且直線不在平面內；三是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內．(2)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．變式訓練2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.例3利用空間向量證明垂直關系(本題滿分12分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1，E、F分別是BC、CC1的中點．(1)求證：平面A1B1F⊥平面C1DE；(2)在AB上確定一點P，使C1P⊥平面A1DE.【思路點撥】

(1)證明面面垂直即證它們的法向量垂直；(2)證C1P⊥平面A1DE，只要證C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．名師微博利用法向量與平面內兩不共線向量垂直求法向量是本題關鍵.取y2＝1，則得x2＝－2，z2＝－1，∴平面C1DE的一個法向量為n2＝(－2，1，－1)．…(7分)∴n1·n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)【名師點評】

(1)用向量法判定線面垂直，只需直線的方向向量與平面的法向量平行或直線的方向向量與平面內兩相交的直線的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定兩個平面垂直，只需求出這兩個平面的法向量，再看它們的數量積是否為0即可．變式訓練3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明：由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直，以B為原點,分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，備選例題1.如圖，在正方體AC1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?解：建立如圖所示的坐標系，設正方體的棱長為2,則O(1，1，0)，A(2，0，0),P(0，0，1),B(2，2，0)，D1(0，0，2).再設Q(0，2,c),2.如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求證：平面ADE⊥平面ABE.方法感悟方法技巧1.用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直問題，主要運用了直線的方向向量和平面的法向量，同時也要借助空間中已有的一些關于平行、垂直的定理．2.用向量方法證明平行、垂直問題的步驟：(1)建立空間圖形與空間向量的關系(可以建立空間直角坐標系，也可以不建系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面；(2)通過向量運算研究平行、垂直問題；(3)根據運算結果解釋相關問題．