線性代數●

行列式●

向量●

線性方程組●

矩陣●

矩陣的特征值和特征向量第1章行列式（特定的算式）一、行列式的概念二、行列式的性質三、行列式的計算第1章行列式一、行列式的概念1.

2階和3階行列式行列式的元素行列式的主對角線行列式的次對角線例★★★共3!項的代數和2.

n階行列式共n!項的代數和●特別：一階行列式▽★★

3.幾種特殊的行列式★★★（對角行列式）（上三角行列式）（下三角行列式）例★特別：二、行列式的性質★★★設

●

的轉置行列式：1、即行列式與其轉置行列式相等。2、即提公因子。推論：如果行列式中某行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。3、若互換行列式的任意兩行（列），則行列式的值改變符號。推論1

若行列式中有兩行（列）元素完全相同，則此行列式的值為0。推論2若行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為0。★例

設行列式則行列式（）CA.B.C.D.（P7第1題）（04年）4、行列式中把某一行（列）的倍加到另一行對應元素上，行列式的值不變。例★

5、（對列也有同樣的性質）例

計算行列式解原式（多種方法）（P5例2）補如果則

的值為（）.解法一

原式A.B.C.D.C解法二

用性質4，把相同的部分抵消掉★★★★

補★★★不恒為零的函數

（）A.沒有零點B.至多有一個零點C.恰有兩個零點D.恰有3個零點（09年）解法一不確定可排除C，D若取則是的零點。故排除A,選B.B函數

的零點

方程的根

曲線與軸的交點（的橫坐標）★（按第一列拆開）為一次函數，其圖像與軸最多一個交點。法二

三、行列式的計算★★★

1.化為上三角行列式（觀察上三角行列式列的特點）●

基本方法有兩種化為上三角行列式按某行（列）展開（降階法）例

計算行列式解原式例計算行列式解

原式▽提示▽2、按某行（列）展開（降階法）元素的余子式：元素的代數余子式：●

行列式中每個元素都有余子式、代數余子式

.●

元素的余子式、代數余子式的值與元素本身的值無關，而只與所在的位置有關。●

n階行列式中，每個元素的余子式、代數余子式是一個n-1階行列式。▽例求行列式的第二行第一列元素的代數余子式或.定理

行列式可按任意一行（列)展開。★2、按某行（列）展開（降階法）（若

，則

行列式例1

計算行列式解法一（按第一行展開）原式解法二（按第二行展開）原式▽例2

計算行列式解

原式●

用此法時，通常先初步選定一個好的行（列），先用行列式的性質把選好的行（列）化為只剩一個元素不為零，然后再按此行（列）展開。★★●

●三階行列式的計算一定要非常熟練!!!總結★★★例3

計算行列式解

原式例4計算行列式解法二

原式（P5例2）例

已知四階行列式，其第3列元素分別為（P8第5題）它們對應的余子式分別為，則行列式（）

A.B.C.D.B解

余子式代數余子式推論：行列式中某行元素與另一行對應元素的代數

余子式乘積之和等于0.（對列也適合）例

（證明：設則又把按第三行展開得故▽補重要設，則.解

法一分別求出法二法三可看成補重要設，則=（）.A.B.C.D.解

A法一分別求出法二提示！3、應用公式①②③特點：0元素集中在左下角或右上角。范德蒙行列式▽▽范德蒙行列式③▽補設，則.★★★解

（0元素較多，但不集中）▽D（P9第10題）例A.B.C.D.（）★★★.解

補（）.A.B.C.D.C解

此行列式為范德蒙行列式▽補★★★方程，根的個數

為（）.CA.B.C.D.解

此行列式轉置后為一范德蒙行列式行列式故方程有4個根.▽4、其它行列式的計算★★★★★例

計算行列式（P6例3）解

特點：每行元素的和都相等原式例

方程的根為（）.（P8第6題）A.B.C.D.C解

每行元素的和都相等行列式方程的根為.▽★★例

行列式解

特點：每行元素的和都相等（P9第9題）（）.A.B.C.D.C★例

設是方程的三個根，解

（P8第4題）則行列式的值等于（）.A.B.C.D.B（05年）關鍵求出經觀察知，是方程的根不妨設則另兩根的和為：故從而行列式的值為0.法一法二是方程的三個根比較系數得故行列式的值為0.▽★★例

行列式展開式中的常數項為（）（P8第2題）D（07年）A.B.C.D.解

設在上式中，令得★例

行列式展開式中的系數（P8第3題）A（03年）A.B.C.D.是（）.解

法一（解此類題的常用方法）(展開想象)+行列式故的系數為2.法二展開式中含的項即次對角線上元素的乘積.補方程的實數根的個數是（）.BA.B.C.D.解

行列式第2、3列均減去第一列，并……方程只有一個實根。常數！★補當時，計算階行列式特值代入法