高等數學微積分課件--第八章多元函數微積分81預備知識多元函數的極限偏導數全微分向量值函數多元函數的極值contents目錄01多元函數的極限定義與性質定義多元函數的極限是指當各個自變量趨于某一點時，函數值趨于某個確定值的性質。性質極限具有唯一性、局部有界性、局部保序性等性質，這些性質在研究多元函數的微積分中具有重要意義。03冪級數法利用冪級數展開式來計算多元函數的極限，適用于一些特殊函數的極限計算。01代數法通過代數運算計算多元函數的極限，需要掌握各種極限運算的法則和公式。02幾何法通過幾何圖形或幾何意義來理解多元函數的極限，例如利用數形結合的方法。計算方法定義如果對于任意給定的正數$epsilon$，存在一個正數$delta$，使得當各個自變量滿足$|x_i-a_i|<delta$時，有$|f(x)-f(a)|<epsilon$，則稱多元函數在點$(a_1,a_2,ldots,a_n)$處連續。性質連續性具有局部性、傳遞性和可加性等性質，這些性質在研究多元函數的微積分中具有重要意義。連續性02偏導數定義與性質對于一個多元函數，如果一個變量變化時，其余變量保持不變，那么得到的導數就是偏導數。偏導數的定義偏導數具有線性、連續性和可加性等性質，這些性質在研究多元函數的性質和計算中非常重要。偏導數的性質通過求二階偏導數，可以得到高階偏導數，進而研究函數的極值和拐點等性質。對于復合函數，可以通過鏈式法則計算偏導數，從而得到復合函數的導數。計算方法復合函數的偏導數高階偏導數的計算偏導數表示函數在某一點的切線方向，可以通過偏導數確定函數圖像在該點的切線斜率和方向。切線方向通過研究偏導數，可以找到函數的最值點，進而確定函數的最值。函數的最值偏導數的幾何意義03全微分VS全微分的定義和性質是多元函數微積分的基礎，它描述了函數在一點附近的變化情況。詳細描述全微分是多元函數在某一點的全增量，它等于各個自變量改變量與相應的偏導數的乘積之和。全微分具有線性性質和非局部性質，即全微分滿足線性組合和鏈式法則。總結詞定義與性質全微分的計算方法包括求偏導數和計算各偏導數的乘積之和。總結詞首先求出多元函數的各個偏導數，然后將各個自變量的改變量乘以相應的偏導數，最后將這些乘積相加得到全微分。全微分的計算方法還包括鏈式法則和全微分的近似計算方法。詳細描述計算方法總結詞全微分的應用包括近似估計、導數的幾何意義和函數的極值問題。詳細描述全微分可以用于近似估計函數在某一點的改變量，從而了解函數在該點附近的變化趨勢。全微分的幾何意義是切線的斜率，可以用來研究函數的凹凸性和極值問題。此外，全微分還可以用于求解最優化問題，例如多元函數的極值和條件極值問題。全微分的應用04向量值函數定義向量值函數的導數是單位切向量與函數方向導數的乘積。性質向量值函數的導數具有與標量函數導數相似的性質，如鏈式法則、乘積法則等。應用向量值函數的導數是研究向量值函數性質和幾何意義的基礎，也是多元函數微積分中的重要概念。向量值函數的導數定義向量值函數在某點的可微性是指該點的極限切線與函數在該點的切線一致。性質向量值函數的可微性具有與標量函數可微性相似的性質，如可微函數的導數存在且連續。應用向量值函數的可微性是研究向量值函數性質和幾何意義的重要工具。向量值函數的可微性030201123向量值函數的幾何意義是指向量的變化率或速度。定義向量值函數的幾何意義具有與標量函數導數相似的性質，如方向導數表示函數在該點的切線方向。性質向量值函數的幾何意義是研究向量值函數性質和幾何意義的重要工具，也是理解多元函數微積分概念的基礎。應用向量值函數的幾何意義05多元函數的極值極值點處的函數值必須大于或等于其鄰域內的函數值即對于可微的多元函數，如果在某點的鄰域內，函數值達到局部最大或最小，則該點為極值點。要點一要點二極值點處的函數梯度必須為零即函數在極值點處的偏導數必須為零。極值的必要條件即二階偏導數在極值點處不能出現間斷或無窮大。二階偏導數在極值點處必須存在且連續即海森矩陣的所有主子式必須非負，且至少有一個主子式為零。海森矩陣在極值點處必須是半正定的極值的充分條件在最優化問題中的應用極值理論可以用于求解最優化問題，例如在生產、運輸、分配等實際問題中，通過尋找函數的極值點，可以得到最優解。