同濟大學高等數學課件D13函數的極限目錄CONTENTS函數極限的定義函數極限的運算性質函數極限的應用函數極限的求解方法函數極限的深入理解01函數極限的定義123當x趨于某個值時，函數f(x)無限接近于一個常數A。描述性定義直觀、易于理解，但不夠精確。描述性定義的特點無法直接用于證明或計算。描述性定義的局限性函數極限的描述性定義精確定義對于任意給定的正數$epsilon$，存在一個正數$delta$，當$0<|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-A|<epsilon$。精確定義的特點精確、嚴謹，是計算和證明的基礎。精確定義的應用用于判斷函數在某點的極限，以及求極限的方法。函數極限的精確定義唯一性函數在某點的極限是唯一的。局部有界性函數在某點的極限存在時，函數在該點附近是有界的。局部保號性函數在某點的極限存在時，函數在該點附近的符號保持不變。局部連續性函數在某點的極限存在時，函數在該點附近是連續的。函數極限的性質02函數極限的運算性質極限的加法性質若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。極限的減法性質極限的乘法性質極限的除法性質01020403若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B（B≠0），則lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)×g(x)]=A×B。極限的四則運算性質復合函數的極限復合函數的極限存在性若lim(x→x0)u=u0，且lim(u→u0)g(u)=A，則lim(x→x0)[g[u(x)]]=A。復合函數的極限運算若lim(x→x0)[f(x)]=A和lim(u→u0)[g(u)]=B，則lim(x→x0)[g[f(x)]]=B。反函數的極限存在性若函數y=f(x)在點a處有定義，且f'(a)存在，則反函數在點f(a)處有定義，且反函數的導數等于1/f'(a)。反函數的極限運算若lim(x→a)f(x)=b，則反函數在點b處的極限存在，且反函數在點b處的極限等于1/f'(a)。反函數的極限03函數極限的應用通過函數極限，我們可以求解某些數學模型中的參數值。總結詞在數學建模中，經常需要求解某些參數的值，這些參數可能影響函數的形態或行為。利用函數極限，我們可以更好地理解函數的變化趨勢，從而更準確地確定這些參數的值。詳細描述利用函數極限求參數值總結詞函數極限在證明不等式中起著重要的作用。詳細描述在證明不等式時，我們經常需要利用函數的性質和極限的概念來推導和證明不等式的正確性。例如，利用函數的極限來證明函數的單調性或比較不同函數的大小關系。利用函數極限證明不等式總結詞通過研究函數極限，我們可以深入了解函數的性質和行為。詳細描述函數的極限描述了函數在某些點或無窮遠處的行為。通過研究這些極限，我們可以更好地理解函數的整體性質和行為，例如函數的連續性、可導性、奇偶性等。利用函數極限研究函數的性質04函數極限的求解方法VS直接代入法適用于函數在某點的極限值可以直接通過代入得到的情況。詳細描述當函數在某點的極限可以直接通過將該點的x值代入函數表達式得到時，我們就可以使用直接代入法求解。這種方法適用于一些簡單的函數，如常數函數、線性函數等。總結詞直接代入法夾逼準則法是通過比較函數與兩個夾逼函數在某點的取值來求解函數極限的方法。當函數在某點的極限受到兩個夾逼函數的限制時，我們可以通過比較這三個函數在某點的取值來求解原函數的極限。這種方法需要找到合適的夾逼函數，并確保它們在某點的取值能夠正確地逼近原函數的極限?？偨Y詞詳細描述夾逼準則法總結詞單調有界定理法適用于函數在某區間內單調且有界的情況。要點一要點二詳細描述當函數在某區間內單調遞增或遞減，并且在該區間內有界時，我們可以使用單調有界定理法來求解函數在該區間的極限。這種方法需要證明函數在該區間內單調且有界，然后利用單調有界定理得出函數在該區間的極限值。單調有界定理法05函數極限的深入理解無窮小量在某一過程中，一個變量相對于另一個變量趨于零，被稱為無窮小量。無窮大量在某一過程中，一個變量相對于另一個變量趨于無窮大，被稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關系無窮小量的運算性質性質1性質2性質3有限個無窮小量的積仍為無窮小量。常數與無窮小量的乘積仍為無窮小量。有限個無窮小量的和仍為無窮小量。應用1利用無窮小量替