PAGE十五正態分布(40分鐘80分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,則P(X<6)= ()A.0.3 B.0.4C.0.85 D.0.7【解析】選D.因為X~N(4,σ2),正態曲線的對稱軸為x=4,因為P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.2.已知X~N(0,1),則X在區間(-∞,-2)內取值的概率為 ()A.0.954 B.0.046C.0.977 D.0.023【解析】選D.正態曲線的對稱軸為x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)=0.5-0.95442=0.3.已知隨機變量ξ,且ξ~Nμ,σ2,若P(-3<ξ<-1)=P3<ξ<5A.4 B.2 C.1 D.0【解析】選C.因為ξ~N(μ,σ2),若P(-3<ξ<-1)=P(3<ξ<5),則μ=-1+324.設每天從甲地去乙地的旅客人數為隨機變量X,且X~N800,502,則一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為參考數據:若X~Nμ,σ2,則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0A.0.97725 B.0.6827C.0.9973 D.0.9545【解析】選A.因為隨機變量X~N800,502,所以μ=800,σ=50,P0.9545,由正態分布的對稱性,P(X≤900)=P(X≤800)+12P(700≤X≤900)=0.5+12×00.97725.5.紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸,降低潛在的病毒感染風險,為防控新冠肺炎疫情,某廠生產的紅外線自動測溫門,其測量體溫誤差ξ服從正態分布N(0.1,0.32),從已經生產出的測溫門中隨機取出一件,則其測量體溫誤差在區間(0.4,0.7)內的概率為 ()(附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ).則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545)A.0.3174 B.0.2718C.0.1359 D.0.0456【解析】選C.由紅外線自動測溫門測量體溫誤差服從正態分布N(0.1,0.32),得μ=0.1,σ=0.3.所以測量體溫誤差在區間(0.4,0.7)內的概率為P(0.4<ξ<0.7)=P(μ+σ<ξ<μ+2σ)=12[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈0.13596.某校在一次月考中有600人參加考試,數學考試的成績服從正態分布X~N90,σ2(σ>0,試卷滿分150分),統計結果顯示數學考試成績在70分到110分之間的人數為總人數的35,則此次月考中數學考試成績不低于110A.480 B.240 C.120 D.60【解析】選C.因為X~N90,σ2(σ>0),所以P(X≥110)=12×1-357.(多選題)已知隨機變量X服從二項分布B4,p,其數學期望EX=2,隨機變量Y服從正態分布Np,4,且PX=3+PYA.p=14 B.p=C.PY>1-a=14 【思維導引】由二項分布的期望知EX=4p=2求得p=12,即可判斷A,B,進一步求出PX=3=14,又根據Y服從正態分布Np,4可求得PY>1-a=3【解析】選BD.因為EX=4p=2,所以p=12,即A錯誤,B正確;易知Y~N1因為PX=3=C43·1所以PY<a=34,所以PY>1-a=3二、填空題(每小題5分,共15分)8.已知隨機變量ξ服從正態分布N(4,σ2),若P(ξ<2)=0.3,則P(2<ξ<6)=.

【解析】因為隨機變量ξ服從正態分布N(4,σ2),所以其對稱軸方程為x=μ=4,又P(ξ<2)=0.3,所以P(ξ>6)=P(ξ<2)=0.3,則P(2<ξ<6)=1-2×0.3=0.4.答案:0.49.已知兩個隨機變量滿足X+5Y=10,且X~N(0,1),則EY=,DY=.

【解析】由X~N(0,1),得E(X)=0,D(X)=1.因為X+5Y=10,所以Y=2-15X,所以E(Y)=2-15E(D(Y)=125DX=1答案:2110.已知隨機變量X~N(2,22),且aX+b(a>0)服從標準正態分布N(0,1),則a=,b=.

【解析】因為隨機變量X~N(2,22),所以E(X)=2,D(X)=22=4.所以E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0,D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1,又a>0,所以a=12,b=-1答案:12三、解答題(每小題10分,共30分)11.(2022·銀川高二檢測)設離散型隨機變量服從正態分布X~N(0,1),(1)求P(X≤0)值;(2)求P(-2≤X≤2)值.參考數據:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)因為正態分布X~N(0,1),所以μ=0,σ=1,其密度曲線的對稱軸為x=0,所以P(X≤0)=0.5;(2)P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545.12.某廠包裝白糖的生產線,正常情況下生產出來的白糖質量服從正態分布N(500,52)(單位:g).(1)求正常情況下,任意抽取一包白糖,質量小于485g的概率約為多少.(2)該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖,稱得其質量均小于485g,檢測員根據抽檢結果,判斷出該生產線出現異常,要求立即停產檢修,檢測員的判斷是否合理?請說明理由.附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)設正常情況下,該生產線上包裝出來的白糖質量為Xg,由題意可知X~N(500,52).因為485=500-3×5,所以根據正態分布的對稱性與3σ原則可知,P(X<485)=12[1-P(500-3×5≤X≤500+3×5)]≈12×0.0027=0.(2)檢測員的判斷是合理的.因為如果生產線不出現異常的話,由(1)可知,隨機抽取兩包檢查,質量都小于485g的概率約為0.00135×0.00135=0.0000018225=1.8225×10-6,幾乎為零,但這樣的事件竟然發生了,所以有理由認為生產線出現異常,檢測員的判斷是合理的.13.為滿足市場需求,某公司開發了一種新型零件制造機器,因技術還不成熟,每天生產機器需要預熱2小時,用X表示預熱期的零件尺寸(單位:nm),滿足X~N5,2.25.機器正常后,生產的零件尺寸用Y表示,滿足Y~N6,(1)若零件尺寸在5,6.5之間,則認為是合格品,(2)若機器的生產效率一直穩定不變,從生產的產品中任取一件,已知取到的是合格品,求它來自預熱期的概率(取兩位有效數字);(3)預熱期和正常生產時生產出來的合格品分開擺放,抽取2個預熱期和5個正常生產時生產的合格品組成樣本,不放回地抽取,直至首次取到正常期生產的合格品時結束,記抽取的次數為Z,求Z的期望.附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)由正態分布的性質可知,P(5<X<6.5)=P(μ<X<μ+σ)=0.68272P(5<Y<6.5)=P(μ-2σ<Y<μ+σ)=0.68272+0(2)設取出的產品是合格品記為事件A,取出的產品是預熱期生產的記為事件B,所以P(A)≈210×0.34+810×0.82=0P(BA)=0.2×(3)由題意,Z的可能取值為1,2,3,PZ=1=C51PZ=2=2×57×PZ=3=27×16×55=則Z的分布列為Z123P551所以EZ=1×57+2×521+3×121(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共15分)1.已知隨機變量ξ服從正態分布N(2,σ2),P(ξ≥4)=0.2,則P(0<ξ<4)= ()A.0.8 B.0.6 C.0.3 D.0.2【解析】選B.因為隨機變量ξ~N(2,σ2),P(ξ≥4)=0.2,所以正態曲線關于x=2對稱,又ξ≤0與ξ≥4關于x=2對稱,且P(ξ≥4)=0.2,所以P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,所以P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6.2.若ξ服從正態分布N(10,σ2),若P(ξ<11)=0.9,則P(|ξ-10|<1)= ()A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8【解析】選D.因為隨機變量ξ服從正態分布N(10,σ2),所以正態曲線的對稱軸是x=10,因為P(ξ<11)=0.9,所以P(ξ≥11)=1-0.9=0.1,所以P(|ξ-10|<1)=2×(0.5-0.1)=0.8.3.(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布N(μ1,σ12)、N(μ2,σ22),其正態分布的密度曲線如圖所示,A.乙類水果的平均質量μ2=0.8kgB.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小0.8D.乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2=1.99【解析】選AB.因為由圖象可知,甲圖象關于直線x=0.4對稱,乙圖象關于直線x=0.8對稱,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正確,C錯誤;因為甲圖象比乙圖象更“瘦高”,所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右,故B正確;因為乙圖象的最大值為1.99,即12πσ2=1.99,所以σ2≠1.99,二、填空題(每小題5分,共15分)4.理查德·赫恩斯坦[(RichardJ.Herrnstein),美國比較心理學家]和默瑞(CharlesMurray)合著《正態曲線》一書而聞名,在該書中他們指出人們的智力呈正態分布.假設猶太人的智力X服從正態分布N(120,52),從猶太人中任選一個人智力落在130以上的概率為.

(附:若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)【解析】因為X服從正態分布N(120,52),所以正態分布曲線的對稱軸方程為μ=120,則P(X>130)=P(X>120+10)≈12(1-0.9545)=0.02275答案:0.022755.若某班40名同學某次考試數學成績X(滿分150分)近似服從正態分布N90,σ2,已知P60<X<90=0.【解析】因為考試的成績X服從正態分布N90,所以考試的成績X關于x=90對稱,因為P60<X<90所以P90<X<120=0.35,所以PX>120=1-所以該班數學成績在120分以上的人數約為40×0.15=6.答案:6【補償訓練】下列命題中,正確命題的序號為.

①已知隨機變量服從二項分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=23②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后,方差恒不變;③設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ≤0)=12-p④某人在10次射擊中,擊中目標的次數為X,X~B(10,0.8),則當X=8時概率最大.【解析】根據二項分布的數學期望和方差的公式,可得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13,所以①錯誤的根據數據方差的計算公式可知,將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后,方差恒不變,所以②是正確的;由正態分布的圖象的對稱性可得P(-1<ξ≤0)=1-2P(ξ>1所以③是正確的;由獨立重復試驗的概率的計算公式可得,P(X=8)=C108(0.8)8(1-0.8)2,由組合數的公式,可得當X=8時取得最大值,所以④所以正確命題的序號為②③④.答案:②③④6.在某市高二的聯考中,這些學生的數學成績ξ服從正態分布N100,100,隨機抽取10位學生的成績,記X表示抽取的10位學生成績在80,120之外的人數,則PX≥1=,X的數學期望附:若隨機變量ξ服從正態分布Nμ,σ2,則P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973,取0.954510=0.6277,0.997310=0【解析】由題意,數學成績ξ服從正態分布N(100,100),則μ=100,σ=10,因為80=μ-2σ,120=μ+2σ,則P80<ξ<120=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ從而數學成績在80,1-0.9545=0.0455,故X~B10,因此PX≥1=1-PX=0=1-0.954510=1-0.所以X的數學期望E(X)=10×0.0455=0.455.答案:0.37230.455三、解答題(每小題10分,共20分)7.(2022·常州高二檢測)某地區3000名高三學生在某次模擬考試中的總分X服從正態分布N550,(1)求P500<X(2)請判斷學生總分X落在區間600,700參考數據:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997.【解析】(1)因為考生成績X~N(550,502),所以μ=500,σ=50,所以P(500<X≤650)=P(500<X≤550)