概率論與數理統計1.1隨機事件匯報人：AA2024-01-19contents目錄隨機事件及其概率古典概型與幾何概型條件概率與獨立性隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量的數字特征隨機事件及其概率01在一定條件下進行的、結果不確定的試驗，稱為隨機試驗。例如拋硬幣、擲骰子等。隨機試驗樣本空間樣本點隨機試驗所有可能結果的集合，稱為樣本空間。通常用大寫字母S表示。樣本空間中的每一個元素，稱為樣本點。030201隨機試驗與樣本空間

隨機事件隨機事件隨機試驗中滿足某一特定條件的結果組成的集合，稱為隨機事件。通常用大寫字母A、B、C等表示。必然事件包含樣本空間中所有樣本點的隨機事件，稱為必然事件。記作S。不可能事件不包含任何樣本點的隨機事件，稱為不可能事件。記作?。如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件B包含事件A，記作A?B。包含關系如果事件A和事件B同時發生，且它們的結果集合相同，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。相等關系如果事件A和事件B至少有一個發生，則稱這兩個事件的并為和事件（并事件），記作A∪B。和事件（并事件）事件間的關系與運算對立事件如果兩個事件中必有一個發生且僅有一個發生，則稱這兩個事件為對立事件。對立事件的概率和為1。積事件（交事件）如果事件A和事件B同時發生，則稱這兩個事件的交為積事件（交事件），記作A∩B或AB。差事件如果事件A發生而事件B不發生，則稱這兩個事件的差為差事件，記作A?B。互斥事件如果兩個事件不可能同時發生，則稱這兩個事件為互斥事件。事件間的關系與運算概率的定義概率是描述隨機事件發生可能性大小的數值，通常用P(A)表示事件A發生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，其中0表示不可能發生，1表示必然發生。對于任何隨機事件A，有P(A)≥0。對于必然事件S，有P(S)=1。對于任意兩個互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。對于任意隨機事件A，其逆事件的概率為P(A′)=1?P(A)。非負性可加性逆事件的概率規范性概率的定義與性質古典概型與幾何概型02計算公式在古典概型中，事件A發生的概率P(A)等于事件A包含的樣本點個數與樣本空間包含的樣本點個數之比，即P(A)=m/n，其中m是事件A包含的樣本點個數，n是樣本空間包含的樣本點個數。定義古典概型是一種基于等可能性的概率模型，其中每個樣本點發生的可能性相同。適用范圍古典概型適用于樣本空間有限且每個樣本點發生的可能性相同的情況。古典概型定義幾何概型是一種基于幾何度量的概率模型，其中樣本點的發生概率與其在幾何空間中的度量（如長度、面積、體積等）成正比。計算公式在幾何概型中，事件A發生的概率P(A)等于事件A在幾何空間中占據的度量與整個樣本空間在幾何空間中占據的度量之比。具體計算方式取決于所使用的幾何空間和度量方式。適用范圍幾何概型適用于樣本空間可以表示為某個幾何空間中的一部分，且樣本點的發生概率與其在幾何空間中的度量成正比的情況。幾何概型古典概型與幾何概型的比較古典概型和幾何概型都是基于等可能性的概率模型，即每個樣本點發生的可能性相同。同時，它們都可以通過計算事件包含的樣本點個數或占據的幾何度量來求解事件發生的概率。相同點古典概型和幾何概型的區別在于它們的樣本空間和計算方式。古典概型的樣本空間是有限的，而幾何概型的樣本空間可以表示為某個幾何空間中的一部分。此外，古典概型通過計算事件包含的樣本點個數來求解概率，而幾何概型則通過計算事件在幾何空間中占據的度量來求解概率。不同點條件概率與獨立性03在事件B發生的條件下，事件A發生的概率，記作P(A|B)。條件概率定義對于任意兩個事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，即事件A和B同時發生的概率等于事件A發生的概率與在事件A發生的條件下事件B發生的概率的乘積。乘法公式條件概率與乘法公式全概率公式如果事件B1，B2，…，Bn構成一個完備事件組，即它們兩兩互斥，其和為全集，并且都有正概率，則對任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的假定之下，貝葉斯公式將條件概率P(A|Bi)和全概率P(A)建立了聯系，即P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/∑[P(A|Bj)P(Bj)]。全概率公式與貝葉斯公式獨立性定義如果事件A的發生與否對事件B發生的概率沒有影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立性判斷判斷兩個事件是否獨立，需要驗證它們是否滿足獨立性的定義。如果不滿足，則稱兩個事件相依。在實際問題中，可以通過數據或經驗來判斷兩個事件是否獨立。事件的獨立性隨機變量及其分布04隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數。隨機變量可分為離散型隨機變量和連續型隨機變量。離散型隨機變量的取值是有限個或可列個，而連續型隨機變量的取值則是充滿一個區間。隨機變量的概念分類定義離散型隨機變量的分布律可用概率質量函數來描述，它表示隨機變量取各個值的概率。分布律常見的離散分布包括二項分布、泊松分布、幾何分布等。這些分布各自有不同的應用場景和性質。常見離散分布離散型隨機變量及其分布律概率密度函數連續型隨機變量的概率分布可用概率密度函數來描述，它表示隨機變量在某個區間內取值的概率大小。常見連續分布常見的連續分布包括正態分布、均勻分布、指數分布等。這些分布各自有不同的特點和應用場景。連續型隨機變量及其概率密度隨機變量的函數的分布函數的分布當隨機變量通過某個函數進行變換后，所得到的新的隨機變量的分布稱為原隨機變量的函數的分布。求解方法求解隨機變量的函數的分布通常需要使用概率論中的變換技巧，如卷積公式、期望和方差的性質等。多維隨機變量及其分布05定義01設$X$和$Y$是兩個隨機變量，定義在同一概率空間$(Omega,mathcal{F},P)$上，稱$(X,Y)$為二維隨機變量。聯合分布函數02對于任意實數$x,y$，二元函數$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布函數。聯合概率密度函數03如果存在非負函數$f(x,y)$，使得對于任意實數$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯合概率密度函數。二維隨機變量及其聯合分布邊緣分布與條件分布邊緣分布函數二維隨機變量$(X,Y)$關于$X$和關于$Y$的邊緣分布函數分別定義為$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。邊緣概率密度函數如果$(X,Y)$的聯合概率密度函數為$f(x,y)$，則$X$和$Y$的邊緣概率密度函數分別為$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布函數設二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布函數為$F(x,y)$，邊緣分布函數分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在給定$Y=y$的條件下，$X$的條件分布函數定義為$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$。條件概率密度函數在給定$Y=y$的條件下，如果$(X,Y)$的聯合概率密度函數為$f(x,y)$，則$X$的條件概率密度函數為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。設二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布函數為$F(x,y)$，邊緣分布函數分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果對于任意實數$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機變量$X$和$Y$是相互獨立的。定義如果隨機變量$X$和$Y$是相互獨立的，那么對于任意實數集合$A,Bsubseteqmathbb{R}$，事件${XinA}$和${YinB}$也是相互獨立的。性質隨機變量的獨立性多元正態分布：設$mathbf{X}=(X_1,X_2,ldots,X_n)^T$是一個$n$維隨機向量，如果存在一個常數向量$mu=(mu_1,mu_2,ldots,mu_n)^Tinmathbb{R}^n$和一個正定矩陣$Sigma=(sigma_{ij})_{ntimesn}$，使得$mathbf{X}$的概率密度函數為$$f(mathbf{x})=frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}expleft[-frac{1}{2}(mathbf{x}-mu)^TSigma^{-1}(mathbf{x}-mu)right],$$則稱$mathbf{X}$服從多元正態分布，記作$mathbf{X}simN_n(mu,Sigma)$。多維隨機變量及其分布的應用舉例多元均勻分布：設$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)^T$是一個定義在區域$\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$上的隨機向量，如果$\mathbf{X}$的概率密度函數為多維隨機變量及其分布的應用舉例$$f(mathbf{x})=begin{cases}frac{1}{text{Vol}(Omega)},&text{if}mathbf{x}inOmega多維隨機變量及其分布的應用舉例0,&\text{otherwise}多維隨機變量及其分布的應用舉例end{cases},$$則稱$mathbf{X}$服從多元均勻分布多維隨機變量及其分布的應用舉例隨機變量的數字特征06VS描述隨機變量取值的“平均水平”，是隨機變量所有可能取值與其對應概率的乘積之和。方差衡量隨機變量取值與其數學期望的偏離程度，即隨機變量取值的波動性或分散程度。數學期望數學期望與方差衡量兩個隨機變量變化趨勢的相似程度，正值表示兩變量同向變化，負值表示反向變化。標準化后的協方差，消除了量綱影響，更直觀地反映兩變量間的線性相關程度。協方差相關系數協方差與相關系數矩描述隨機變量分布形態的特征數，如一階原點矩為數學期望，二階中心矩為方差。協方差矩陣多個隨機