小學三年級上冊數學奧數知識點講解第5課《找幾何圖形的規律》試題附答案

第五講找幾何圖形的規律

找規律是解決數學問題的一種重要的手段，而規律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴密的邏輯推理能力.為培養這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應從哪些方面來觀察思考。因此，學習本講的知識有助于

養成全面地、由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習慣，可以逐步掌握通

過觀察發現規律并利用規律來解決問題的方法。

下面就來看幾個例子。

△△△△

△△△□

△?□□

△□□□

圖5-1

例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規律,

在帶“？”的空格處應畫什么樣的圖形？

例2請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規律填出空白處的圖形。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規律，并在“？”處填上合適的圖形.

(a)(b)(c)(d)

例4下圖中的圖形是按一定規律排列的，請仔細觀察，渾在“？”處填上適當

的圖形.

四

A@)?

(d)(e)(f)

o?A

(g)(h)(1)

例5觀察下列各組圖的變化規律，并在“？”處畫出相關的圖形.

口匚」n

(a)(t)(c)

nkJ□

⑷￡)(f)

3由

nE

(g)Q1)(i)

例6仔細觀察下圖中圖形的變化規律，并WE“？”處填入合適的圖形.

03閨已A|?心

(b)甲

CIlIA1

(d)(f)

例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小猴坐在第2號，小

兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交

換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再

左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子

上？(參看卞圖)

巫］

Thl兔貓

位子圖開始第一次第二次第十次

例8將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不

同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。

BBS

(a)(b)(c)

答案

第五講找幾何圖形的規律

找規律是解決數學問題的一種重要的手段，而規律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴密的邏輯推理能力.為培養這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應從哪些方面來觀察思考。因此，學習本講的知識有助于

養成全面地、由淺入深、由簡到髡觀察思考問題的良好習慣，可以逐步掌握通

過觀察發現規律并利用規律來解決問題的方法。

下面就來看幾個例子。

例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規律,

在帶“？”的空格處應畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個數依次減少，而正方形的個

數依次增多，且三角形的個數按4、3、X、1的順序變化.顯然啦等于2；圖5-2

中黑點的個數從左到右逐次增多，且每一格(第一格除外)比前面的一格多兩

個點.事實上，本題中幾何圖形的變化僅表現在數量關系上，是一種較為基本

的、簡單的變化模式。

口豆豆口運

(a)(b)(c)(d)(e)

圖5-2

解：在圖5-1的“？”處應是三角形^,在圖5—2的“？”處應是

例2請觀察右圖中己有的幾個圖形，并按規律填出空白處的圖形。

□

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一

個正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發現各行、各列均沒有重

復的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我

們知道這個圖的特點是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。

因此，根據不重不漏的原則，在第二行的空格中應填一個三角形，而第三

行的空格中應填一個正方形。

解略。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規律，并在“？”處填上合適的圖形.

(a)(b)(c)(d)

分析顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時，

圖（a）、（c）中都有3個圖形，而（b）中只有兩個.由此可知：圖（a）到

（b）的變化規律對應于圖（c）到（d）的變化規律.再注意到圖（a）到圖

（b）中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形

了。

解：在上圖的“？”處應填如下圖形.

例4下圖中的圖形是按一定規律排列的，請仔細觀察，并在“？”處填上適當

的圖形.

分析本題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，

大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個圖形均不相

同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發

現：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復。因此，每行每列都只有一個

大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“？”處

的圖形就不難得出。

解：圖中，(b)、(f)、(h)處的圖形分別應填下面的圖甲、圖乙、圖

丙.

小結：對于較復雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨考慮

其變化規律，從而把復雜問題簡單化。

例5觀察下列各組圖的變化規律，并在“？”處畫出相關的圖形.

(g)(h)(i)

丙丁

分析我們先來看這樣兩個圖:

（甲）圖與（乙）圖中，點A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每

個點的位置發生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，……我

們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉，乙圖可以看作是甲圖

沿順時針方向旋轉J個圓（或90°）而得到的，甲圖也可以看作是由乙

圖沿逆時針方向旋轉*個圓（90°）而得到的同樣的道理，我們

可以把噩到噩的位置變化也稱為旋轉，叫做沿順時針方向旋轉

90°（或一格）。

現在我們再回到題目上來，容易看出：例5題中按（a）、（b）、（c）、

（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）順序排列的9個圖形，它們的變化

規律是：每一個圖形（躲外）都是由其前一個圖形逆時針旋轉90°而得到的.

甲乙丙丁四個圖形變化規律也類似。

解：圖（i）處的圖形應是下面左圖，丁圖處的圖形應是下面右圖

OO

注意：因為圖形是由旋轉而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉

而變化，作圖的時候要注意到這一點。

旋轉是數學中的重要概念，掌握好這個概念，可以提高觀察能力，加快解

題速度，對于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。

下面再來看幾個例子：

例6仔細觀察下圖中圖形的變化規律，并在“？”處填入合適的圖形.

分析顯然，圖（a）、（b）的變化規律對應于圖（c）的變化規律；圖

（d）、（e）的變化規律也對應于圖（f）的變化規律，我們先來觀察（a）、

（b）兩組圖形，發現在形狀、位置方面都發生了變化，即把圓變為它的一半一

一半圓，把三角形也變為它的一半一一直角三角形；同時，變化后圖形的位置

相當于把原圖形沿順時針方向旋轉90°而得到.因此，我們很容易地就把圖

（c）中的直角梯形還原為等腰梯形并通過逆時針旋轉而得到圖（c）“？”處

的圖形。

當我們從左到右來觀察圖（d）、（e）的變化規律時，我們發現，圖

（d）、（e）的變化規律有與圖（a）、（b）相同的一面，即都是把一個圖形

變為自身的一半，但也有與圖（a）、（b）不同的一面，即圖（d）、（e）中

右半部分的圖形無法通過旋轉原圖來得到，只能通過上下翻轉而獲得.這樣，我

們就得到了這些圖形的變化規律。

解：圖（c）中“？”處的圖形應是下面甲圖，圖（f）中“？”處的圖形

應是Z圖.

甲乙

小結：本題是一道較為復雜的題，觀察的出發點主要有3點：①形狀變

化；②位置變化；③顏色變化。

例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小猴坐在第2號，小

兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交

換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再

左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子

上？（參看下圖）

12鼠

34兔貓

位子圖開始第一次第二次第十次

分析這是“華羅庚金杯”第二屆初賽的一道試題，如果有充裕的時間，我

們當然可以把十次變化的圖都畫出來，從而得到答案.10并不是一個很大的數

字，因此這樣的方法雖然麻煩，卻也是行之有效的.然而，在初賽中，本題的思

考時間只有30秒，不可能一步步把圖畫出來，這就要求我們仔細觀察，認真思

考，找出規律再做題。

方法L因為題目中間的只是第十次交換位子后，小兔的位子是幾.因此，

我們只需考慮小兔的位子變化規律，小兔剛開始時在3號位子，記為③，則

變化過程為：③一次①二次②三次④四次③一…容易看出，每一

次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉動一格，每四次交換座位后，小

兔又回到原處，知道了這個規律，就不難得出答案.即10次后，小兔到了第2號

位子。

方法2：受方法一的啟示，我們可以思考，其他小動物的變化規律怎樣？四

個小動物的整體變化規律又怎樣呢？事實上，當我們仔細觀察示意圖時會發

現，開始的圖沿順時針方向旋轉兩格（即180。）時，恰得到第二次交換位子后

的圖，由此可以知道，每一次上下交換后再一次左右交換的結果就相當于把原

圖沿順時針方向旋轉180。，第十次交換位子后，相當于是這些小動物沿順時針

方向轉了4圈半，這樣，我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規律.但其

中需注意一點的是：單獨一次上下（或左右）的交換與旋轉90°得到的結果是

不同的.小貓、小鼠的位子變化規律是沿逆時針方向，而小猴的位子變化規律與

小兔相似。

解：第十次交換位子后，小兔到了2號位子。

例8將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不

同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。

行俾再

(a)(b)(c)

分析本題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖(a)、

(b)、(c)都是同一個正方體的不同擺法，所以，(a)、(b)、(c)可以

通過旋轉來互相轉化，這三個圖形中，字母C所在的一面始終不改變位置.因

此，這三個圖形的轉化只能是前后轉動.把圖(a)向后翻轉一次(90°)得圖

(b),由此可知，字母A的對面是D,把圖(a)向前翻轉一次(90°)得圖

(c),所以，字母B的對面是字母E,最后得出只有字母C、F相對。

解：正方體中，相對的字母分別是A—D、B—E,C—Fo

總結：一般地說，在觀察圖形變化的規律時，應抓住以下幾點來考慮問

題：

1.圖形數量的變化；

2.圖形形狀的變化；

3.圖形大小的變化；

4.圖形顏色的變化；

5.圖形位置的變化；

6.圖形髡簡的變化等。

對較復雜的圖形，也可分成幾部分來分別考慮.總而言之，只要全面觀察,

勤于思考，就一定能抓住規律、解決問題。

習題五

L順序觀察下面圖形，并按其變化規律在“？”處填上合適的圖形。

④

?

⑴

(g)

2.一個正方體的小木塊，1與6、2與5、3與4分別是相對面，如照下圖那樣

放置，并按圖中箭頭指示的方向翻動，則木塊翻動到第5格時，木塊正上方那一

面的數字是多少？

三年級奧數上冊：第五講找幾何圖形的規律習題解答

習題五解答

1.解：①圖（a）到（b）的規律也就是圖（c）到（d）的規律，所以①中

“？”處應填的是下圖。

皂

②圖（a）和（c）的規律就是圖（b）到（d）的規律，也即把原圖沿逆時

針方向旋轉180。.因此②中“？”處的圖形是下圖.

③圖（c）處的圖形應是下圖。

④把圖形分為頂部、中部和底部分別考慮，@中”處的圖形應是下圖.

2.答.是3.

附：奧數技巧分享

分享四個奧數小技巧。希望孩子早進步哦。

技巧1：培養孩子數字感

要想入門奧數，很大一部分程度上靠的就是孩子的數字感