第一節集合的概念與運算最新考綱：1?了解集合的含義、元素與集合的屬于關系；2?理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；3?理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4?理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；5?能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關系及運算.基礎知識回顧 植理識記自測JICHUZHISHIHUIGU '觀知識梳理I 元素與集合集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號三或表示.集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.問題探究：集合｛0｝是空集嗎？它與｛0｝,0有什么區別？提示：集合｛0｝不是空集，因為它含有元素0，同理，｛0｝也不是空集，因為它含有元素0,但｛0｝與｛0｝不同，因為它們的元素不同，0是不含任何元素的隹厶集合?2.集合間的基本關系表示關系 、、、文字語言符號語言集合間的基本關系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A二B子集A中任意一個元素均為B中的元素AB真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3?集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言(2?1QS符號語言AuB二{x\xwA，或xwBlAQB二{x\xwA,且xwB}［UA二{x\xwU，且x年A}4?集合的運算性質并集的性質：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=AOB—A.交集的性質：AG0=0；AGA=A；AGB=BGA；AAB=AOA—B.補集的性質：AU(M=U；A。([,)=0；[川,)=4.砂基礎自測1 1.判斷正誤(在括號內打“廠或“X”)TOC\o"1-5"\h\z⑴集合｛x|y=\：X—l｝與集合｛yy=i；X—l｝是同一個集合.( )1一1--若{x2,l}={0,l}，則x=0,1.(1一1--已知集合A—{x\mx—1},B={1,2},且A—B,則實數m=1含有n個元素的集合的子集個數是2n,真子集個數是2n—1,非空真子集的個數是2n—2.()若A={O,1},B={(x,y)\y=x+l}，則A—B.( )［答案］(1)X⑵X⑶X⑷V(5)X2.(2015?新課標全國卷II)已知集合A={—2,—1,0,1,2},B={x\(x—1)(x+2)<0},則AGB=( )B.{0,1}A.{B.{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}懈析］由題意知B二{x|?2<x<l}，所以AHB={-1,0}?故選A.［答案］A(2016?北京東城期末統測)已知集合A={x|0<x<2},B={x|(x—l)(x+l)>0},TOC\o"1-5"\h\z則AUB=( )(0,1)(1,2)1)U(0,+x)(—g,—1)U(1,+x)懈析］由已知條件可得B={x|(x-1)(x+1)>0}={x|x>1或x<-1},「.AUB={x|0<x<2}U{x|x>1或x<-1}={x|x>0或x<-1}，故選C.［答案］C(2015?濟南3月模擬)已知集合A={x||x—1|<2},B={x|y=lg(x2+x)}，設U=R，則AG(［皿)等于()A.［3,+兀) B.(—1,0］C.(3,+^) D.［—1,0］懈析］解不等式|x-1|<2得-1<x<3，所以A={x|-1<x<3}?要使函數y=lg(x2+x)有意義，須x2+x>0,解得x<-1或x>0,所以B={x|x<-1或x>0},［UB={x|-1<x<0}，所以AG(［/)=(-1,0］，故選B.［答案］B(2015?東北三省四市第二次聯考)設集合A={1,2,4},集合B={xX=a+b,a^A,b^A},貝V集合B中的元素個數為 .［解析］VaeA,bwA,x=a+b,「.x=2,3,4,5,6,8，:B中有6個元素.［答案］6

ItAODIANHUDOHGTAHJIUItAODIANHUDOHGTAHJIU考點一集合的基本概念掌握集合的概念，關鍵是把握集合中元素的特性，要特別注意集合中元素的互異性，一方面利用集合中元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確.用描述法表示集合時，首先應清楚集合的類型和元素的性質.加強對集合中元素的特征的理解，互異性常常容易忽略，求解問題時要特別汪意.(2016?銀川質檢)已知集合力={0,1,2},則集合B={x-ylx^A，y^A}中元素的個數是()TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.3C.5 D.9已知集合A={m+2,2m2+m},若3$A，貝Vm的值為 .［解題指導］切入點：集合中元素的特征；關鍵點：集合中元素的互異性.懈析］(1)逐個列舉可得?x二0,y二0,1,2時,x-y=0,-1,-2；x=1,y二0,1,2時，x-y=1,0,-1；x=2,y=0,1,2時，x-y二2,1,0.根據集合中元素的互異性可知集合B的元素為-2,-1,0,1,2.共5個.(2)因為3gA，所以m+2=3或2m2+m=3.當m+2=3,即m二1日寸，2m2+m—3,此時集合A中有重復元素3,所以m二1不符合題意，舍去；當2m2+m=3時，解得m=-|或m=1（舍去），3 1 |因為當m二-二時，m+2二2工3，符合題意.所以m二-3［答案3［答案］(1)C(2)-2（1）用描述法表示集合時要把握元素的特征，分清點集、數集；（2）要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最容易被忽視，因此要對計算結果進行檢驗，防止所得結果違背集合中元素的互異性.匚】對點訓練若集合A={xWR|ox2+ax+1=0}中只有一個元素，則a=（ ）A.4 B.2C.0 D.0或4懈析］由題意得，ax2+ax+1=0只有一^實數解，當a=0時，方程無實數解；當aH0時，則/二a2-4a二0,解得a=4（a=0不合題意舍去），故選A.［答案］A已知集合A={t2+s2|t,s^Z},且x^A,y^A,則下列結論正確的是（ ）A.x+y^A B.x~y^AxC.xy^A D.—GA丿 y懈析］由集合A二{t2+s2|t,seZ}（即A中元素均可以表示為兩個整數平方和的形式），可得1=02+12,2=12+12，所以x=1eA,y—2eA,但1+2—3年A,故A.“x+yeA”不成立；又1-2—-1年A，故B.“x-yeA”不成立；又^A，故xD.“yeA”不成立?故選C.

［答案］C3.A、B是兩個集合，A={y|y=x2—2},B={—3,1,y}，其中y^A，貝Uy的取值集合是 .懈析］因為B是一個集合，由集合元素的互異性可知yH?3且yHl,A是函數y=x （2015?皖南八校聯考）已知R表示實數集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0} （2015?皖南八校聯考）已知R表示實數集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0}，則下列結論正確的是（）A.M^N B.MU［rNC.［rMUN D.［rNUM （2015?鄭州模擬）已知集合A={x|_2WxW5},B={x|m+1<x<2m—1}，若B匚A,則實數m的取值范圍是 .［解題指導］切入點：子集的定義；關鍵點：含有字母參數時，應對0關注.懈析］⑴集合N二{x|x2-2x-3>0}二{x|x>3或x<-1},所以［RN二{x|-1WxW3}，又M二{x|0WxW2}，所以MJ［RN，故選B.⑵當m+1>2m-1,即m<2時，B=0,［答案］{y\y^-2且yHl}考點二集合間的基本關系判斷集合間關系往往轉化為元素與集合間關系，對描述法表示的集合要抓住元素及屬性，可將元素列舉出來或通過元素特征，對連續數集和抽象集合，常借助數形結合的思想（借助數軸，韋恩圖及函數圖象等）解決.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集?在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性.

滿足滿足B^A；’州方［［丁-2m+1 2m-\5xm三2,

即m±-3,

lmm三2,

即m±-3,

lmW3.m+1W2m-1,m+1 -2,、2m-1W5,.?.2WmW3.故m<2或2WmW3，即m的取值范圍為{m|mW3}.［答案］(1)B(2){m|mW3}(1)判斷兩集合的關系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系；(2)已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數滿足的關系?解決這類問題常常是合理利用數軸、Venn圖來幫助分析；(3)B為A的子集，不要漏掉B二0時的情況.對點訓練(2015?重慶卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3}，則()A.A=B B.AQB=0C.AB D.BA［解析］TA二{1,2,3},B二{2,3},.2,3wA且2,3gB,1gA但1B，:BA.［答案］D(2016?合肥模擬)已知集合P={x|x2+x—6=0},S={x|ax+1=0}，若SUF,則實數a的取值組成的集合是A.1]3B.r1A.1]3B.r1C」3,1]2D.〔0，3,1]2懈析］由題意得，P二{-3,2}.當a二0時，S二0，滿足S^P；當aH0時，方程ax+1二0的解為x二-］,為滿足S"，可使-］二-3,或->2,1_2-

=

或1_31_2-

=

或1_3--

即r1故所求集合為］°,31]2［答案］D3.（2016?南充調研）已知集合A={x|4W2xW16},B=［a,b］,若A^B，則實數a-b的取值范圍是 .[解析]集合A二｛x|4W2xW16｝二｛x|22W2xW24｝二｛x|2WxW4｝二[2,4]，因為AUB，所以aW2,b±4，所以a-bW2-4=-2，即實數a-b的取值范圍是（-OO[答案](--,-2]考點三集合的基本運算在進行集合的運算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉化求解，必要時充分利用數軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運用分類討論、數形結合等思想方法，使運算更加直觀、簡潔.韋恩圖示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.(2015?天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6}，集合B二{1,3,4,6,7}，則集合AG(［皿)=( ){2,5} B.{3,6}C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}已知集合A={y\y=x2—2x,,GR},B={y|y=—x2+2x+6,,GR},則A^B［解題指導］切入點：集合的交、并、補的概念；關鍵點：化簡集合，準確運算.［解析］(1)先求得集合B的補集，再進行交集運算由題意得［皿二{2,5,8},??AG［皿二{2,3,5,6}G{2,5,8}二{2,5}.(2)y—x2-2x—(x-1)2_1 -1,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7^7,.?A—{y\y±-1},B—{y|yW7},故APB—{y|-1<y<7}?［答案］(1)A⑵{y|-1WyW7}［拓展探究］⑴在例3(2)中，若集合A變為A={x\y=x2-2x,x^R},其他條件不變，求APB.(2)在例3(2)中，若集合A、B變為：A={(x，y)|y=x2—2x，x^R}，B={(x,y)|y=—x2+2x+6，x^R}，求APB.［解］(1)因A中元素是函數自變量，則A—R,而B—{y|yW7}，則APB—{y|yW7}.y二x2■2x,(2)由］ x2-2x-3=0,y x2+2x+6解得x=3或x=-1.x=3,x二-1,于是，| 或＜、y二3 、y二3,故/鮎二{(3,3),(-1,3)}.考點四與集合有關的新定義問題與集合有關的新定義問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運用，在新給出的運算法則的前提下，將題目中的條件轉化成符合新的運算法則的形式,是解答此類問題的關鍵.分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，應用到具體的解題過程中，是破解新定義型試題的關鍵所在.(2016?南昌質檢)若X是一個集合，t是一個以X的某些子集為元素的集合,且滿足：①X屬于T，0屬于T；②T中任意多個元素的并集屬于T；③T中任意多個元素的交集屬于T，則稱T是集合X上的一個拓撲.已知集合X={a，b,c},對于下面給出的四個集合T：t={0，{a}，{c}，{a，b，c}}t={0，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}t={0，{a}，{a，b}，{a，c}}t={0，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}其中是集合X上的拓撲的集合T的序號是 .［解題指導］切入點：拓撲的概念；關鍵點：從概念出發解決問題.是集合X上的拓撲；滿足：①X屬于T,0屬于T,?1中任意多個元素的并集屬于T,?l中任意多個元素的交集屬于t,因此(2)是集合X上的拓撲；{a,b}U{a,c}={a,b,c}^T,故(3)不是集合X上的拓撲；滿足：①X屬于T,0屬于T,@T中任意多個元素的并集屬于T,@T中任意多個元素的交集屬于T,因此(4)是集合X上的拓撲.［答案］⑵(4)解決集合中新定義問題的關鍵是準確理解新定義的實質，緊扣新定義進行推理論證，把其轉化為我們熟知的基本運算.匸】對點訓練對于任意兩個正整數m,〃，定義運算(用十表示運算符號)：當m,n都是正偶數或都是正奇數時，m十n=m+n；當m,n中一個為正偶數，另一個為正奇數時，m十n=mXn.例如4十6=4+6=10,3十7=3+7=10,3十4=3X4=12.在上述定義中，集合M={(a,b)|a十b=12,a,b^N*}的元素有 個.［解析］m,n同奇同偶時有11組：(1,11),(2,10),…,(11,1)；m,n一奇一偶時有4組：(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).［答案］15 方法規律總結 ［方法技巧］集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經常用到.解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉化.對連續數集間的運算，借助數軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續數集間的關系，求其中參數的取值范圍時，要注意單獨考察等號.對離散的數集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖.［易錯點睛］1．解題中要明確集合中元素的特征，關注集合的代表元素（集合是點集、數集還是圖形集）．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解．3．解題時注意區分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系．Venn圖圖示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．課時跟蹤訓練(一)一、選擇題1■集合A={x|x2+x—6W0},B={y|y=\'X,0WxW4}，則AG(［rB)=()A.［—3,2］ B.［―2,0)U(0,3］C.［－3,0］ D.［－3,0)［解析］由題知A={x|x2+x-6W0}二{x|-3WxW2},二{y［y=\lx,0WxW4}二{y|0WyW2}，所以［RB二{x|x>2或x<0}，所以An(:rB)二{x|-3<x<0}，所以選D.［答案］DTOC\o"1-5"\h\z2.(2015?石家莊一模)若已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5,7},P=MnN，則集合P的子集個數為( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］TP二{1,3},二集合P的子集個數為4,故選C.［答案］C(2015?浙江卷)已知集合P={x|x2—2x±0},0={x|l<xW2}，則(［RP)G0=()A.［0,1) B.(0,2］C.(1,2) D.［1,2］［解析］先化簡集合P，再應用集合的補集與交集的定義進行計算?由X2-2x20,得xW0或x±2，即P二{x|xW0或x±2}，所以［RP={x|0<x<2}=(0,2)?又g={x|1<x<2}=(1,2］，所以(:RP)ng=(1,2).［答案］C(2015?寧波二模)設全集U=R,/={x|x(x+3)<0},B={x|x<—1}，則圖{x|—3<x<—1}{x|—3<x<0}{x|—1<x<0}{x|x<—3}［解析］因為A={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},:UB={x|x2-1}，陰影部分為An(：UB)，所以An(：UB)={x|-1<x<0}，故選C.［答案］C5.(2015?山西四校聯考)設U=R,A={xy=x\jX},B={y|y=_x2},則An(［ub)=()A.0 B.RC.{x|x>0} D.{0}［解析］TA二{x|y二x\：X}二{x|x±0},B二{y|y=-x2}={y|yW0} 二{y|y>0}，從而有An(：UB)={x|x>0}.［答案］C(2016?唐山統考)設全集U=R，已知集合A={x|x±l},B={x|(x+2)?(x－1)<0}，則( )A.AQB=0 B.AUB=UC.lyB^A D.［產B［解析］VB={x|(x+2)(x-1)<0},AB={x|-2<x<1},vA={x|x^1}，:AnB=0.［答案］A(2015?臨沂二檢)已知集合A={1,3,、m},B={1,m},AUB=A，貝Vm=()A.0或；'3 B.0或3C.1或,''3 D.1或3［解析］由AUB=A，可得B^A，則m=3或m=\tm，得m=3或0或1.經檢驗m=1時，集合A={1,3,1},B={1,1}，顯然不成立.綜上有m=0或3，故選B.［答案］B已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x$A,x<y,x+y^A},則集合BTOC\o"1-5"\h\z中的元素個數為( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］當x=1時，y二2或3或4；當x=2時,y=3,所以集合B中的元素個數為4.［答案］C(2015?沈陽質量監測(二))已知非空集合A,B,全集U=AUB，集合M=AnB，集合^=(：UB)u(：UA),貝y( )A.MUN=M B.MnN=0［解析］因為本題涉及的集合間的運算以及關系較為抽象，可以考慮利用Venn圖輔助解題?作出滿足題意的Venn圖，如圖所示，容易知道MCN二0,故選B.［答案］B10.設集合A={x|x2+2x—3>0},集合B={x|x2—2ax—1WO,a>0}.若A^B中恰含有一個整數，則實數a的取值范圍是()_4,3)C.34,A(_4,3)C.34,D.(1,+^)懈析］A={x|x2+2x-