第08講平面向量基本定理及坐標表示【學習目標】1、掌握平面向量基本定理．2、學會用平面向量的坐標表示，體會其幾何意義．【考點目錄】考點一：平面向量基本定理考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題考點三：平面向量的坐標運算考點四：平面向量平行的坐標表示考點五：平面向量數量積的坐標表示及運算考點六：平面向量數量積的綜合應用【基礎知識】知識點一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這個平面內任一向量，有且只有一對實數，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內所有向量的基底；②平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎．知識點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎，它保證了向量與坐標是一一對應的，在應用時，構成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當地選取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉化為代數問題，轉化為只含有、的代數運算．知識點二：平面向量的坐標表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點詮釋：如果基底的兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數，使得=．這樣，平面內的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標．把=叫做向量的坐標表示．給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一有序數對唯一表示，從而建立了向量與實數的聯系，為向量運算數量化、代數化奠定了基礎，溝通了數與形的聯系．知識點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中．（2）要把點的坐標與向量坐標區別開來．相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同．（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．知識點三：平面向量的坐標運算1、平面向量坐標的加法、減法和數乘運算運算坐標語言加法與減法記，，實數與向量的乘積記，則=（，）2、如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據向量的直角坐標運算法則進行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等．（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系．（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關．知識點四：平面向量平行（共線）的坐標表示1、平面向量平行（共線）的坐標表示設非零向量，則∥，即，或．知識點詮釋：若，則∥不能表示成因為分母有可能為0．2、三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知，，若則A，B，C三點共線．知識點五：向量數量積的坐標表示1、已知兩個非零向量，，2、設，則或3、如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內兩點間的距離公式）．知識點六：向量在幾何中的應用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或【考點剖析】考點一：平面向量基本定理例1．如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點M，設在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p，＝q，求證：＋＝1.【解析】因為三點共線，所以存在實數，使得，又三點共線，所以存在實數，使得,由于不共線，所以,解得.故.因為三點共線，所以存在實數，使得,消去,得＋＝1.例2．如圖，在平行四邊形OADB中，設向量，，點M、N是對角線AB上的兩點，且，試用、表示與．【解析】∵平行四邊形OADB，設向量，，點M、N是對角線AB上的兩點，且，∴，.例3．如圖，在中，且，，交于點．(1)若，求的值；(2)若，，，求．【解析】(1)∵，又，∴，由C，F，D三點共線，設，∴，又，∴，∴，，∴，，(2)由(1)，∴，又，∴，又，，，∴，考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例4．在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點，，，三點共線.若，則實數的值為______.【答案】【解析】，，，分別為邊，，的中點，,，，三點共線，，解得：.故答案為：.例5．已知兩個非零向量與不共線，如果，，求證：A，B，D三點共線．【解析】∵，∴根據共線向量基本定理得，與共線．又與有公共點B，∴A，B，D三點共線，得證．考點三：平面向量的坐標運算例6．已知四邊形ABCD的三個頂點為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點D的坐標為（）A． B．C．(3，2) D．(1，3)【答案】A【解析】設頂點的坐標為，，且，故選：．例7．設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．【解析】（1）如圖，由向量的線性運算可知,所以點P的坐標是.（2）當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，或，若，如圖(1)，那么，即點P的坐標是.同理，如果，如圖(2)，那么點P的坐標是.考點四：平面向量平行的坐標表示例8．平面內給定三個向量(1)若求實數k；(2)設滿足且求.【解析】(1)(2)又且例9．如圖，在平面直角坐標系中，，，（1）求點的坐標；（2）求證：四邊形為等腰梯形．【解析】解：（1）設，則，，，，；（2）證明：連接,，，，且，又，，,四邊形為等腰梯形.考點五：平面向量數量積的坐標表示及運算例10．已知，，求：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因為，，所以.（2）因為，，所以，所以.（3）因為，，所以，所以.例11．已知，，，．（1）求證：；（2）求在上的投影向量．【解析】（1）已知，，，，，.（2），，，，，在上的投影為上的單位向量為在上的投影向量為.例12．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AB，BC的中點，用向量的方法證明：．【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標系：設正方形的邊長為2，則，，即考點六：平面向量數量積的綜合應用例13．平面內有向量，，，點M為直線OP上的一個動點。（1）求當取最小值時，求的坐標；（2）當點M滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AMB的值。【解析】（1）如圖，設。則，∵點M在直線OP上，∴向量與共線。又，，即.∴。又，，∴。同理。于是，由二次函數的知識，可知當時，有最小值-8，此時。（2）當，即時，有，，，，，∴。例14．已知是邊長為2的正方形，為平面內一點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖：則，設點，，于是得：，當時，取得最小值，所以的最小值是.故選：B例15．如圖，點C是半徑為6的扇形圓弧AB上的一點，18，若xy，則3x+2y的最大值為____________.【答案】【解析】由，則，，建立如圖所示坐標系，則，，設，，由知，，化簡得：，，則，其中，則當時，最大值為.故答案為：.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以.故選：D2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C3．（2023·山東·高考真題）已知點，，點在函數圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由題意函數圖象的對稱軸是，設，因為，所以，解得或，所以或，故選：C．4．（2007·山東·高考真題（理））設向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知：，即.故選：D.5．（2007·福建·高考真題（理））已知，點C在內，且.設，則等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】因為，所以,又因為點C在內，且，建立如圖所示的坐標系：則,,又因為，所以，所以，所以.故選：B.6．（2023·全國·高考真題（文））已知向量．若，則______________．【答案】【解析】由題意知：，解得.故答案為：.7．（2023·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．8．（江蘇·高考真題）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.【答案】.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.9．（2007·江西·高考真題（文））已知向量，則的最大值為___________.【答案】【解析】∵，∴，則當時，取最大值．故答案為：．10．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網格中的位置如圖所示．若網格紙上小正方形的邊長為1，則________；________.【答案】

0

3【解析】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.【過關檢測】一、單選題1．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學高一階段練習）已知向量，，若，則的值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由已知可得，，，因為，所以，解得，.故選：C.2．（2023·全國·高一課時練習）若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對于A，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，A不選；對于B，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，B不選；對于C，假設存在實數，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，D不選；故選：C3．（2023·上海市浦東中學高一期末）在中，已知為上的一點，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以,所以.故選：C.4．（2023·陜西師大附中高一期中）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心【答案】C【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經過的內心.故選：C.5．（2023·陜西·蒲城縣蒲城中學高一期末）已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，因為不超過5，所以，解得：，故選：C.6．（2023·遼寧·東北育才學校高一階段練習）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，，三點共線，，即.故選：B.7．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學高一階段練習）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，又∴.故選：B.8．（2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學高一階段練習）向量，且向量與向量方向相同，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為向量與向量方向相同，則存在實數，使得即所以，因為，所以所以因為，所以故選:B.二、多選題9．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學高一階段練習）設向量，平面內任一向量都可唯一表示為（），則實數的可能取值是（

）A．2 B．3 C．1 D．0【答案】ABD【解析】根據平面向量的分解定理，兩個向量可作為一組基底必須它們不平行，與不平行，有解之.故選：ABD.10．（2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校高一階段練習）已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】AD【解析】對于A，若，則，解得：，A正確；對于B，若，則，解得：，B錯誤；對于C，因為，所以，則當時，，，C錯誤；對于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時兩向量不共線，D正確.故選：AD.11．（2023·河南·商水縣實驗高級中學高一階段練習）已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．【答案】ABC【解析】對于A選項，若，則，所以，A正確；對于B選項，設向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項正確；對于C選項，，，C選項正確；對于D選項，，，所以與不共線，D選項錯誤.故選：ABC.12．（2023·黑龍江·大慶實驗中學高一期末）如圖，在等腰直角中，斜邊，且，點P是線段AD上任一點，則的可能取值是（

）A．-1 B．0 C．4 D．5【答案】BC【解析】依題意，，因，則，又點P是線段AD上任一點，則令，，而因此，而，則，即，選項A，D不滿足，B，C滿足.故選：BC三、填空題13．（2023·黑龍江·哈九中高一期中）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．【答案】且.【解析】由得，，.由已知得，，所以，即，且不共線.則，.又不共線，則.所以，的取值范圍為且.故答案為：且.14．（2023·上海市曹楊中學高一期末）已知為坐標原點，且，若三點共線，則實數_____．【答案】【解析】因為三點共線，所以，，，所以，解得：.故答案為：15．（2023·上海市大同中學高一期末）是邊長為4的正三角形，以為圓心，2為半徑作圓，點為圓上一動點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】以為坐標原點建立如圖所示坐標系，則，，設，所以，，所以，因為，所以，故答案為：16．（2023·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）如圖，是邊長為4的正方形，若，且F為的中點，則______．【答案】5【解析】以為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，.則，，所以.故答案為：5.四、解答題17．（2023·山東東營·高一期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點.設向量，(1)用，表示(2)建立適當的坐標系，使得點C的坐標為，求點M的坐標.【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點O所以，因為M為BO中點，（2）如圖，以A為坐標原點，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標系，由，，，可求得點C的坐標為，所以，，，根據中點坐標公式，可求得點M的坐標為18．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，是△ABC的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)若，求的值；(2)設，，，，求的值；【解析】（1）因，所以，又因為的中點，所以，所以，又，所以；（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.