第六章二階線性常微分方程的冪級數解法

數學物理方法——數學物理問題中的二階線性常微分方程的標準形式為方程的系數→解的解析性級數解法得到的解總是指某一指定點

z0

的鄰域內收斂的無窮級數。p(z)、q(z)在z0點的解析性級數解在z0點的解析性。超幾何方程6.1二階線性常微分方程的常點和奇點

定義

假設p(z)、q(z)在z0點解析，稱z0點為方程的常點。假設p(z)、q(z)中至少有一個在z0點不解析，稱z0點為方程的奇點。

舉例有限遠處p(z)、q(z)有兩個奇點，z=0和z=1。所以，z=0和z=1是超幾何方程的奇點，有限遠處的其它點為方程的常點。勒讓德方程

舉例有限遠處p(z)、q(z)有兩個奇點，z=1和z=-1。所以，z=0和z=1是勒讓德方程的奇點，有限遠處的其它點為方程的常點。要判斷z=∞是否為方程的奇點，作自變量變換二階線性齊次常微分方程可以化為標準形式為假設t=0是常點/奇點，那么z=∞就是常點/奇點。和不含t負冪項

t=0(z=∞)為方程常點的條件可見，z=∞是勒讓德方程和超幾何方程的奇點。將代入方程得

例題解求二階線性常微分方程，使其解為和。

設所求方程為即

(1)代入(2)得將代入方程得即

即所求方程為

假設p(z)和q(z)在圓內單值解析，那么在此圓內常微分方程初值問題(c0，c1為任意常數)有唯一的一個解w(z)，且w(z)在這個圓內單值解析。6.2方程常點鄰域內的解

定理∴均可展開為冪級數：求解方法說明

其中an，bn，c0，c1，確定出cn可求出方程的解。將展開為級數的p(z)，q(z)和w(z)代入方程：∵

p(z)和q(z)在圓內單值解析，可知冪次項(z-z0)n的系數全為0考察各冪次項系數常數項系數為一次項系數為以此類推cn均可用c0和c1表示

例題解求勒讓德方程在z=0鄰域內的解，l為參數。統一求和指標，k均從0記z=0為常點，有代入方程得zk同次冪合并后，得合并ck的系數，得即得遞推關系為偶次冪系數為同理，奇次冪系數為引進記號那么∴勒讓德方程在內的解就是任意給定初始條件c0和c1，就可得到一個特解。尤其當和時，即得特解二者的任意線性組合即為通解。求解過程中，ck+2只與ck有關，而與ck+1無關，w1(z)是偶函數，w2(z)是奇函數。對于z→-z變換，勒讓德方程的形式不變，故w(-z)也是方程的解，且w(z)+w(-z)是偶函數，w(z)-w(-z)是奇函數。在常點鄰域內求級數解的一般步驟1、將方程常點鄰域內的解展開為泰勒級數，代入方程；2、比較系數，獲得系數間的遞推關系；3、反復利用遞推關系，求出系數ck的普遍表達式〔用c0和c1表示〕，最后得出級數解。線性方程線性遞推關系w1(z)和

w2(z)是兩個線性無關的特解

例題解求方程

在z=0鄰域內的兩個級數解。

代入方程得z=0是方程的常點，令

考察同次冪系數零次冪系數一次冪系數二次冪系數三次冪系數四次冪系數五次冪系數n次冪系數同理所以對應和有兩個線性無關的特解：

例題設是方程的解，在區域G1內解析，假設是在區域G2內的解析延拓，即試證明：仍是方程的解。設證明g(z)在G2內的解析是方程在G1內的解，故在內仍滿足方程而時，故在G2內滿足方程即，由解析函數唯一性可知∵和線性無關∴

朗斯基行列式

例題設和是的兩個線性無關解，且均在區域G1內解析，假設和是和在G2內的解析延拓，即時，試證：和仍線性無關上個例子已經證得和仍是方程的解證明所以，和在G2內仍線性無關。由解析函數的唯一性可知在G2內解析設

∵∴由以上例題可知，方程在不同區域內的解式互為解析延拓，因此，可以由方程在某一區域內的解式出發，通過解析延拓推出方程在其它區域內的解式。假設z0是方程的奇點，那么在p(z)和q(z)都解析的環域內，方程的線性無關解是6.3方程正那么奇點鄰域內的解定理其中為常數。當或不是整數，或，方程的解均為多值函數，z0為其支點。將和代入方程，難以求出系數的普遍公式〔無窮多正冪項與負冪項〕，當級數解中只有有限個負冪項，總可以調整值，使級數中沒有負冪項。說明稱為正那么解。方程在奇點鄰域內有兩個正那么解的條件是什么？定理充分必要條件富克斯定理方程在其奇點z0的鄰域內有兩個正那么解和在z0點解析z=0和z=1均為超幾何方程的正那么奇點。

舉例z0

=0時，和在z0

=0處解析。z0

=1時，和在z0

=1處解析。z=1和z=-1均為勒讓德方程的正那么奇點。

舉例z0

=1時，和在z0

=0處解析。z0

=1時，和在z0

=1處解析。要判斷z=∞是否為方程的奇點，作自變量變換〔前面已推得〕方程化為在t=0

處，解析。那么z=∞是方程的正那么奇點。判斷z=∞是否為超幾何方程和勒讓德方程的正那么奇點。

例題超幾何方程：在t=0處解析，t=0為正那么奇點。z=∞為超幾何方程的正那么奇點。勒讓德方程：在t=0處解析，t=0為正那么奇點。z=∞為勒讓德方程的正那么奇點。將代入方程比較系數，求出指標和系數遞推關系在正那么奇點z0處將代入方程正那么奇點鄰域內級數解的求解思路整數求得兩個線性無關解只求得一個解求解過程設z=0是方程的正那么奇點，在z=0的鄰域內，方程的系數作洛朗展開：設解為代入方程，有由于的存在，c0不會因求導而消失，k仍從0取起。約去，整理得的系數為即指標方程其中獲得指標，其中和〔規定〕的系數為系數遞推關系反復利用系數遞推關系，得到★假設整數，分別代入和可得兩個線性無關的特解★假設，第二特解必含對數項★假設〔整數〕，第二特解可能含有對數項補充討論：當〔整數〕時，假設第二特解含有對數項，其系數有∵∴因此，①時，無解；②時，任意。對于①，

一定含有對數項；對于②，

同時依賴于和，有兩項，一項正比于，一項正比于，而此時可取任意值，取。因此，〔整數〕，第二特解可能含有對數項補充證明：普遍理論對二階常微分方程，假設已求出，總可以通過積分求出第二解的級數。得

證明即

∵∴可知兩端同除以得

積分得

再積分，即

例題解求方程

在z=0鄰域內的兩個級數解。

又知z=0是方程的正那么奇點。方程的標準形式為易知在z=0點解析

z=0是方程的奇點

指標方程為指標為將代入系數遞推公式可得即所以當時，由系數遞推公式可得所以不是指標。

n不能取1，意味著不存在，令A=1，代入得∴方程在z=0鄰域內的兩個級數解為

可知是方程的奇點。6.4貝塞耳方程的解在柱坐標中對亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程別離變量，可以得到貝塞耳方程〔g階貝塞耳方程〕g是常數，均在解析，所以是方程的正那么奇點。

討論：貝塞耳方程在的鄰域內的解設代入方程有約去，得∴時時任意由級數展開的唯一性可知，作系數比較項的系數：可得指標方程即項的系數：即項的系數：可知遞推關系：反復使用遞推關系：用代入系數通式，可得那么取就有解：

g階貝塞耳函數用代入系數通式，可得那么當整數時，取就有解：-g階貝塞耳函數當時，以上只給出同一解補充討論的情形，任意，假設，那么此時即，那么只是又增加了一項當