第07講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義【【考點目錄】【知識梳理【知識梳理】知識點1瞬時速度(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).知識點2函數(shù)的平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．知識點3函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).知識點4割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).當點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的切線．于是，當Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).知識點5導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知識點6導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).規(guī)律總結(jié)：1.(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的步驟①求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求極限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).(2)瞬時變化率的變形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)2.【【考點剖析】考點一函數(shù)的平均變化率1．（2023春·陜西延安·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【詳解】因為函數(shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A2．（2023秋·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)，當自變量由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率是___________.【答案】【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.【詳解】函數(shù)，當自變量由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率為，故答案為：.3．（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則______．【答案】3【分析】利用函數(shù)平均變化率的計算公式計算.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，解得.故答案為：3.4．（2023·高二課時練習(xí)）某機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機，已知總利潤c（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：臺）之間的關(guān)系式為，則產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變化率為______元/臺．【答案】2000【分析】根據(jù)平均變化率的公式結(jié)合題意直接求解即可.【詳解】當產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變化率為（元/臺）．故答案為：20005．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關(guān)系如下圖所示.則下列時間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應(yīng)的點為、、、、，由圖可知，所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C6．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的序號是______．①在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；③在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度．【答案】③④【分析】根據(jù)平均速度的公式判斷①③④，從而①錯誤，③④正確；根據(jù)瞬時速度與切線斜率的關(guān)系作出判斷②錯誤；【詳解】在0到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故①錯誤．瞬時速度為切線斜率，故②錯誤．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故③正確．同理④正確．故答案為：③④．7．（2023·全國·高二假期作業(yè)）吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為，為的導(dǎo)函數(shù)．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．存在，使得【答案】D【分析】A：設(shè)，由圖得，所以該選項錯誤；B:根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以該選項錯誤；C:設(shè)，所以該選項錯誤；D:結(jié)合圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以判斷該選項正確.【詳解】解：A：設(shè)，由圖得，所以所以，所以該選項錯誤；B:由圖得圖像上點的切線的斜率越來越小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以該選項錯誤；C:設(shè)，因為所以，所以該選項錯誤；D:表示兩點之間的斜率，表示處切線的斜率，由于，所以可以平移直線使之和曲線相切，切點就是點,所以該選項正確.故選：D考點二瞬時變化率理解8．（2023·高二課時練習(xí)）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則該物體在s時的瞬時速度為（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【答案】D【分析】根據(jù)瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．故選：D9．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【答案】D【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．【詳解】解：因為，所以，令，得瞬時速度為．故選：D.10．（2023秋·江西撫州·高二南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是（距離單位：米，時間單位：秒），則他在0.25秒時的瞬時速度為（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒【答案】D【分析】依據(jù)瞬時速度定義利用極限去求他在0.25秒時的瞬時速度即可【詳解】則他在0.25秒時的瞬時速度為5.55米/秒故選：D11．（2023秋·北京·高二北京市第一六一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D12．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）為響應(yīng)國家節(jié)能減排號召，甲、乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某月內(nèi)兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系圖如圖所示（為月末時間）.則該月內(nèi)：①甲廠污水排放量逐漸減少；②乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多；③乙廠總比甲廠的污水排放量減少得更快.其中正確說法的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)圖形逐一分析各個命題即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，甲廠污水排放量逐漸減少，故①正確；乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多，故②正確，在接近時，甲工廠污水排放量減少得比乙的更加快，故③錯誤.故選：A.13．（2023秋·海南·高二海南華僑中學(xué)校考期末）李華在參加一次同學(xué)聚會時，用如圖所示的圓口杯喝飲料，他想：如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時間內(nèi)倒入的飲料量相同），那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)杯子的形狀特點和函數(shù)圖象的增長速度即可判斷.【詳解】由于杯子的形狀是下面稍窄上面稍寬,所以剛開始飲料的高度增長相對較快,后面飲料的高度增加就越來越慢,所以B的圖象的增長趨勢與飲料高度增長的情形較一致，故選：B考點三導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的理解14．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)在點處附近有定義，且為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)函數(shù)的定義可得選項.【詳解】解：因為為常數(shù)，所以，故選：C.15．（2023·高二課時練習(xí)）若函數(shù)在處可導(dǎo)，則的結(jié)果（

）．A．與，h均無關(guān) B．僅與有關(guān)，而與h無關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與無關(guān) D．與，h均有關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：因為，所以結(jié)果僅與有關(guān)，而與h無關(guān)，故選：B.16．（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)可表示為，即（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義直接選擇即可.【詳解】是的另一種記法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知C正確．故選：C考點四導(dǎo)數(shù)定義中的極限的簡單計算17．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則______．【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出，再將代入計算即可.【詳解】解:因為=，∴，∴．故答案為：118．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：D19．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即得.【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，所以.故選：A.20．（2023·高二課時練習(xí)）已知，則在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可得出的值.【詳解】，．故選：C考點五利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程求曲線切線的斜率或傾斜角21．（2023春·湖南株洲·高二校考期中）若，則在處的切線的斜率為______．【答案】2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可直接求解.【詳解】由題意知，，得，所以曲線在處的切線斜率為2.故答案為：2.22．（2023秋·四川資陽·高二校考期中）如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______．【答案】【分析】由函數(shù)的圖像可得，以及直線過點和，由直線的斜率公式可得直線的斜率，進而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的值，將求得的與的值相加即可.【詳解】由函數(shù)的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，又由直線是曲線在點處的切線，則，所以．故答案為：23．（2023春·云南昆明·高二石林彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）曲線在點處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到點處切線的斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角即可.【詳解】，所以在點處的切線的斜率為-1，傾斜角為.故選：A.24．（2023·高二課時練習(xí)）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．【答案】【分析】由題，，求出，結(jié)合均值不等式討論的值域，即可求得的范圍，即可進一步求得的取值范圍【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．因為，所以，所以，即；因為，所以，即．求在曲線上一點處的切線方程25．（2023春·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)），在處切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．【詳解】由已知，，令，∴＝，解，∴在處切線方程為，即．故選：B．26．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知曲線：(1)求的值；(2)求曲線在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式求解；(2)根據(jù)切點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率以及切點在曲線上也在切線上的原理求解..【詳解】（1）由題得，所以.（2）因為，所以，切線方程為，即.27．（2023春·江蘇蘇州·高二校考階段練習(xí)）曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.【詳解】，故切點為，，即切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：A28．（2023·全國·高二假期作業(yè)）函數(shù)的圖象在處的切線方程為______.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.故答案為：.求過一點的切線方程29．【多選】（2023秋·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】設(shè)切點為，寫出切線方程，切線過點（1，3），求得即可.【詳解】解：設(shè)切點為，則，所以，所以切線方程為，因為切線過點（1，3），所以，即，即，解得或，所以切線方程為或，故選：AB30．（2023·高二課時練習(xí)）過點且與曲線相切的直線方程為______．【答案】或【分析】設(shè)切點坐標為，求得，列出方程，求得的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)切點坐標為，則，又由函數(shù)，可得，可得，所以，根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即，解得或，所以切線的斜率為或，所以切線方程為或，即或.故答案為：或.31．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為__________.【答案】【分析】設(shè)切點坐標為，求導(dǎo)，寫出直線l的方程，再根據(jù)直線l過點求解.【詳解】解：設(shè)切點坐標為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為又直線l過點，所以，整理得，解得，所以，直線l的斜率，所以直線l的方程為，故答案為：.32．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）過點作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點，進而求得切線方程，進而得到，構(gòu)造函數(shù)分析的單調(diào)性與取值范圍即可判斷有且僅有兩根時b的取值范圍即可【詳解】設(shè)切點為，，故過的切線方程為，即.故有且僅有兩根.設(shè)，則，令則，令則，且，又當時，，.故有且僅有兩根則b的取值范圍為故選：A考點六已知切線（斜率）求參數(shù)33．（2023春·陜西咸陽·高二校考期中）已知函數(shù)在點處的切線斜率為7，則實數(shù)a的值為___________.【答案】1【分析】求導(dǎo)數(shù)，代入切點可得答案.【詳解】因為，所以由題意得，解得.故答案為：134．（2023秋·新疆·高二克拉瑪依市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在處的切線方程為，則_________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象切線的斜率，再根據(jù)點斜式寫出切線方程，轉(zhuǎn)化為斜截式即可求解.【詳解】，所以，所以切線的斜率為3，又因為，所以切點的坐標為，所以切線方程為即，所以，所以.故答案為:.35．（2023·全國·高二假期作業(yè)）曲線在點處的切線方程為，則a，b的值分別為（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.【詳解】依題意，切點為，斜率為，，所以，解得.故選：C36．（2023秋·云南大理·高二校考階段練習(xí)）若曲線在點處的切線與直線垂直，則_________.【答案】2【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】依題意，切線的斜率為2，，.故答案為：考點七求切點坐標37．【多選】（2023·全國·高二假期作業(yè)）在曲線上切線的傾斜角為的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點【詳解】切線的斜率，設(shè)切點為，則，又，所以，所以或，所以切點坐標為或．故選：AB．38．【多選】（2023·高二課時練習(xí)）曲線在點P處的切線平行于直線，則點P的坐標可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)切點.利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率，列方程即可求解.【詳解】設(shè)切點.因為曲線在點P處的切線的斜率，所以，所以點P的坐標為或.故選：AD.39．（2023秋·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】設(shè)切點，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得，即為點的橫坐標.【詳解】設(shè)切點，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，由切線與直線垂直，可得，解得或（舍），所以P的橫坐標為，故選：C40．（2023秋·廣東珠海·高二統(tǒng)考期末）已知點在曲線：的圖像上，在點處的曲線的切線與直線：垂直，則點橫坐標為（

）A．或1 B．1或3 C．或 D．或3【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率與已知直線斜率乘積為可得．【詳解】，，因為切線與直線：垂直，所以，解得或．故選：A．考點八兩條曲線的公切線問題41．【多選】（2023秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．【答案】ABD【分析】分別設(shè)切點分別為，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程相同，從而可得出，設(shè)由導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.【詳解】由，則，由，則設(shè)切線與曲線相切于點，則斜率為，所以切線方程為，即

①設(shè)切線與曲線相切于點，則斜率為：，則切線方程為，即，②根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，則所以，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由題意.故答案為：ABD42．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出在點處的切線方程，再設(shè)與的切點為，即可得到方程，解得、，再代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，，所以，所以切線的方程為，又，所以，設(shè)切線與的切點為，可得切線的斜率為，即，，可得切點為，所以，解得．故選：D．43．（2023秋·陜西安康·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．若經(jīng)過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．故選：B【【過關(guān)檢測】1．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中學(xué)校考期末）已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則=（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的定義計算．【詳解】故選：A．2．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一個裝滿水的圓臺形容器，若在底部開一個孔，并且任意相等時間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，記容器內(nèi)水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)為，定義域為D，設(shè)分別表示在區(qū)間上的平均變化率，則（

）A． B． C． D．無法確定的大小關(guān)系【答案】A【分析】根據(jù)容器形狀，任意相等時間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，水面高度減小越來越快，還要注意變化量和變化率是負數(shù)，可判斷出結(jié)果.【詳解】由容器的形狀可知，在相同的變化時間內(nèi)，高度的減小量越來越大，且高度h的變化率小于0，所以在區(qū)間上的平均變化率由大變小，即．故選：A．3．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）設(shè)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，計算出結(jié)果.【詳解】因為在處可導(dǎo),所以，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：.故選：A4．（2023春·江蘇·高三江蘇省新海高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線與曲線和曲線都相切，則直線的條數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)條【答案】B【分析】根據(jù)兩函數(shù)解析式，在同一坐標系下畫出函數(shù)圖象，對兩曲線進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出斜率的表達式，再根據(jù)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求出公切線與兩曲線的切點位置，進而確定公切線的條數(shù).【詳解】如圖所示設(shè)直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，直線的斜率；所以，，即在點處的斜率為，，即在點處的斜率為，得；又因為，所以斜率由得，或；由得，；因此，存在，和，使得，即此時直線即為兩條曲線的公切線；同時，存在，和，使得，且；所以，直線即為異于直線的第二條曲線的公切線；綜上可知，直線的條數(shù)有2條.故選：B.5．（2023春·河北唐山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點坐標，進而求得.【詳解】因為，所以，令，即，得或（舍去），所以切點是，代入，得，.故選：D6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）函數(shù)在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線斜率，即可求解切線方程.【詳解】因為，所以，所以所以在點處的切線斜率為，又，則在點處的切線方程為，即.故答案為：.7．（2023·高二課時練習(xí)）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則物體在t=0s時的瞬時速度為______m