課后作業(四十二)空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1．(2013·臺州模擬)以下四個命題中①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數是()A．0B．1C．2．已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c一定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行圖7－3－83．如圖7－3－8所示，ABCD—A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()圖7－3－95．(2013·揭陽模擬)如圖7－3－9，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF與側棱CA.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．26．設A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是()A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC二、填空題圖7－3－107．(2013·合肥質檢)如圖7－3－10是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．8．(2013·杭州模擬)設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出五個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；⑤若a，b與c成等角，則a∥b.上述命題中正確的命題是________(只填序號)．圖7－3－119．如圖7－3－11所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．三、解答題圖7－3－1210．如圖7－3－12所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別為CC1，AA1的中點，畫出平面BED1F與平面圖7－3－1311．如圖7－3－13所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別為A1A，C1C的中點，求證：四邊形EBFD12．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF(1)D、B、F、E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共解析及答案一、選擇題1．【解析】①中顯然是正確的；②中若A、B、C三點共線則A、B、C、D、E五點不一定共面．③構造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面故不正確．④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．【答案】B2．【解析】若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，則a∥b與a，b異面相矛盾．【答案】C3．【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1∴A，M，O三點共線．【答案】A4．【解析】在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．如圖，在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點共面；D圖中PS與QR為異面直線，∴四點不共面，故選D.【答案】D5．【解析】如圖，取AC中點G，連FG、EG，則FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即為EF與C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).【答案】B6．【解析】由公理1知，命題A正確．對于B，假設AD與BC共面，由A正確得AC與BD共面，這與題設矛盾，故假設不成立，從而結論正確．對于C，如圖，當AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小變化時，AD與BC不一定相等，故不正確．對于D，如圖，取BC的中點E，連接AE，DE，則由題設得BC⊥AE，BC⊥DE.根據線面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC.故D正確．【答案】C二、填空題7．【解析】還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④8．【解析】由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故⑤不正確．【答案】①9．【解析】取A1C1的中點D1，連接B1D1因為D是AC的中點，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角．連接AD1，設AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.所以cos∠AB1D1＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2)，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°三、解答題10．【解】在平面AA1D1D內，延長D1F∵D1F與DA∴D1F與DA必相交于一點，設為P，則P∈D1F，P∈DA又∵D1F?平面BED1F，AD?平面∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點，連接PB∴PB即為平面BED1F與平面ABCD11．【證明】如圖所示，取B1B的中點G，連接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1∴四邊形C1FBG是平行四邊形，∴FB∥C1G，且FB＝C1∵D1C1∥EG，且D1C1＝∴四邊形D1C1GE∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四邊形EBFD1為平行四邊形．又∵FB＝FD1，∴四邊形EBFD1是菱形．12．【證明】(1)如圖所示，因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD確定一個平面