人教版高中數學必修第二冊第六章教案教學設計

第六章平面向量及其應用

6.1平面向量的概念

一、教學目標

1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、

單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向

量.

2.通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別，培養學生數學

抽象、邏輯推理、直觀想象等數學素養。

二、教學重難點

1.教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，

會表不向量*

2.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.

難點突破：借助原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念，結合圖形實物區分平行

向量、相等向量、共線向量等概念.

三、課前準備

1.了解物理學中的矢量和標量；

2.了解有向線段的定義

四、教學過程

1、情景引入

一輛摩托車在公路向東向東快速行駛了一段距離，產生了一段位移,距離和位移一樣嗎？

【答案】摩托乍行駛的路線實際上是有方向、有長短的量，距離和位移不一定一樣.m

2、探索新知

（1）向量的實際背景與概念

問題1：位移與距離這兩個量有什么區別？

【答案】距離只有大小，是標量；位移既有大小，又有方向，是矢量,。

向量與數量的定義：

只有大小，沒有方向的量叫做數量（在物理學中稱為標量）.既有大小，又有方向的量叫

做向量（在物理學中稱為矢量）；

注意：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、能比較大小；而向量既有大小

又有方向，向量是不能比較大小的.

練習：判斷下列量不是向量的選項是（）

A.距離B.速度C.力D.密度

【答案】選AD

（2）向量的表示

問題：由于實數與數軸上的點一一對應，數量可以用數軸上的一個點來進行表示，那么向

量是如何表示呢？

有向線段的定義

以A為起點，B為終點，則線段AB具有方向，把這樣具有方向的線段AB叫做有向線段.

如圖，以A為起點、B為終點的有向線段記作AB.

a（終點）

線段AB的長度也叫做有向線段通的長度，記作.

A（起點）

問題:一條有向線段由哪些要素所確定？

【答案】起點、方向、長度.

向量的幾何表示

（1）幾何表示法：用有向線段的長度表示向量的大小，箭頭

B（終點）

所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；A（起點）

①用有向線段字母表示：AB（A為起點、B為終點）；

②用小寫字母表示：a、b、c；（印刷用a,書寫用a）

注意：

用有向線段表示向量時,起點的位置可以是任意的，所以向量與起點無關，規定數學中

的向量具有自由性.

4.向量的模

向量麗的大小稱為向量屈的長度（或模），記作|瓦|或記作

思考：向量的模的取值范圍？

【答案】非負數。

5.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作6.

思考：6與o的含義與書寫區別.

單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量.

思考：平面直角坐標系內，起點在原點的單位向量，它們的終點的軌跡是什么圖形？

【答案】以原點為圓心，1為半徑的圓

注意：（1）零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.

（2）向量是不能比較大小的，但向量的模（是非負數）是可以進行大小比較的.

（三）.相等向量與共線向量

1.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規定。與任一向量平行.

思考：若a〃1，bHe,貝！|a〃c?

【答案】若3=6時，則不成立

2.相等向量定義:

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說朋：（1）零向量與零向量相等，但是兩個單位向量不一定相等；（3）向量是否相等只

與大小和方向有關，與起點無關.

3.共線向量與平行向量關系：

如圖所示,因為任一組平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的

起點無關），所以平行向量就是共線向量.

b,c_b..a

?COAB

鞏固訓練：填空：（對下列選項對的打4錯的x）

（1）平行向量一定方,向相同（）

（2）不相等的向量一定不平行（）

（3）與零向量相等的向量必定是零向量？（）

（4）與任意向量都平行的向量是零向量？（）

（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是平行向量？（）

（6）兩個非零向量相等的當且僅當長度相等且方向相同（）

（7）共線向量一定在同一直線上（）

【答案】（1）x（2）x（3）4（4）4（5）4（6），（7）x

例1.如圖，設0是正六邊形ABCDEF的中心，

（1）寫出圖中的共線向量；

（2）分別寫出圖中與向量蘇、0B,無相等的向量.'

解：（1）無麗,55,^^共線向量;而，灰，麗,1?是共線向量;

OC,AB,ED,而是共線向量;

⑵OA=CB=DQOB=DC=E60C=AB=ED=FO；

例2.如圖所示，4x3的矩形（每個小方格都是單位正方形），在起點和終點都在小方格的頂點

處的向量中，試問：

B

（1）與幾相等的向量共有幾個;

（2）與A%方向相同且模為3行的向量共有幾個;

分析:根據共線向量和相等向量的定義、以及模的計算和對?正方形的對角線即可.

解油題意可知，因為每個小方格都是單位正方形,

所以每個小正方形的對角線的長度為應且都與平行，則=V22+22=2V2,

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量,

則與我相等的向量共有5個，如圖1；

（2）與a方向相同且模為3后的向量共有2個，如圖2.

點睛:本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計算，考查分析問題的能力和

數形結合思想.

五、課堂小結

1.向量的概念；

2.向量的表示：代數表示、幾何表示；

3.研究向量的兩個方面：

大小：零向量、單位向量；

方向：共線向量、平行向量；

大小與方向：相等向量、相反向量

4.數學思想方法：數形結合、分類討論（注意對。的討論）。

六、課后作業

習題6.12,3題

六、課后反思

本節課是“平面向量及其應用”的起始課，依據數學課程改革應關注知識的發生和發展

過程的理念，因此在向量概念的引入過程中，從物理的角度創設問題情景，使學生明白研究

向量不僅是數學本身發展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產生強烈的求知欲望。最

后又通過物理問題如何用數學的方式加以解決，為學生理解向量的數量積以及向量在實際問

題中的應用埋下伏筆。教學中還需注意以下三個方面：

(1)通過平面向量的概念形成,讓學生體會“平面向量具有集形與數于一身的特征；

(2)引導學生抓住大小與方向兩個方面，讓學生去發現結論，再由學生或師生共同完善

概念。使學生感受知識自然形成的過程，同時也培養了學生的創新意識。

第六章平面向量及其應用

6.2.1向量的加法

一、教學目標

1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2.熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會作已知兩向量的和向量:

3.理解向量加法運算律，并能熟練地運用它們進行向量計算。

4.通過對向量加法的學習，培養學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學素養。

二、教學重難點

1.兩個向量的和的概念及其幾何意義；

2.向量加法的運算律。

三、教學過程：

1、情景引入

在大型生產車間里，一重物被天車從A處搬運到B處，如圖所示.它的

實際位移瓦萬，可以看作水平運動的分位移衣與豎直運動的分位移標的合位

問題1：根據物理中位移的合成與分解，你認為荏，AD,AC之間有什么關系？

【答案】AB=AC+AD.

問題2：向量AB,AC,CB之間有什么關系？

【答案】^B=AC+CB.

2、探索新知

（1）向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示：AB+BC=AC.

規定：零向量與任一向量。，都有Q+6=6+Q=Q.

說明：①共線向量的加法：J

--->----->A~書"與

②不共線向量的加法：如圖（1）,已知向量￡,b,求作向量￡+石.

作法：在平面內任取一點。（如圖（2））,作=AB=b,則。月=￡+B.

(1)(2)

（2）.向量加法的法則：

三角形法則：根據向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。

表示：。4+鉆=。8.【口訣】尾首相接首尾相連。

平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量坂為鄰邊作口ABC。，則

則以A為起點的對角線/就是Z與B的和,這種求向量和的方法稱為向量加法的平行

四邊形法則。

【口訣】共起點，和為對角線。

小組合作探究：

問題1：若向量）和各共線，它們的加法與數的加法有什么關系？你能否做出向量Z+Z嗎？

【答案】（1）當［和Z同向時，a+b=AB+BC^AC:

（2）當a和人反向時，a+b=AB+BC-AC

問題2|Z+譏向,曲之間具有什么樣的關系。

【答案】當Z和/反向或不共線時，日+川<|3|+向：當［和）同向時，日+3H〉I+曲。

綜上,\a+b\^a\+\b\.

問題3：向量的加法能否像數的加法也滿足交換律和結合律呢？

【答案】如圖所示：在平行四邊形A8C。中，AC=AB+~BC=a+b,

AC=AD+DC=b+a,所以a+B=B+a。

在圖(2)中，AD=AB+BC+CD—AC+CD=(a+b)+c,

AB+BC+CD=Afi+BD=a+(^+c).所以，

(a+Z?)+c=a+S+c)。

運算律：

交換律：a+h-b+a.結合律：(a+b)+c=a+(b+c).

4.例題分析：

例1.化簡下列各式：

(DPB+OP+BO；

(2)(AJ3+MB)+Bd+OM；

(3)AJB+BC+W+DE.

解：⑴而+而+而=(而+兩+而=而+麗=0；

(2)(AB+MB)+BO+OM=(AB+BO)+(^M+MB)

=AO+OB=AB.

(3)AJB+BC+CD+DE=AC+CD+DE^AD+DE

=AE.

例2.如圖，點。是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，則下列兩個等式一定成立的是哪個?

BO+OC=BC=AD,故②錯誤

注意：向量求和，注意“首尾順次相連”；向量加法的結果還是向量力

例3.小雨滴在無風時以4m/s的速度勻速下落.一陣風吹來，使傳小雨滴以3m/s的速

度向東移動.那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？

（提示：tan37°=1）

解：如圖，設OA表示小雨滴無風時下落的速度,0b表示風的速度，以OA,0B為鄰邊作

平行四邊形0ACB,則℃就是小雨滴實際飛行的速度.在RtAOAC中,OA|=4m/s,

所以Ioc—5m/s.且tanNAOC=*

ACI=3m/s,即NA0CN37°.

所以小雨滴實際飛行速度為5m/s,方向約為東偏南53°.

四、小結：L理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2.熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則以及向量加法的運算

律。

3.|a+3兇a|+|%|

五、作業：習題3.16,7,9題

第六章平面向量及其應用

6.2.2向量的減法運算

課題：平面向量的減法

一、教學目標

1.掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，

2.掌握相反向量，能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量，了解

向量方程，并會用幾何法解向量方程.

3.通過對向量減法的學習，培養學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學素養。

二、教學重難點:

1.向量減法的三角形法則.

2.對向量減法定義的理解.

三、教學過程：

1.復習回顧

首先一起回顧一下求解向量和的向量加法的平行四邊形法則與三角形法則，本節課我們

將學習向量的減法.

2、探索新知

(1)向量減法的定義：

向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a—b=a+(—b).

求兩個向量差的運算，叫向量的減法.

說明：①與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量;

②零向量的相反向量仍是零向量：

③任一向量和它相反向量的和是零向量.

(2)作法

如圖所示，以平面內的一點作為起點作a,b,則兩向量終點的連線段，并指向a終點

的向量表示a—b.

說明：向量減法可以利用相反向量轉化為向量加法,

b與a—b尾首相接，首尾相連，得到a—b=硝.

例題分析:

例1.如圖，已知向量a,b,c,d,求作向量a—b,c—d.

解：作法：如圖，在平面內任取一點0,作/=a,0B=b,

0C=c,56=d.作前，DC,則派=a-b,DC=c-d

例2.如圖，。是平行四邊形ABC。的兩條對角線的交點，則下列等式不正確的是()

A

BC

A.DA-DC=ACB.DA+DC^DO

C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC

解:對于A，DA-DC=CA＜故A錯誤；對于B，DA+DC=DB＞故8錯誤；對于

C，OA-OB+AD^BA+Ab=BD＞故C錯誤。故選:ABC

例3.如圖，四邊形。4OB是以向量礪=￡,礪=看為邊的平行四邊形，又

BM=^BC,CN=^CD,試用￡、石表示麗

BD

OA

解:BC=CA,：.BM=-BA

36f

——-1―-1----1一

/.BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).

666

OM=OB+BM=b+~(a-b]=-a+-b.

6、'66

■.CN=-CD,CD=OC,

3

ON^OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a+-b.

3333

___________221S1i

MN=ON-OM=-a+-b——a--b=-a——b.

336626

四、小結：L理解向量減法的概念及向量減法的幾何意義；

2.熟練掌握向量減法的三角形法則以及向量減法的運算。

五、作業：習題6.2.2.

第六章平面向量及其應用

6.2.3向量的數乘運算

一、教學目標

1.讓學生理解向量數乘的含義及向量數乘的運算律；

2.讓學生能由實數運算律類比向量運算律，并且驗證強化對知識的形成過程的認識，正確表

示結果；

3.理解兩向量共線(平行)的充要條件，并會判斷兩個向量是否共線。

二、教學重點

1.實數與向量積的定義及幾何意義.

2.向量共線的充要條件及其應用。

三、教學過程：

1、情景引入

質點從點。出發做勻速直線運動，若經過1s的位移對應的向量用Z表示，那么在同方

向上經過2s的位移所對應的向量可用2a來表示。

問題1：這里，2%如何表示？2Z如何表示？

已知非零向量a,求作a+a和(一。)+(-。).

a一a_a一一。_—a

>0A~EDC

如圖：Oli=a+a=2a,CE=(—a)+(—a)=—2a.

問題2：這里，2之是何種運算的結果？

2、探索新知

引出實數與向量的積的定義：

一般地，實數；I與向量￡的積是一個向量，記作力￡,它的長度與方向規定如下:

(1)|而|=|刈。|;

(2)當；i>o時，的方向與￡的方向相同；當4<0時，的方向與￡的方向

相反；

當幾=0時，Aa=6.(讓學生自己解釋其幾何意義)

實數4與向量［相乘，叫做向量的數乘

問題：通過幾何意義，讓學生嘗試驗證下列實數與向量的積的是否滿足下列運算定律

2.實數與向量的積的運算律：

(1)2(〃a)=(，，)a(結合律)；①

(2)(2+〃)￡=，￡+〃￡(第一分配律)；②

(3)A(a+b)=Aa+Ab(第二分配律).③

例1.已知向量a和向量B,求作向量一2.5a和向量2a-3h。

解：如下圖【作法】

(1)如圖所示，向量一2.53的長度是￡的長度的2.5倍，方向與2相反，即通=一2.5￡.

(2)以。為起點，分別作反=2Z,0D=3b,連結DC,則加=2%—3九

例2計算：（1）4（。-區）-3（。+2萬）；（2）2（2。+6坂-3c）-3（-3a+4B-2c）

分析：根據實數與向量的向量的線性運算的法則去解題.

解：(1)a-lObi(2)13a.

問題：向量數乘與實數乘法有哪些相同點和不同點？

生答：(1)向量的數乘與實數的乘法的區別：

相同點：這兩種運算都滿足結合律和分配律.

不同點：實數的乘法的結果(積)是一個實數，而向量的數乘的結果是一個向量.

(2)向量線性運算的結果是一個向量，運算法則與多項式運算類似.

例3.判斷下列各題中的向量是否共線：

__2---1-

(1)a=4e.——e2,b=e\---ei；

1510

(2)a=e\+ei,b=2e\-2ei,且ei,e2共線.

解：(1)當￡=G時，則B=6,顯然B與￡共線.

"?.一?I.I.7.?I.??

當a#0時，b-e\---ei--(4e,——e)--a,〃與a共線.

10415224

(3)當高，&中至少有一個為零向量時，顯然B與￡共線.

當ei,e2均不為零向量時，設ei=/le2

a=(1+4)e2,b=(2A—2)ei

若；1=一1時，，￡=6,顯然B與Z共線.

_22-2-

若4w—1時，b-------a?

1+2

???B與￡共線.

例4.設8,々是兩個不共線的向量，已知A月=24+攵《2,CB=e\+3e2,CD=2e\-ei,

若A,8,。三點共線，求攵的值。

解：BD=CD—CB-（2ei—e2）—（ei+3e2））=e\—4e?

B,。三點共線，，而與麗共線，即存在實數；1,使得通=幾而，

即是2ei+kei=2（ei-4e2）.

'2=2.

由向量相等的條件，得1一，，左=—8.

k=-4A

四、小結：

1.實數與向量積的定義；

2.理解實數與向量積的幾何意義；

3.實數與向量的積的運算律.

五、作業：習題

第六章平面向量及其應用

6.2.4向量的數量積

一、教學目標：

1、知識與技能：

通過物理中“功”的實例，理解平面向量數量積的含義，掌握平面向量數量積的性質.

2、過程與方法：

經歷從物理背景的分析，抽象概況出概念的過程，培養學生歸納概括、類比遷移的能力；

經歷通過不同的方式探究、發現平面向量數量積性質的過程，體會從特殊到一般、分類討論、

數形結合的數學思想方法.

3、情感、態度、價值觀：

通過師生互動，生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會各學科之間的

密切聯系，感受知識的形成過程，提高數學學習的興趣，形成獨立自主的鉆研精神和合作學

習的科學態度.

二、教材分析：

重點：平面向量數量積的概念和性質.

難點：平面向量數量積的性質的發現.

三、教學策略：

啟發式和問題探究相結合。

四、教學過程：

（-）創設情境展示背景

如圖小車在力F的作用下移動了一段位移是S,力和位移的夾角為。，從物理的角度來看

其實質是什么？

OO

（二）分析背景形成概念

群答：力對物體做功，力對物體做功，

問題1:圖中力對物體所做的功是多少？

W=耶際6

（可能學生回答w1耶，引導學生回答圖中的力對物體所做的功是多少？）

這里的。是什么？

生1:力和位移的夾角

問題2：影響力對物體所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移S、力和位移的夾角9

問題3：像力F、位移S這些量在物理上我們稱做什么量？大家回答看看

群答：矢量

問題4：很好！類比矢量在數學上我們把既有大小又有方向的量稱為什么量？

群答：向量

問題5：那我們用數學的眼光來看這是向量的一種什么運算？我們看等式的左邊是什么

量？

群答：標量

問題6：在數學上我們稱為什么量？

群答：數量

從求功的運算中，能否抽象出某種數學運算？（課件展示）

生5：abcosO

問題7：下面大家注意了，像這種向量運算前面我們學習了好幾種，對不對？有向量的

加法、減法、數乘，這些運算的結果都是什么量？

群答：向量

這種運算的結果是數量，跟以往不同。我們今天這節課就是從力的做功公式出發來引進

向量的一種新的運算，你能否給這種運算起個名稱？大家想想看，取什么名字好！

生6：向量的積

問題7：太好了，這里的確是向量的積的運算。有沒有人對這種運算有其他名字？

生8：向量的數量積

問題9：太棒了!大家覺得好不好！。。。。從結果來看是一個數量。還有嗎？

生9:平面向量的數量積.

師:簡直太牛了！

（由力對物體做功公式類比得出平面向量的數量積）

師：我們知道功運算中除了力和位移，還有一個夾角6,物理上稱為力和位移的夾角，在

數學上我們稱為向量的夾角，下面我們來看書本給出的向量夾角的定義：

向量的夾角：

已知兩個非零向量3和坂，作3?=￡，~OB=b＞則2403=9

叫做向量￡與坂的夾角.

問題10：兩個非零向量的夾角的范圍是什么？

（課件展示）

當且僅當兩非零向量＞、g同方向時。=;

生10：。=0°

當且僅3，各反方向時，6=；

生11:6=180°

以上統稱為aHb

當。=_________，稱［與「垂直，記作1,各.

規定：0°<0<180°

試一試：

如圖：正中,求

ABAC

（1）—與—的夾角;

ABBC

（2）與的夾角。

答案為：（1）9=60°，（2）6=120°

向量的夾角注意點：1.向量要共起點

2.角的范圍

3.幾個特殊角

下面正式給出向量數量積的定義：

已知兩個非零向量￡和石，它們的夾角為。，則數量i￡i-iW-cose叫做￡與萬的數量

積（或內積）,記作7B，即￡%=|￡||B|COS6.（板演75=|2MleOS。（￡和國不為

非零向量）

問題11：向量的數量積定義中Z和b為何要是非零向量？

探究:零向量與其他向量有沒有數量積？應如何定義？能否找出其物理模型？

（可以從|q=o或者零向量與其他向量的交角沒有定義。）

規定：零向量與任何向量的數量積為0,

比較探究

兩個向量的數量積與數乘向量有什么區別？

cose（痂與旃夾角）

兩個向量的數量積是一個實數，它的符號由

的符號所決定；而數乘向量是一個向量。

2書寫上的區別：符號“?”在向量運算中既不能省略，也不能用“X”代替。

辨析：0?窗0%加，5*6

（三）概念應用探究性質

例1.已知向量2與向量3的夾角為e,口=2,W=3,分別在下列條件下求

(1)9=135°；(2)a//b^(3)alb

解：⑴1.g=aBcos6=2x3xcosl35°=-3人；

(2)當向量Z、3同方向時。=0°,則>3=6

(3)當B反方向時，6=180°，則］$=-6

當1_L1時,6=90°,則々￡=0.

數量積的性質:

已知￡3是兩個非零向量.

(l)a_L5u>a-5=0(2)2i=|*或口=后

⑶8?用=能(4)"閘哪|

小組合作討論：

(1)如果a,褊足a4=0,試討論a與誕否垂直。，

生答：〃=6或者各=。或者a

(2)如果a,5滿足々％。0,試討論。與的夾角情況。

生答：若二取>0,則〉與否同向或者夾角為銳角；若3￡<0,則Z與各反向或者夾角為

鈍角;

變式1：已知H=2,W=3,a-b=-3>求°

生板演：3?B=ldWcose；cos^=^r=--

1111ab2

v0°<^<180°

6=120°

變式2：已知口=2,慟=3,求〉Z的范圍

生板演：7g=HWcos6?；

0°<^<180°

/.COS^G[-6,6]

練習2：在oABCD中，已知11Kl=4,|標卜3,NOA3=60°,求:

(l)AD*BC;(2)Afi?CD;(3)AB?ZM

答案：(1)9(2)-16(3)-6

（四）歸納理解學以致用

反饋練習

1.已知卜|=2,a-b=3'6=60°，求利

HIab

答案：「卜府d=3

2.在A48C中，若赤.在＜0,則AABC的形狀為

答案：鈍角三角形

3.已知正A43C的邊長為2,BC=a,CA=b,AB=c,則a?B+/?-c+c=

答案：-6

（五）回顧反思拓展延伸

1.本節課你學了哪些知識？在思想方法上有哪些收獲？

2.哪些問題你最易出錯，現在深有體會嗎？

第六章平面向量及其應用

6.3.1平面向量基本定理

一、教學目標

1.理解平面向量基本定理及其意義：

2.能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達；

3.通過學習平面向量基本定理，讓學生體驗數學的轉化思想，培養學生數學抽象、邏輯推

理、直觀想象等數學素養。

二、教學重難點

1.平面向量基本定理及其意義；

2.平面向量基本定理的理解。

三、教學過程：

1、情景引入

在物理中，我們學習了力的分解，即一個力可以分解為兩個不同方向的力，試想平面內

的任一向量是否可以分解為其他兩個向量的和？

可以

如圖，以a為平行四邊形一條對角線作平行四邊形，四邊形確定嗎？

X

A不一定能確定

小組合作探究：

問題1:如圖所示，設1是同一平面內兩個不共線的向量，Z是這一平面內與1都

不共線的向量，在平面內任取一點0,作近=［，麗=￡云=3將Z按的方向分解,

你有什么發現？

【答案】如圖，a=OC=OM+ON=^+zX

問題2：當a是零向量時，。還能用。=4弓+402表示嗎？

【答案】可以，取4=0,4=0,則Z=o1+o/

問題3：若向量a與6或02共線，那么“還能用a=4q+4e2這種形式表示嗎？

【答案】若向量。與q共線，取否=0,則。=4q+0e2。

若向量〃與與共線時，取4=0，則anOq+4G。

-*—?—?―?—?

問題4.設4名是同一平面內兩個不共線的向量，則朝口和4進行表示是否唯一?

—?“?>—?—?.■?■"?■?'

,ee

【答案】假設a=4?+/J2e2,'：a=+/U^2?'-Ai=M\\+^2^2，

(/l1—/■/］鳩+(A,—%)e,=Q4—以\=0,一從=()，

二4=〃］，且4=〃2，a用q和進行表示唯'?

2、探索新知

平面向量基本定理：

———

如果。應2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量4,有

且只有一對實數4'%,使辦02。我們把不共線向量4/2叫做表示這一平面內

所有向量的一組基底；

說明：(1)基底不唯一，關鍵是不共線；

(2)由定理可將任一向量a在給出基底的條件下進行分解；

(3)基底給定時，分解形式唯一；

例1.如圖，不共線，且而用次為表示方。

解：因為而=r無瓦reR),所以而=蘇+而=而+/而

=OA+t(OB-OA)^OA+tOB-tOA

=(1T)麗+廊

重要結論:如果尸、A、5三點共線，點0是平面內任意一點，若5A=4蘇+〃麗，則

Z+//=1O

12

變式訓練:設。，石分別是A48C的邊A民3c上的點，AD=-AB,BE=—BC,若

23

詼=4通+%恁(4,4為實數)，則4+4的值為.

2

［解析］易知詼=麗+^^-AB+-BC^-AB+-(AC-AB\---AB+-AC,

2323、'63

?，?4二一不，A=］,，4+^2~~

例2.如圖所示，在ABOC中，C是以A為中點的點8的對稱點，麗=2麗，。。和04

父于點E,設0A=a,OB=b-

(2)若。后=2函，求實數2的值.

——一5一4

【答案】(1)OC=2a-b^DC=2a——b；(2)/I=—.

—?2―?2-

【解析】(1)由題意知，A是線段中點，且0。=-08二—從

33

OC=OA+AC=OA+BA=OA-]-OA-OB=2a-h，

DC=OC-OD=[2a-b)-^b=2a-^b；

(2)EC=OC—OE=(2d-h^-Aa=(2-X^a-b,

___5_

山題可得EC〃比，且。C=2〃一耳人，

(4

(、2-九=2kA=-

設皮=攵反，即(2-4”一5=小21-夕，則有，5,，解得，?

V3)-1=——k3

3tK=—

15

4

因此，2=-.

例3.證明:三角形的三條中線交于一點.

BDC

【解析】如圖所示，設AD、BE、仃分別為AABC的三條中線，令通二°,

尼二4則有而』一。.

An?—?―?—?1]

設G在AD上，且f=,，則有4D=AB+BD="+(/?一〃)=(。+卅

AD322

BE=AE-AB=^b-a.

2

BG=AG-ABBD-AB=\(a+b)-a-\b-^a

3333

=；(3—4)=；BE.

；.G在BE上.

同理可證函=:樂，即G在C5上.

故AD、BE、CF三線交于同一點.

四、小結

1.平面向量基本定理；

2.基底；

3.掌握平面向量基本定理的簡單應用

五、作業

習題6.3.1

第六章平面向量及其應用

6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

一、教學目標

1.理解向量的坐標表示法,掌握平面向量與一對有序實數一一對應關系：

2.會用坐標表示平面向量；對起點不在原點的平面向量能利用向量相等的關系轉化來用坐標

表示；

3.通過對平面向量的正交分解及坐標表示的學習，培養學生數學抽象、數學運算等數學素養。

二、教學重難點

1.平面向量的正交分解，平面向量的坐標表示；

2.對平面向量的坐標表示的理解。

三、教學過程：

1、復習回顧平面向量基本定理

—?—?—?

如果，止2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量有

且只有一對實數4'4,使。=4弓+402。我們把不共線向量4起2叫做表示這一平面內

所有向量的一組基底；

說明：(1)基底不唯一，關鍵是不共線;

(2)由定理可將任一向量.在給出基底的條件下進行分解；

(3)基底給定時，分解形式唯一；

2、探索新知

平面向量的正交分解：

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

問題1：在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對實數(耳力表示，那么，每一個向量可

否也用一對實數來表示？

答:在直角坐標系中，分別取與x軸、)'軸方向相同的兩個不共線向量I、/作為基底，對于

平面內的一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x,y使得”=㈠+獷，則把

有序數對(x,y),叫做向量。的坐標.記作a=(x,y),此式叫做向量的坐標表示.

0\iX

作向量質=Z設=+所以a=OA=(x,y)。

說明：(1)對于有且僅有一對實數(匕門與之對應；

(2)兩向量相等時，坐標一樣；

(3)7=(1,0),]=(0,1),0=(0,0)；

(4)從原點引出的向量麗的坐標(兒田就是點A的坐標。

例1.如圖，用基底,，I分別表示向量7、6、2、％,并求出它們的坐標。

解：由圖知：a=2i+2J=(2,2)；

石=-27+2,=(-2,2).

c=—2/—2J=(—2,—2)

?

d=2i—2j=(2,—2)

例2.如果將繞原點0逆時針方向旋轉120°得到。百,則求OB的坐標.

解：由題意知A是30。角的終邊與以點0為圓心的單位圓的交點,B點是將0A繞原點0逆時

針方向旋轉120°終邊與以點0為圓心的單位圓的交點.由三角函數的定義，

1

2Gn

設終邊0A與x軸所形成的角為a,tana--后=—?=—,

,336

T

因為=A|0A|=|0B|，所以點B的坐標為

030

(cos—,sin—)BP

6622

變式訓練：已知向量°A=(5」2),將函繞原點按逆時針方向旋轉90°得到麗，則0有=

()

A.(-5,13)B(-5,12)c(-12,13)D(-12,5)

解：向量市=(5,12),

將礪繞原點按逆時針方向旋轉90°得到麗，點B的坐標(-12,5),如圖:

所以麗=(一12,5).故選：I).

四、小結：1.平面向量的正交分解；

2.正確理解平面向量的坐標意義;

五、作業：習題6.3.2

第六章平面向量及其應用

6.3.3平面向量的加、減運算的坐標表示

一、教學目標

1.掌握平面向量加、減運算的坐標表示；

2.會用坐標求兩向量的和、差；

3.通過對平面向量加、減運算的坐標表示以及運算學習，培養學生數學抽象、邏輯推理、

數學運算等數學素養。

二、教學重難點

1.平面向量加、減運算的坐標表示;

2.對平面向量的坐標表示的理解。

三、教學過程：

1、復習回顧平面向量基本定理

—*――

如果弓起2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量。，有

且只有一對實數4'%,使"=44+402。我們把不共線向量Ge?叫做表示這一平面內

所有向量的一組基底；

說明：(1)基底不唯一，關鍵是不共線；

——*—*

(2)由定理可將任一向量a在給出基底知02的條件下進行分解；

(3)基底給定時，分解形式唯一；

問題1：向量用坐標表示的基本原理是什么？

設人J是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a=x￡+yj,則a=(x,y).

2、探索新知

小組活動探究：

問題2：若a=(玉,,)石=(工2，%)，你可以推導出a+Z。一區的坐標嗎？

生答：a+3=(取+%j)+(x2i+y2j)=(芯+芍)i+J+y2)j

即a+否=(再+盯%+%)同理可得。一-=(七一馬，弘一必)。

重要結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。

例1.已知a=(2,l),Z=(-3,4),求的坐標。

解：￡+人(2,1)+(-3,4)=(-1,5)：=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)；

問題3：如圖，已知向量,A月，且點A(為，y),僅工2，%)，你能推導出而的坐標嗎？

4alM

B(x2,y2',

生答：AB=OB-OA=(x2,y2)-(xl,yi)=(x2-xl,y2-yl).

重要結論：(1)一個向量的坐標等于表示它的有向線段的終點坐標減去始點坐標；

(2)兩個向量相等的充要條件是這二個向量的坐標相等。

例2：如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、

(3,4),試求頂點D的坐標.

s6.3-13

解：設頂點。的坐標為a，y).

.?.AB=(-l-(-2),3-1)=(1,2)，DC=(3-x,4~y)，

由4月=萬6，得(l,2)=(3-x,4-y)

1=3-尤Jx=2

...2=4—yV=2

，頂點。的坐標為(2,2).

變式訓練1：已知點A(0,1)，B(3,2),向量6=(—4,-3),則向量6=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

答案：A

變式訓練2已知平行四邊形ABCD中,A(0,0),B(5,0),D(2,4),對角線AC,BD交于點M,

則加的坐標是(第六章平面向量及其應用

6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示

一、教學目標

1.掌握向量數乘運算的坐標表示；

2.會根據向量的坐標，判斷向量是否共線;；

3.通過對平面向量數乘運算的坐標表示的學習，培養學生數學抽象、數學運算等數學素養。

二、教學重難點

1.向量數乘運算的坐標表示，根據向量的坐標，判斷向量是否共線；

2.向量運算的坐標表示的理解及應用向量共線的充要條件證明三點共線和兩直線平行的問

題。

三、教學過程：

1、復習回顧

(1)若〃=(與，丁］)3=(工2，%)，則〃+務=(2+%2，X+必)_/，y_%)。

(2)己知向量％有，且點4和%)，仇當，必)，通=(尤2一/力_乂).

2.探索新知

問題1.已知Z=(x,y),你能推導出的坐標嗎？

生答：因為a=(x,y),所以71a="3+yj)=+右/即4a=(雙,心)。

重要結論：實數與向量的積的坐標等用這個實數乘以原來向量的相應坐標.

例1.已知Z=(2,1)3=(—3,4),求。+0的坐標。

變式訓練1：已知向量a=(l,2),b=(2,3),c=(3,4),且＜?=九。+m,則九的值分別為()

A.-2,1B.1,-2

C.2,—1D.—1,2

[21+2/2=3,

解：由題意得(3,4)=九(1⑵+石(2,3)=(九+2乃，2A1+3Z2).由…?，

〔221+3人2=4,

zi——

解得故選：D

22=2.

變式訓練2：若向量”=(1,1),方=(1,一1),c=(-1,2)；則c等于()

3_1r

A.~—a+—bB.——a+—b

2222

3_11_3r

C.—a——brD.—a——b

2222

【答案】I)

【解析】因為a=(1,1),^=(1,-1),c=(-1,2),設。=幾。+4人，則有

2=-

A+//=—12

(―1,2)=(丸+//,4—//),即v,c，解得〈

幾一〃=2