山東禹城市綜合高中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．如圖，以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，為半圓上與不重合的一動(dòng)點(diǎn)，下面關(guān)于的說法正確的是A.無最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但無最小值D.既無最大值，又無最小值2．設(shè)函數(shù)（），，則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是A. B.C. D.3．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為，則以下排列正確的是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知集合，則A. B.C. D.6．如圖，質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為，角速度為2，則點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則在下列區(qū)間中必有零點(diǎn)的是()A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)8．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是（）A.3 B.6C.18 D.369．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，.則為（）A. B.C. D.10．在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，且甲乙兩人各自行動(dòng)．則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（）A.0.48 B.0.32C.0.92 D.0.8411．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則在其定義域內(nèi)（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.有最大值 D.有最小值12．已知，且，則的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知，，則___________（用a、b表示）.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則________15．已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若，則球O的半徑為________16．已知，則_________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),(1)畫出函數(shù)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間,并寫出函數(shù)的值域.18．已知函數(shù)，其中.（1）求的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.19．（1）若,求的范圍；（2）若，，且，，求.20．已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的值.21．已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．設(shè)，為兩個(gè)不共線的向量，若.（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若為互相垂直的單位向量，且，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）,∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了向量的加法及向量模的計(jì)算，利用建系的方法，引入三角函數(shù)來解決使得思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)便，遇見正方形，圓，等邊三角形，直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.2、A【解析】由題意得，方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)圖像，注意當(dāng)時(shí)，恒成立，易得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.選A點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．但在應(yīng)用圖象解題時(shí)要注意兩個(gè)函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的相對(duì)位置，要做到觀察仔細(xì)，避免出錯(cuò)3、B【解析】在同一直角坐標(biāo)系中畫出，，與的圖像，數(shù)形結(jié)合即可得解【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為，在同一直角坐標(biāo)系中畫出，，與的圖像如圖所示，由圖可知，，，滿足故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解4、C【解析】由在，上單調(diào)遞減，得，由在上單調(diào)遞減，得，作出函數(shù)且在上的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍【詳解】解：由在上單調(diào)遞減，得，又由且在上單調(diào)遞減，得，解得，所以，作出函數(shù)且在上的大致圖象，由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，故在上，同樣有且僅有一個(gè)解，當(dāng)，即時(shí)，聯(lián)立，即，則，解得：，當(dāng)時(shí)，即，由圖象可知，符合條件綜上：故選：C5、C【解析】分別解集合A、B中的不等式，再求兩個(gè)集合的交集【詳解】集合，集合，所以，選擇C【點(diǎn)睛】進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算前，要搞清楚每個(gè)集合里面的元素種類，以及具體的元素，再進(jìn)行運(yùn)算6、A【解析】利用角速度先求出時(shí)，的值，然后利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】因?yàn)椋杂桑茫藭r(shí)，所以排除CD，當(dāng)時(shí)，越來越小，單調(diào)遞減，所以排除B，故選：A7、B【解析】根據(jù)存在零點(diǎn)定理，看所給區(qū)間的端點(diǎn)值是否異號(hào)，，，，所以，那么函數(shù)的零點(diǎn)必在區(qū)間考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)8、C【解析】由弧長(zhǎng)的定義，可求得扇形的半徑，再由扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6，利用弧長(zhǎng)公式，可得，即，所以扇形的面積為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】的終邊上有一點(diǎn)，，.故選：D.10、C【解析】根據(jù)題意求得甲乙都不去參觀博物館的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，可得甲乙都不去參觀博物館的概率為,所以甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是.故選：C.11、A【解析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，得到，判斷函數(shù)的奇偶性和值域得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，即，定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)且故選：【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的奇偶性和值域，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.12、C【解析】依題意可得，則，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍遥裕援?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；所以的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、##【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再由指對(duì)數(shù)關(guān)系有，，即可得答案.【詳解】由，又，，∴，，故.故答案為：.14、4【解析】方程的根與方程的根可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)與互為反函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，即可求出答案.【詳解】，，令，，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)為，如下圖所示；，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)為，如下圖所示，與互反函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立方程，解得，即，.故答案為：4.15、【解析】根據(jù)直角三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊，結(jié)合球的對(duì)稱性、勾股定理、直三棱柱的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋匀切问且詾樾边叺闹苯侨切危虼巳切蔚耐饨訄A的直徑為，圓心為.因?yàn)椋裕谥比庵校瑐?cè)面是矩形且它的中心即為球心O，球的直徑是的長(zhǎng)，則，所以球的半徑為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直三棱柱外接球問題，考查了直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、【解析】利用交集的運(yùn)算解題即可.【詳解】交集即為共同的部分，即.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1)見解析；(2)單調(diào)區(qū)間為:上是增函數(shù),上是減函數(shù),值域【解析】(1)由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知,要畫出函數(shù)的圖象,只須作出當(dāng)時(shí)的圖象,然后關(guān)于y軸對(duì)稱即可;(2)觀察圖象,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和值域的定義,寫出的單調(diào)區(qū)間及值域.【詳解】(1)函數(shù)的圖象如圖所示

(2)由圖象得,的單調(diào)區(qū)間為:上是增函數(shù),上是減函數(shù),值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì):圖象關(guān)于y軸對(duì)稱和數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)的圖象可直觀反映其性質(zhì),利用函數(shù)的圖象可以解答函數(shù)的值域(最值),單調(diào)性,奇偶性等問題,也可用來解答不等式的有關(guān)題目.18、（1）（2）.【解析】（1）利用對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)求出函數(shù)的定義域?yàn)?（2）在定義域上把化為，利用二次函數(shù)求出，從而求出函數(shù)的最小值為.解析：（1）欲使函數(shù)有意義，則有，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)椋裕浞降玫剑驗(yàn)椋剩裕ó?dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.點(diǎn)睛：求與對(duì)數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域，應(yīng)該考慮不變形時(shí)自變量滿足的條件.19、（1）；（2）.【解析】(1)利用公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，將函數(shù)解析式代入不等式得，即可求得x的取值范圍；(2)由求得，根據(jù)的范圍求出，，從而求得，，再利用兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】若，則，，(2)因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?,【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)和差化積公式，兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，計(jì)算時(shí)注意角的取值范圍，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）若，求出集合、B，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)題意得到A是B的真子集，分A為空集和不為空集兩種情況，求出a的取值范圍.【小問1詳解】若，則，，所以.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不滿足互異性，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，由①可知，時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，集合，滿足，故可知符合題意.所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）先分別求出，然后根據(jù)集合的并集的概念求解出的結(jié)果；（2）根據(jù)得到，由此列出不等式組求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴；（2）∵，∴，則有: