第一章秦合國函數概念

本章教學時間約13課時。

1.1集合——4課時；1.2函數及其表示——4課時；1.3函數的性——3課時

實習作業1課時

復習1課時

§1.1.1集合的含義與表示

教學目標：

1.知識與技能

(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；

(2)知道常用數集及其專用記號；

(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性；

(4)會用集合語言表示有關數學對象；

(5)培養學生抽象概括的能力.

2.過程與方法

(1)讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學生歸納整理本節所學知識.

3.情感.態度與價值觀

使學生感受到學習集合的必要性，增強學習的枳極性.

二.教學重點.難點

重點：集合的含義與表示方法.

難點：表示法的恰當選擇.

三.學法與教學用具

1.學法：學生通過閱讀教材，自主學習.思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.

2.教學用具：投影儀.

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題

1.教師首先提出問題：在初中，我們已經接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎？

引導學生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學生的活動給予評價.

2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內容.

(二)研探新知

1.教師利用多媒體設備向學生投影出下面9個實例：

(1)1—20以內的所有質數；

(2)我國古代的四大發明；

(3)所有的安理會常任理事國；

(4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交橋；

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點；

(7)方程X?—5x+6=0的所有實數根；

(8)不等式X—3>0的所有解；

(9)國興中學2004年9月入學的高一學生的全體.

2.教師組織學生分組討論：這9個實例的共同特征是什么？

3.每個小組選出——位同學發表本組的討論結果，在此基礎上，師生共同概括出9個實例的特征，并

給出集合的含義.

一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A,B,C,D,…表示，元素常用小寫字母a/,c,d…表示.

(三)質疑答辯，排難解惑，發展思維

1.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，思考：集合中元素有什么特點？并注意個別輔導，解答學生

疑難.使學生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的，

我們就稱這兩個集合相等.

2.教師組織引導學生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數；

(2)我國的小河流.

讓學生充分發表自己的建解.

3.讓學生自己舉出一些能夠構成集合的例子以及不能構成集合的例子，并說明理由.教師對學生的學

習活動給予及時的評價.

4.教師提出問題，讓學生思考

(1)如果用A表示高一(3)班全體學生組成的集合，用。表示高一(3)班的一位同學，匕是高一(4)班的

一位同學，那么a力與集合A分別有什么關系？由此引導學生得出元素與集合的關系有兩種：屬于和不屬

于.

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作aeA.

如果。不是集合A的元素，就說。不屬于集合A,記作aeA.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關系分別是什么？

請用數學符號分別表示.

(3)讓學生完成教材第6頁練習第1題.

5.教師引導學生回憶數集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內容，寫出常用數集的記號.并讓學生完

成習題1.1A組第1題.

6.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式？

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么？

(3)如何根據問題選擇適當的集合表示法？

使學生弄清楚三種表示方式的優缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學習：

(1)用自然語言描述集合{1,3,5,7,9)；

(2)用例舉法表示集合A={xeN11<x<8}

(3)試選擇適當的方法表示下列集合：教材第6頁練習第2題.

(五)歸納整理，整體認識

在師生互動中，讓學生了解或體會下例問題：

1.本節課我們學習過哪些知識內容？

2.你認為學習集合有什么意義？

3.選擇集合的表示法時應注意些什么？

(六)承上啟下，留下懸念

1.課后書面作業：第13頁習題1.1A組第4題.

2.元素與集合的關系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的關系又有多少種呢？如何表示？

請同學們通過預習教材.

§I.I.2集合同的基率關系

教學目標：

1.知識與技能

(1)了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用venn圖表達集合間的關系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

2.過程與方法

讓學生通過觀察身邊的實例，發現集合間的基本關系，體驗其現實意義.

3.情感.態度與價值觀

(1)樹立數形結合的思想.

(2)體會類比對發現新結論的作用.

二.教學重點.難點

重點：集合間的包含與相等關系，子集與其子集的概念.

難點：難點是屬于關系與包含關系的區別.

三.學法與教學用具

1.學法：讓學生通過觀察.類比.思考.交流.討論，發現集合間的基本關系.

2.學用具：投影儀.

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題

問題1：實數有相等.大小關系，如5=5,5<7,5>3等等，類比實數之間的關系，你會想到集合之間

有什么關系呢？

讓學生自由發言，教師不要急于做出判斷。而是繼續引導學生；欲知誰正確，讓我們一起來觀察.研

探.

(二)研探新知

投影問題2：觀察下面幾個例子，你能發現兩個集合間有什么關系了嗎？

(1)A={1,2,3},8={1,2,3,4,5}；

(2)設A為國興中學高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個班學生的全體組成的集合；

⑶設C={xIx是兩條邊相等的三角形},O={xIx是等腰三角形};

(4)￡={2,4,6},尸={6,4,2}.

組織學生充分討論.交流，使學生發現兩個集合所含元素范圍存在各種關系，從而類比得出兩個集合

之間的關系：

①一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集

合有包含關系，稱集合A為B的子集.

記作：A^B(或BoA)

讀作：A含于B(或B包含A).

②如果兩個集合所含的元素完全相同，那么我們稱這兩個集合相等.

教師引導學生類比表示集合間關系的符號與表示兩個實數大小關系的等號之間有什么類似之處，強化

學生對符號所表示意義的理解。并指出：為了直觀地表示集合間的關系，我們常用平面上封閉曲線的內部

代表集合，這種圖稱為Venn圖,.如圖1和圖2分別是表示問題2中實例1和實例3的Venn圖.

/B\

B

圖1圖2

投影問題3：與實數中的結論“若42"自力2。,貝布=b"相類比，在集合中，你能得出什么結論?

教師引導學生通過類比，思考得出結論：若A=目劣=A,則4=8.

問題4：請同學們舉出幾個具有包含關系.相等關系的集合實例，并用Venn圖表示.

學生主動發言，教師給予評價.

(三)學生自主學習，閱讀理解

然后教師引導學生閱讀教材第7頁中的相關內容，并思考回答下例問題：

(1)集合A是集合B的真子集的含義是什么?什么叫空集？

(2)集合A是集合B的真子集與集合A是集合B的子集之間有什么區別？

(3)0,｛0｝與。三者之間有什么關系？

(4)包含關系｛?｝cA與屬于關系aeA正義有什么區別?試結合實例作出解釋.

(5)空集是任何集合的子集嗎?空集是任何集合的真子集嗎？

(6)能否說任何一人集合是它本身的子集，即A=A?

(7)對于集合A,B,C,D,如果A=B,BcC,那么集合A與C有什么關系？

教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑過程，然后讓學生發表對上述問題看法.

(四)鞏固深化，發展思維

1.學生在教師的引導啟發下完成下列兩道例題：

例1.某工廠生產的產品在質量和長度上都合格時，該產品才合格。若用A表示合格產品，B表示質

量合格的產品的集合,C表示長度合格的產品的集合.則下列包含關系哪些成立？

A^,C,C<^A

試用Venn圖表示這三個集合的關系。

例2寫出集合｛0,1,2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

2.學生做教材第8頁的練習第1?3題，教師及時檢查反饋。強調能確定是真子集關系的最好寫真子

集，而不寫子集.

(五)歸納整理，整體認識

1.請學生回顧本節課所學過的知識內容有建些，所涉及到的主要數學思想方法又那些.

2.在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出.

(六)布置作業

第13頁習題1.1A組第5題.

§1.1.3集合的基本運算

--教學目標：

1.知識與技能

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集.

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.

(3)能使用Venn圖表達集合的運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

2.過程與方法

學生通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算.

3.情感.態度與價值觀

(1)進一步樹立數形結合的思想.

(2)進一步體會類比的作用.

(3)感受集合作為一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確.

二.教學重點.難點

重點：交集與并集，全集與補集的概念.

難點：理解交集與并集的概念.符號之間的區別與聯系.

三.學法與教學用具

1.學法：學生借助Venn圖，通過觀察.類比.思考.交流和討論等，理解集合的基本運算.

2.教學用具：投影儀.

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題

問題1：我們知道，實數有加法運算。類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢？

請同學們考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A.B之間的關系嗎？

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6);

(2)A={x\x是理數},8={xIx是無理數},C={x\x是實數}

引導學生通過觀察，類比.思考和交流，得出結論。教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要

學習的內容。

(二)研探新知

1.并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.

記作：AUB.

讀作：A并B.

其含義用符號表示為：

AljB={xlxeA,或xe6}

用Venn圖表示如下：

請同學們用并集運算符號表示問題1中A,B,C三者之間的關系.

練習.檢查和反饋

⑴設A={4,5,6,8),B={3,5,7,8),求AUB.

(2)設集合AA={xl—l<x<2},集合8={》11<苫<3},求4118.

讓學生獨立完成后，教師通過檢查，進行反饋，并強調：

(1)在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次.

(2)對于表示不等式解集的集合的運算，可借助數軸解題.

2.交集

(1)思考：求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎？

請同學們考察下面的問題，集合A.B與集合C之間有什么關系？

8={3,5,8,12},。={8};

②人=*1%是國興中學2004年9月入學的高一年級女同學}.B={x|x是國興中學2004年9月入

學的高一年級同學},C={xx是國興中學2004年9月入學的高一年級女同學}.

教師組織學生思考.討論和交流，得出結論，從而得出交集的定義；

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

記作：AAB.

讀作：A交B

其含義用符號表示為：

AR8={xlxeA,月.xeB].

接著教師要求學生用Venn圖表示交集運算.

（2）練習.檢查和反饋

①設平面內直線4上點的集合為右，直線4上點的集合為右，試用集合的運算表示4的位置關系.

②學校里開運動會，設A={x|x是參加一百米跑的同學},B={x|x是參加二百米跑的同學},C={x|x

是參加四百米跑的同學},學校規定，在上述比賽中，每個同學最多只能參加兩項比賽，請你用集合的運

算說明這項規定，并解釋集合運算ADB與ACC的含義.

學生獨立練習，教師檢查，作個別指導.并對學生中存在的問題進行反饋和糾正.

（三）學生自主學習，閱讀理解

1.教師引導學生閱讀教材第11?12頁中有關補集的內容，并思考回答下例問題：

（1）什么叫全集？

（2）補集的含義是什么？用符號如何表示它的含義？用Venn圖又表示？

（3）已知集合4=*134》＜8},求

（4）設S={x|x是至少有一組對邊平行的四邊形）,A={x|x是平行四邊形},B={xx是菱形},

C={xx是矩形},求Bn。,痢?，.,4.

在學生閱讀.思考的過程中，教師作個別指導，待學生經過閱讀和思考完后，請學生回答上述問題，

并及時給予評價.

（四）歸納整理，整體認識

1.通過對集合的學習，同學對集合這種語言有什么感受？

2.并集.交集和補集這三種集合運算有什么區別？

（五）作業

1.課外思考：對于集合的基本運算，你能得出哪些運算規律？

2.請你舉出現實生活中的?個實例，并說明其并集.交集和補集的現實含義.

3.書面作業：教材第14頁習題L1A組第7題和B組第4題.

§I.2.I國數的概念

一、教學目標

1、知識與技能：

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.高中階段不僅把函數看成變量之間

的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想與意識.

2、過程與方法：

（1）通過實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集

合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

（2）了解構成函數的要素；

（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區間”的符號表示某些函數的定義域；

3、情態與價值，使學生感受到學習函數的必要性的重要性，激發學習的積極性。

二、教學重點與難點：

重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數；

難點：符號uy=f{x)''的含義，函數定義域和值域的區間表示；

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過自學、思考、交流、討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.

2、教學用具：投影儀.

四、教學思路

(一)創設情景，揭示課題

1、復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想：

2、閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想：

(1)炮彈的射高與時間的變化關系問題：

(2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

(3)“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題

3、分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同點。

4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系；

5、根據初中所學函數的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系.

(二)研探新知

1、函數的有關概念

(1)函數的概念：

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系了,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B

中都有唯?確定的數Ax)和它對應，那么就稱/：A-B為從集合A到集合B的一個函數(function).

記作：XGA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain)；與x的值相對應的y值叫做函數

值，函數值的集合伏x)lxGA}叫做函數的值域(range).

注意：

①“廣式C)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“產g(x)”；

②函數符號中的/U)表示與x對應的函數值，?個數，而不是/乘x.

(2)構成函數的三要素是什么？

定義域、對應關系和值域

(3)區間的概念

①區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；

②無窮區間；

③區間的數軸表示.

(4)初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什么？

通過三個已知的函數：y=ax+b(aWO)

y=ax2+bx+c(aWO)

k

y=-(kWO)

x

比較描述性定義和集合，與對應語言刻畫的定義，談談體會。

師：歸納總結

(三)質疑答辯，排難解惑，發展思維。

1、如何求函數的定義域

例1：已知函數/(x)=Vx+3+-^—

x+2

(1)求函數的定義域；

2

(2)求(-3),/(§)的值；

(3)當”>0時,求1A〃-1)的值.

分析：函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式y4U),而

沒有指明它的定義域，那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合，函數的定義域、值域

要寫成集合或區間的形式.

解：略

例2、設一個矩形周長為80,其中一邊長為x,求它的面積關于x的函數的解析式，并寫出定義域.

Qf)_or

分析：由題意知，另一邊長為，且邊長為正數，所以0<x<40.

2

QQ_9y

所以s=-------x=(40—x)x(0<x<40)

2

引導學生小結幾類函數的定義域：

(1)如果/U)是整式，那么函數的定義域是實數集R.

(2)如果式x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.

(3)如果/U)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.

(4)如果Ax)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合.

(即求各集合的交集)

(5)滿足實際問題有意義.

鞏固練習：課本P22第1

2、如何判斷兩個函數是否為同一函數

例3、下列函數中哪個與函數y=x相等？

(1)y=(Vx)2；(2)y=(V?);

(3)y=y['x^;(4)y=—

X

分析：

①構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，

如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

②兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。

解：(略)

課本P21例2

(四)鞏固深化，反饋矯正：

(1)課本P22第2題

(2)判斷下列函數/(尤)與g(x)是否表示同一個函數，說明理由？

①/(x)=(x—1)°；g(x)=I

②f(x)=x；g(x)=-jp-

③/(x)=1；/(x)=(x+1)2

?/(x)=lxl；g(x)=V?

(3)求下列函數的定義域

①fM=—

x-\x\

1+-

X

③兀0=7x+l+」一

2-x

Jx+4

④於）二

x+2

⑤f（x）-y/l-x+Vx+3-1

（五）歸納小結

①從具體實例引入了函數的概念，用集合與對應的語言描述了函數的定義及其相關概念；②初步介紹

了求函數定義域和判斷同一函數的基本方法，同時引出了區間的概念。

（六）設置問題，留下懸念

1、課本P28習題1.2（A組）第1—7題（B組）第1題

2、舉出生活中函數的例子（三個以上），并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、

值域和對應關系。

§1.2.2函數的表示聲

教學目標

1.知識與技能

（I）明確函數的三種表示方法；

（2）會根據不同實際情境選擇合適的方法表示函數；

（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數及應用.

2.過程與方法：

學習函數的表示形式，其目的不僅是研究函數的性質和應用的需要，而且是為加深理解函數概念的形

成過程.

3.情態與價值

讓學生感受到學習函數表示的必要性，滲透數形結合思想方法。

二.教學重點和難點

教學重點：函數的三種表示方法，分段函數的概念.

教學難點：根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，什么才算“恰當”？分段函數的表示及其圖象.

三.學法及教學用具

1.學法：學生通過觀察、思考、比較和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.

2.教學用具：圓規、三角板、投影儀.

四.教學思路

（-）創設情景，揭示課題.

我們在前兩節課中，已經學習了函數的定義，會求函數的值域，那么函數有哪些表示的方法呢？這一

節課我們研究這一問題.

（-）研探新知

1.函數有哪些表示方法呢？

（表示函數的方法常用的有：解析法、列表法、圖象法三種）

2.明確三種方法各自的特點？

（解析式的特點為：函數關系清楚，容易從自變量的值求出其對應的函數值，便于用解析式來研究函

數的性質，還有利于我們求函數的值域.列表法的特點為：不通過計算就知道自變量取某些值時函數的對

應值、圖像法的特點是：能直觀形象地表示出函數的變化情況）

（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維.

例1.某種筆記本的單價是5元，買x（xw{1,2,3,4,5}）個筆記本需要y元，試用三種表示法表示函數

)'=f(x).

分析：注意本例的設問，此處“y=/（x）”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以

是對應值表.

解：（略）

注意：

①函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等；

②解析法：必須注明函數的定義域；

③圖象法：是否連線：

④列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

例2.下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度兒次數學測試的成績及班級平均分表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

請你對這三位同學在高?學年度的數學學習情況做一個分析.

分析：本例應引導學生分析題目要求，做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？

解:（略）

注意：

①本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣更便于研究成績的變化特點：

②本例能否用解析法？為什么？

例3.畫出函數），=1x1的圖象

解：（略）

例4.某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：

（1）乘坐汽車5公里以內，票價2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算），已知兩個相鄰的公共

汽車站間相距約為I公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與

里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象.

分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義，根據實際情況公共汽車到站才能停車，所以行車里

程只能取整數值.

解:（略）

注意：

①本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義；

②象例3、例4中的函數，稱為分段函數.

③分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括

起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

（四）鞏固深化，反饋矯正.

（1）課本叨練習第1，2,3題

（2）國內投寄信函（外埠），假設每封信函不超過20g,付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵

資160分，每封xg（0〈尤＜100=的信函應付郵資為（單位：分）

（五）歸納小結

理解函數的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當的表示法來表示函數，注意分段函數的

表示方法及其圖象的畫法。

（六）設置問題，留下懸念.

（1）課本P28習題（A組）1,2;

（2）如圖，如截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的邊長為X,面積為y,把y表

示成x的函數.

§1.2.2映射

--教學目標

1.知識與技能：

(1)了解映射的概念及表示方法；

(2)結合簡單的對應圖表，理解?一映射的概念.

2.過程與方法

(1)函數推廣為映射，只是把函數中的兩個數集推廣為兩個任意的集合；

(2)通過實例進一步理解映射的概念；

(3)會利用映射的概念來判斷“對應關系”是否是映射，一一映射.

3.情態與價值

映射在近代數學中是一個極其重要的概念，是進一步學習各類映射的基礎.

二.教學重點：映射的概念

教學難點：映射的概念

三.學法與教學用具

1.學法：通過豐富的實例，學生進行交流討論和概括；從而完成本節課的教學目標；

2.教學用具：投影儀.

四.教學思路

(-)創設情景，揭示課題

復習初中常見的對應關系

1.對于任何一個實數數軸上都有唯一的點p和它對應；

2.對于坐標平面內任何一個點A,都有唯一的有序實數對(x,y)和它對應；

3.對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；

4.某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應；

5.函數的概念.

(二)研探新知

1.我們已經知道，函數是建立在兩個非空數集間的?種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為

“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種對應就叫映射(板

書課題).

2.先看幾個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關系：

(1)開平方；

(2)求正弦；

(3)求平方；

(4)乘以2.

歸納引出映射概念：

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則小,使對于集合A中的任意一個

元素X,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應/：A-B為從集合A到集合B的一

個映射.

記作“/：A-B”

說明：

(1)這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中f表示具體的對應

法則，可以用多種形式表述.

(2)“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個：二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思.

(三)質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1.下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？

(1)A={PIP是數軸上的點},B=R,對應關系/：數軸上的點與它所代表的實數對應；

(2)A={PIP是平面直角坐標中的點},B={(x,y)lxeR,yeR},對應關系/：平面直角坐標系

中的點與它的坐標對應；

(3)A={三角形},B={xlx是圓}，對應關系/：每一個三角形都對應它的內切圓；

(4)A={xlx是新華中學的班級},8={x|x是新華中學的學生}，對應關系/：每一個班級都對

應班里的學生.

思考：將(3)中的對應關系/改為:每一個圓都對應它的內接三角形；(4)中的對應關系/改為：

每一個學生都對應他的班級，那么對應fB-A是從集合B到集合A的映射嗎？

例2.在下圖中,圖(1),(2),(3),(4)用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則，是不是

映射？是不是函數關系？

A烏BA求正弦B

45-------------

60T一，在

(1)

A求平?BA乘以2B

一

WAV

(3)

(四)鞏固深化，反饋矯正

1、畫圖表示集合A到集合B的對應（集合A,B各取4個元素）

已知：（1）A={1,2,3,4},8={2,4,6,8},對應法則是“乘以2”；

（2）A={xlx>0},B=R,對應法則是“求算術平方根”；

（3）A={xlxwO},6=R,對應法則是“求倒數”；

（4）A={/alO°<NaW9O°},8={xlx〈l},對應法則是“求余弦”.

2.在下圖中的映射中，A中元素60°的象是什么？B中元素J的原象是什么？

2

A求正弦B

-?

（五）歸納小結

提出問題：怎樣判斷建立在兩個集合上的一個對應關系是否是個映射，你能歸納出兒個“標準”呢？

師生一起歸納：判定是否是映射主要看兩條：一條是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有

原象：二條是A中元素與B中元素只能出現“一對一”或“多對一”的對應形式.

（六）設置問題，留下懸念.

1.由學生舉出生活中兩個有關映射的實例.

2.已知/是集合A上的任一個映射，試問在值域/（A）中的任?個元素的原象，是否都是唯一的？

為什么？

3.已知集合A={41},6={-1,0,1},從集合A到集合B的映射，試問能構造出多少映射？

§1.3.1函敷的最大（小）值

一.教學目標

1.知識與技能：

理解函數的最大（小）值及其幾何意義.

學會運用函數圖象理解和研究函數的性質.

2.過程與方法：

通過實例，使學生體會到函數的最大（小）值，實際上是函數圖象的最高（低）點的縱坐標，因而借

助函數圖象的直觀性可得出函數的最值，有利于培養以形識數的解題意識.

3.情態與價值

利用函數的單調性和圖象求函數的最大（小）值，解決II常生活中的實際問題，激發學生學習的積極

性.

二.教學重點和難點

教學重點：函數的最大(小)值及其幾何意義

教學難點：利用函數的單調性求函數的最大(小)值.

三.學法與教學用具

1.學法：學生通過畫圖、觀察、思考、討論，從而歸納出求函數的最大(小)值的方法和步驟.

2.教學用具：多媒體手段

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題.

畫出下列函數的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現函數的什么特征？

①/(x)=-x+3?f(x)=-x+3xe[-l,2]

@f(x)=x2+2x+l@f(x)=x2+2x+lxe[-2,2]

(-)研探新知

1.函數最大(小)值定義

最大值：一般地，設函數y=/(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足：

(1)對于任意的xw/,都有

(2)存在使得/(%)=加.

那么，稱M是函數y=/(x)的最大值.

思考：依照函數最大值的定義，結出函數y=/(x)的最小值的定義.

注意：

①函數最大(小)首先應該是某一個函數值，即存在使得/(x0)=M；

②函數最大(小)應該是所有函數值中最大(小)的，即對于任意的xe/,都有/(x)〈例(/(x)>m).

2.利用函數單調性來判斷函數最大(小)值的方法.

①配方法②換元法③數形結合法

(三)質疑答辯，排難解惑.

例1.(教材P.36例3)利用二次函數的性質確定函數的最大(小)值.

解(略)

例2.將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售

量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應定為多少？

解：設利潤為y元，每個售價為x元，則每個漲(x—50)元，從而銷售量減少

10(x-50)個,共售出500To(x-50)=100T0x(個)

y=(x-40)(1000-lOx)

=-10(x-70)2+9000(50<x<100)

???x=70時ymax=9000

答：為了賺取最大利潤，售價應定為70元.

2

例3.求函數y=——在區間［2,6］上的最大值和最小值.

x-1

解：（略）

例4.求函數y=x+Jl-x的最大值.

解：令f=Jl—x20有x=-r+l則

,1，5

y=-t+t+l^-(t--)+--//>0

1,

-(t——)2<0

2

244

5

.??原函數的最大值為2.

4

(四)鞏固深化，反饋矯正.

(I)P38練習4

(2)求函數yTx—31—lx+11的最大值和最小值.

（3）如圖，把截面半徑為25cvn的圖形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為x,面積為y,試將y

表示成x的函數，并畫出函數的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？

（五）歸納小結

求函數最值的常用方法有：

（1）配方法：即將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定

函數的最值.

（2）換元法：通過變量式代換轉化為求二次函數在某區間上的最值.

（3）數形結合法：利用函數圖象或兒何方法求出最值.

（六）設置問題，留下懸念.

1.課本P45(A組)6.7.8

2.求函數y=x+\j2x-l的最小值.

3.求函數y=/—2x+3當自變量x在下列范圍內取值時的最值.

①-14x40②0<x<3③XG(-00,4-00)

§I.3.I函數的單耦帙

一、教學目標

1、知識與技能：

（1）建立增（減）函數的概念

通過觀察一些函數圖象的特征，形成增（減）函數的直觀認識.再通過具體函

數值的大小比較，認識函數值隨自變量的增大（減小）的規律，山此得出增（減）函數單調性的定義.掌

握用定義證明函數單調性的步驟。

(2)函數單調性的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究

活動，體驗數學概念的形成過程的真諦。

2、過程與方法

(1)通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性及其幾何意義；

(2)學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；

(3)能夠熟練應用定義判斷與證明函數在某區間上的單調性.

3、情態與價值，使學生感到學習函數單調性的必要性與重要性，增強學習

函數的緊迫感.

二、教學重點與難點

重點：函數的單調性及其幾何意義.

難點：利用函數的單調性定義判斷、證明函數的單調性.

三、學法與教學用具

1、從觀察具體函數圖象引入，直觀認識增減函數，利用這定義證明函數單調性。通過練習、交流反

饋，鞏固從而完成本節課的教學目標。

2、教學用具：投影儀、計算機.

四、教學思路：

(-)創設情景，揭示課題

1.觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：

①隨x的增大，y的值有什么變化？

0能否看出函數的最大、最小值？

③函數圖象是否具有某種對稱性？

2.畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：

(1)f(x)=x

①從左至右圖象上升還是下降?

②在區間上，隨著X的增

大，f(X)的值隨著.

(2)f(x)=-x+2

①從左至右圖象上升還是下降?

②在區間上，隨著X的增

大，f(x)的值隨著.

(3)f(x)=x23

①在區間上，

f(x)的值隨著x的增大而.

②在區間上，f(x)的值隨

著X的增大而.

3、從上面的觀察分析，能得出什么結論？

學生回答后教師歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖象的變

化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，函數圖象的這種變化規律就是函數性質的反映，這

就是我們今天所要研究的函數的一個重要性質——函數的單調性(引出課題)。

(二)研探新知

1、y=/的圖象在y軸右側是上升的，如何用數學符號語言來描述這種“上升”呢？

學生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

函數y=/在(0,+8)上圖象是上升的，用函數解析式來描述就是：對于(0,+8)上的任意的

Xi,X2,當X1<X2時，都有x『<x/.即函數值隨著自變量的增大而增大，具有這種性質的函數叫增函數。

2.增函數

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I,

如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量X”X2,當X'X2時，都有f(X])<f(X2),那么就

說f(x)在區間D上是增函數(increasingfunction).

3、從函數圖象上可以看到，y=x2的圖象在y軸左側是下降的，類比增函數的定義，你能概括出減函

數的定義嗎？

注意：

①函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

<2)必須是對于區間D內的任意兩個自變量X],X2；當X1<X2時，總有f(X])<f(X2).

4.函數的單調性定義

如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格

的)單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間：

(三)質疑答辯，發展思維。

根據函數圖象說明函數的單調性.

例1如圖是定義在區間[-5,5J上的函數y=f(x),根據圖象說出函數的單

調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

解：略

例2物理學中的玻意耳定律P=&(k為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少

V

時，壓強P將增大。試用函數的單調性證明之。

分析：按題意，只要證明函數P=K在區間(0,+8)上是減函數即可。

V

證明：略

3.判斷函數單調性的方法步驟

利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：

①任取X],X2GD.且X1<X2；

②作差f(X|)—f(X2)；

③變形(通常是因式分解和配方)：

④定號(即判斷差f(X])—f(X2)的正負)；

⑤下結論(即指出函數f(X)在給定的區間D上的單調性).

鞏固練習：

①課本P38練習第1、2、3題；

②證明函數>=%+，在(1,+8)上為增函數.

X

例3.借助計算機作出函數y=-x2+21x1+3的圖象并指出它的的單調區間.

解：（略）

思考：畫出反比例函數y=’的圖象.

x

①這個函數的定義域是什么？

②它在定義域/上的單調性怎樣？證明你的結論.

（四）歸納小結

函數的單調性般是先根據圖象判斷，再利用定義證明.畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調

區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：

取值f作差f變形一定號f下結論

（五）設置問題，留下懸念

1、教師提出下列問題讓學生思考：

①通過增（減）函數概念的形成過程，你學習到了什么？

②增（減）函數的圖象有什么特點？如何根據圖象指出單調區間？

③怎樣用定義證明函數的單調性？

師生共同就上述問題進行討論、交流，發表自己的意見。

2、書面作業：課本P45習題1、3題（A組）第1-5題。

§1.3.2圖數的奇偶嵯

--教學目標

1.知識與技能：

理解函數的奇偶性及其幾何意義；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；學會判斷函數的奇偶性;

2.過程與方法：

通過函數奇偶性概念的形成過程，培養學生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數形結合的數學思想.

3.情態與價值：

通過函數的奇偶性教學，培養學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力.

二.教學重點和難點：

教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義

教學難點：判斷函數的奇偶性的方法與格式

三.學法與教學用具

學法：學生通過自己動手計算，獨立地去經歷發現，猜想與證明的全過程，從而建立奇偶函數的概念.

教學用具：三角板投影儀

四.教學思路

（-）創設情景，揭示課題

“對稱”是大自然的一種美，這種“對稱美”在數學中也有大量的反映，讓我們看看下列各函數有什

么共性？

觀察下列函數的圖象，總結各函數之間的共性.

fM=x2/（x）=1x1-1x（x）=-4

X

通過討論歸納：函數/(x)=%2是定義域為全體實數的拋物線；函數/(X)=1x1-1是定義域為全體實

數的折線；函數/(x)=-V是定義域為非零實數的兩支曲線，各函數之間的共性為圖象關于y軸對稱.觀

x

察一對關于y軸對稱的點的坐標有什么關系？

歸納：若點(x,/(x))在函數圖象上，則相應的點(-x,/(x))也在函數圖象上，即函數圖象上橫坐標

互為相反數的點，它們的縱坐標一定相等.

(-)研探新知

函數的奇偶性定義：

1.偶函數

一般地，對于函數/5)的定義域內的任意一個x,都有/(-x)=/(x),那么/(x)就叫做偶函數.(學

生活動)依照偶函數的定義給出奇函數的定義.

2.奇函數

一般地，對于函數/3)的定義域的任意一個x,都有/(-x)=-/(x),那么/(x)就叫做奇函數.

注意：

①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；

②由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個X,則-X

也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).

3.具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的