復(fù)變函數(shù)課件5-習(xí)題目錄復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的積分冪級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式與洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式01復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)010203復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成的數(shù)，表示為$z=a+bi$，其中$a$是實(shí)部，$b$是虛部，$i$是虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)中，如果虛部為0，則該復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)。虛數(shù)在復(fù)數(shù)中，如果實(shí)部為0，則該復(fù)數(shù)為虛數(shù)。復(fù)數(shù)的概念按照實(shí)部和虛部分別相加的原則進(jìn)行。按照實(shí)部和虛部分別相減的原則進(jìn)行。按照分配律和結(jié)合律進(jìn)行，即$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$。通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)的方法進(jìn)行，即$frac{a+bi}{c+di}=frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$。加法減法乘法除法復(fù)數(shù)的運(yùn)算函數(shù)$f(z)$的定義域是指所有使$f(z)$有意義的$z$的集合。定義域函數(shù)$f(z)$的值域是指函數(shù)所有可能取值的集合。值域?qū)τ诙x域內(nèi)的每一個(gè)$z$，函數(shù)$f(z)$只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。單值函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)$z$，函數(shù)$f(z)$可能有兩個(gè)或更多的值與之對(duì)應(yīng)。多值函數(shù)復(fù)變函數(shù)的概念02復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限是指當(dāng)自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的趨近方式。極限的定義極限的性質(zhì)極限的計(jì)算極限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部有界性等性質(zhì)。通過(guò)計(jì)算自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值，可以求得復(fù)變函數(shù)的極限。030201復(fù)變函數(shù)的極限如果當(dāng)自變量在某一點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)值也相應(yīng)地做有限變化，則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)具有連續(xù)性、可積性、可微性等性質(zhì)。連續(xù)性的性質(zhì)通過(guò)判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限是否等于函數(shù)值，可以判定函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)性的判定復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)可微。可微性的定義可微函數(shù)具有連續(xù)性、可積性、可導(dǎo)性等性質(zhì)。可微性的性質(zhì)通過(guò)判斷函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是否存在，可以判定函數(shù)的可微性。可微性的判定復(fù)變函數(shù)的可微性03復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分定義積分起點(diǎn)和終點(diǎn)在復(fù)平面上，選擇一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，并計(jì)算函數(shù)在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的線段上的積分。積分路徑積分路徑可以是任意形狀的閉合曲線，也可以是直線段或圓弧。積分值根據(jù)積分路徑的形狀和函數(shù)的形式，計(jì)算出積分值。應(yīng)用范圍柯西積分公式適用于解析函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的積分計(jì)算。公式形式如果函數(shù)f(z)在包含原點(diǎn)的區(qū)域D內(nèi)解析，且z_0不屬于D，那么對(duì)于D內(nèi)的任意點(diǎn)z，有f(z)=1/2πi∮(z_0→z)f(t)/(t-z)dt。注意事項(xiàng)使用柯西積分公式時(shí)，需要確保函數(shù)在區(qū)域內(nèi)是解析的，且積分路徑可以任意選擇，但必須不經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的任何奇點(diǎn)。柯西積分公式如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱該函數(shù)為解析函數(shù)。如果f(z)是一個(gè)解析函數(shù)，那么它可以在其定義域內(nèi)表示為某個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)函數(shù)的積分形式。即f(z)=∫(a→b)f'(t)dt+c，其中a和b是實(shí)數(shù)，c是常數(shù)。解析函數(shù)的積分表示積分表示解析函數(shù)04冪級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)將函數(shù)表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式，即$f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+cdots$，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常數(shù)。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)的收斂域是指使得級(jí)數(shù)收斂的$z$的取值范圍。收斂域的確定需要考慮各項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)和級(jí)數(shù)的收斂條件。收斂域冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，例如求解函數(shù)的積分、求函數(shù)的極限、研究函數(shù)的性質(zhì)等。應(yīng)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式將函數(shù)表示為帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+frac{f''(z_0)}{2!}(z-z_0)^2+cdots$，其中$f'(z_0),f''(z_0),ldots$是函數(shù)在$z_0$處的導(dǎo)數(shù)值。收斂域泰勒級(jí)數(shù)的收斂域通常比冪級(jí)數(shù)更廣泛，但也受到一些限制條件，例如需要考慮奇點(diǎn)、分支點(diǎn)等。應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式在復(fù)變函數(shù)中也有著重要的應(yīng)用，例如求解函數(shù)的積分、研究函數(shù)的性質(zhì)、分析函數(shù)的極限等。泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式將函數(shù)表示為帶有積分項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即$f(z)=int_{a}^{b}f(t)(z-t)^{-1}dt$，其中$a,b$是常數(shù)，$f(t)$是已知函數(shù)。洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式洛朗茲級(jí)數(shù)的收斂域取決于已知函數(shù)$f(t)$的性質(zhì)和積分路徑。在某些條件下，洛朗茲級(jí)數(shù)可能只在復(fù)平面的某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂。收斂域洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式在復(fù)變函數(shù)中也有一定的應(yīng)用，例如求解某些特殊函數(shù)的積分、研究函數(shù)的性質(zhì)等。應(yīng)用洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式05復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式與洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以用來(lái)逼近復(fù)雜的函數(shù)，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，可以近似表示任意復(fù)變函數(shù)。函數(shù)逼近對(duì)于一些在特定區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以用來(lái)進(jìn)行解析延拓，擴(kuò)展函數(shù)的定義域。解析延拓利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可以將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算的級(jí)數(shù)求和，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。積分計(jì)算冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用奇點(diǎn)分析通過(guò)分析洛朗茲級(jí)數(shù)的系數(shù)，可以確定函數(shù)的奇點(diǎn)位置和性質(zhì)，有助于理解函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)分解對(duì)于一些難以直接分解的函數(shù)，洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以提供一種有效的分解方法。函數(shù)表示洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以用來(lái)表示復(fù)雜的函數(shù)，特別是那些在復(fù)平面上有多個(gè)極點(diǎn)的函數(shù)。洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用03計(jì)算復(fù)雜性冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，而洛朗茲級(jí)數(shù)展開(kāi)式的計(jì)算