第2章信號(hào)分析2.1確知信號(hào)的分析2.2隨機(jī)信號(hào)的分析2.3信道與噪聲2.4信息與信息量本章知識(shí)點(diǎn)小結(jié)習(xí)題

2.1確知信號(hào)的分析

2.1.1周期性信號(hào)與傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)信號(hào)隨著時(shí)間的變化而變化時(shí),稱此信號(hào)為時(shí)域信號(hào),常用f(t)表示。每經(jīng)過(guò)固定的時(shí)間間隔就完全重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)域信號(hào)稱為周期性信號(hào),如正弦波、余弦波等。下面我們來(lái)分析周期性信號(hào)的特性。

圖2.1.1周期性矩形波的合成

圖2.1.2周期性鋸齒波的合成

從上面的討論可以看出,任何一個(gè)周期性信號(hào)都可以由基波和各次諧波分量的疊加來(lái)逼近。換句話說(shuō),任何一個(gè)周期性信號(hào)都可以表示成無(wú)數(shù)正弦波的疊加,只不過(guò)各次諧波

的幅度不同而已。周期性矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)為

(2-1-2)

即矩形波可以表示為基波、三次諧波、五次諧波等諧波分量的疊加。對(duì)圖2.1.3所示的周期性三角波來(lái)說(shuō),也可以將其表示為基波和各次諧波的疊加,但由于其具有直流分量,因此周期性三角波可以描述為直流分量、基波分量和各次諧波分量的疊加。周期性三角波的傅里葉級(jí)數(shù)為

(2-1-3)

式中n為正整數(shù)。

圖2.1.3周期為T(mén)、幅度為1的周期性三角波

可以看出,任何一個(gè)周期性信號(hào)都可以分解成直流分量、基波分量和各次諧波分量的疊加。根據(jù)波形的特點(diǎn)可見(jiàn),有的具有直流分量,有的沒(méi)有直流分量;有的具有奇次諧波,有的具有偶次諧波,這些可根據(jù)周期性信號(hào)的具體特點(diǎn)來(lái)分析。從以上介紹的周期性信號(hào)可以看出:周期性矩形波是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)奇對(duì)稱的,而正弦波也是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)奇對(duì)稱的,且正負(fù)方向的幅度相等。因此奇對(duì)稱的周期性信號(hào)可以由奇次諧波疊加而成。同理,偶對(duì)稱的周期性信號(hào)也具有類似的特性。

奇對(duì)稱的周期性信號(hào)可以表示為各正弦函數(shù)諧波分量的疊加,偶對(duì)稱的周期性信號(hào)可以表示為各余弦函數(shù)諧波分量的疊加。當(dāng)周期性信號(hào)具有直流分量時(shí),其傅里葉級(jí)數(shù)也具有直流分量。

對(duì)于任意一個(gè)周期性信號(hào)f(t),其傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為

(2-1-4)

式(2-1-4)中的三個(gè)等號(hào)為傅里葉級(jí)數(shù)的三種表達(dá)形式。第一個(gè)等號(hào)后的A0為直流分量,An、Bn為余弦、正弦分量的系數(shù);第二個(gè)等號(hào)后的C0為直流分量,余弦函數(shù)是第一個(gè)等號(hào)后的兩個(gè)三角函數(shù)通過(guò)和差化積合并而成的;第三個(gè)等號(hào)后的式子是傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,Fn為復(fù)振幅,包括幅值和相角兩項(xiàng)。A0、An、Bn、Fn的表達(dá)式分別為(2-1-5)

其中，T為周期性信號(hào)的周期；ω0為周期性信號(hào)的角頻率，

ω0=2π/T=2πf0，量綱為rad/s(弧度/秒)，是基波的角頻率。

三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是同一種級(jí)數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)函數(shù)是傅里葉變換的基礎(chǔ),是頻域分析中的運(yùn)算工具,也是本書(shū)中最常用的表達(dá)式。頻譜圖中的

幅度即為指數(shù)函數(shù)的系數(shù)Fn。

2.頻域特性

我們知道,一個(gè)正弦波對(duì)應(yīng)于一個(gè)頻率,其振幅可以唯一確定。用以描述信號(hào)與頻率的關(guān)系圖稱為頻譜圖。時(shí)域函數(shù)用f(t)表示,相應(yīng)地,頻域函數(shù)用F(ω)表示,并用“?”表示時(shí)域與頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖2.1.4(a)所示為頻率為1Hz的余弦波的時(shí)域波形圖,該余弦波的振幅為A,周期為1s,這唯一地確定了一個(gè)余弦波波形。換句話說(shuō),由振幅和頻率就可以唯一地確定一個(gè)余弦波。圖2.1.4(b)即為對(duì)應(yīng)的幅度頻率波形圖,稱之為頻譜圖,其橫坐標(biāo)用角頻率或頻率描述,縱坐標(biāo)為復(fù)幅度,是傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)。

圖2.1.4余弦波的時(shí)域與頻域?qū)φ贞P(guān)系圖

圖2.1.5所示為周期性脈沖三角波的時(shí)域波形圖和與其對(duì)應(yīng)的頻譜圖。由圖可以看出,連續(xù)的周期性信號(hào)的頻譜是離散的,它有多個(gè)頻率分量,各分量的幅度不同,相位也不同,因此頻譜圖分為幅度頻譜圖和相位頻譜圖。頻譜的幅度和相位反映在傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)上。

圖2.1.5周期性三角波的時(shí)域和頻域?qū)φ贞P(guān)系圖

圖2.1.6為周期性脈沖信號(hào)的時(shí)域波形圖,該周期性脈沖信號(hào)的周期為T(mén)0,脈沖的寬度為τ,幅度為A。

圖2.1.6周期性脈沖信號(hào)的時(shí)域波形圖

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的公式可以推出復(fù)振幅與角頻率之間的關(guān)系,如圖2.1.7所示。當(dāng)T0=5τ時(shí),頻譜如圖2.1.7(a)所示,在0到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)間(或兩個(gè)相鄰的過(guò)零點(diǎn))有5條譜線;當(dāng)T0=10τ時(shí),頻譜如圖2.1.7(b)所示,譜線變密,兩相鄰過(guò)零點(diǎn)間有10條離散譜線,頻譜幅度的包絡(luò)均為Sa(x)函數(shù)的形式,頻譜的幅度是衰減振蕩變化的。可見(jiàn),隨著τ/T0的改變,譜線的稀疏程度也發(fā)生變化。T0/τ越大,譜線之間的距離越小,幅度也相應(yīng)地從A/5減小到A/10,但頻譜過(guò)零點(diǎn)的位置不變,兩個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間的譜線的個(gè)數(shù)(等于T0/τ

)從5條變?yōu)?0條,兩相鄰譜線的間隔為ω0。

周期性信號(hào)的頻譜是離散譜且具有諧波特性。圖2.1.7周期性信號(hào)的頻譜

2.1.2非周期性信號(hào)與傅里葉變換

隨著T的增加,周期性信號(hào)轉(zhuǎn)變成一個(gè)門(mén)函數(shù),通常用Dτ(t)表示,其中下標(biāo)τ表示門(mén)函數(shù)的寬度。該門(mén)函數(shù)的離散頻譜的兩相鄰過(guò)零點(diǎn)之間譜線的個(gè)數(shù)也在增加。當(dāng)T→∞時(shí),譜線越來(lái)越密,由離散頻譜轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)頻譜Sa函數(shù),如圖2.1.8所示。非周期性信號(hào)與其頻譜之間聯(lián)系的紐帶就是傅里葉變換,其公式為(2-1-6)(2-1-7)

式(2-1-7)稱為時(shí)域函數(shù)f(t)的傅里葉正變換,它把一個(gè)時(shí)域內(nèi)t的函數(shù)變換為頻域內(nèi)ω的函數(shù);式(2-1-6)稱為頻域函數(shù)F(ω)的傅里葉反變換或逆變換,它把一個(gè)ω的函數(shù)變換為t的函數(shù)。時(shí)域函數(shù)和頻域函數(shù)的關(guān)系表示為

(2-1-8)

圖2.1.8非周期性信號(hào)的頻譜

傅里葉變換也稱為傅氏變換,常用“?”表示一對(duì)變換關(guān)系。在本書(shū)中常用的信號(hào)有矩形脈沖、正余弦函數(shù)、沖激函數(shù)等,現(xiàn)將一些常用信號(hào)的時(shí)域函數(shù)與頻域函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表2.1.1列出,以供參考。

從前面分析可知:

(1)對(duì)于周期性信號(hào),其頻譜可以利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行分析,頻譜具有離散性和諧波性。

(2)對(duì)于非周期性信號(hào),其頻譜可以利用傅里葉變換進(jìn)行分析,頻譜具有連續(xù)性。

(3)如果時(shí)域函數(shù)存在于有限時(shí)間內(nèi),則其對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)的頻譜存在于整個(gè)頻域內(nèi)。

(4)如果時(shí)域函數(shù)存在于整個(gè)時(shí)間段,則其對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)的頻譜存在于某段有限頻域內(nèi)。

由表2.1.1可知,若f(t)?F(ω),則傅里葉變換的主要性質(zhì)見(jiàn)表2.1.2。

2.1.3信號(hào)的功率譜與能量譜

利用傅里葉分析法分析頻譜還有一個(gè)重要的用途,即研究信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量和功率。我們知道,通信系統(tǒng)的任務(wù)就是從信源(消息的發(fā)送方)到接收方(消息用戶)傳送電

磁信號(hào)能量,通信信道(無(wú)論是空氣、電線、電路或是其他物質(zhì))必須允許這個(gè)能量通過(guò)。因此,發(fā)送的能量、通過(guò)系統(tǒng)的能量和最后接收的能量之間的關(guān)系非常重要。為了解決這一點(diǎn),有必要了解信號(hào)的能量和功率的譜型,以及它們的定義。

在電子學(xué)中,利用電流或電壓的平方來(lái)定義功率,即P=I2×R=U2/R,其中電流(I)或電壓(U)用來(lái)測(cè)量信號(hào)的幅度。功率是能量傳輸?shù)乃俾?所以在能量值中應(yīng)用了“平方”。在傅里葉變換等式中,將f(t)替換為[f(t)]2即可。[f(t)]2的積分通常不等于f(t)積分的平方。

圖2.1.9(a)所示為周期性脈沖信號(hào)的頻譜,圖2.1.9(b)所示為其功率譜。注意,功率譜并不是頻譜值的平方,而是一個(gè)新的圖形,有更多的隆起(或者叫圓形突起),并且中心的圓形突起最大。每個(gè)頻點(diǎn)的功率分量的幅度都是非負(fù)值,因?yàn)楣β视肋h(yuǎn)不會(huì)是負(fù)值。

圖2.1.9周期性脈沖信號(hào)的頻譜和功率譜

在典型的聲音能量譜中,大部分功率集中在300~3000Hz的頻帶范圍內(nèi),有很少的一部分在3000~8000Hz的頻帶范圍內(nèi)。這就意味著設(shè)計(jì)一個(gè)可以工作的通信系統(tǒng)的最小帶寬是3kHz。實(shí)際上,電話系統(tǒng)和聲音通信系統(tǒng)就是這樣工作的。

盡管頻譜的幅度分量可正、可負(fù),但功率譜或能量譜的幅度永遠(yuǎn)是非負(fù)值。

下面給出功率信號(hào)和能量信號(hào)的定義。

1.能量信號(hào)和功率信號(hào)

信號(hào)f(t)(電壓或電流)在1Ω電阻上所消耗的能量定義為信號(hào)的歸一化能量,簡(jiǎn)稱能量。能量信號(hào)表示為

(2-1-9)

能量有限的信號(hào)稱為能量信號(hào)。

2.帕塞瓦爾定理

帕塞瓦爾定理是把功率信號(hào)或能量信號(hào)與頻譜聯(lián)系起來(lái)的定理。

若信號(hào)f(t)為能量信號(hào),且f(t)和F(ω)是一對(duì)傅氏變換,即

f(t)?F(ω)(2-1-11)

用E表示總能量,則

(2-1-12)

式(2-1-12)說(shuō)明,時(shí)域內(nèi)能量信號(hào)的總能量等于頻域內(nèi)各個(gè)頻率分量能量的連續(xù)和。

若周期性信號(hào)f(t)為功率信號(hào),其傅里葉級(jí)數(shù)為

(2-1-13)

用P表示總功率,則

(2-1-14a)

式中,T為信號(hào)f(t)的周期;Fn為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

式(2-1-14a)說(shuō)明，周期性信號(hào)的平均功率等于各個(gè)頻率分量平均功率的總和。式(2-1-14b)說(shuō)明非周期性功率信號(hào)在時(shí)域內(nèi)的總功率等于其在頻域內(nèi)的總功率。式(2-1-12)和式(2-1-14a)或(2-1-14b)的這種關(guān)系稱為帕塞瓦爾定理。

此定理反映了能量守恒,即信號(hào)在時(shí)域內(nèi)的總能量等于其在頻域內(nèi)的總能量;信號(hào)在時(shí)域內(nèi)的總功率等于其在頻域內(nèi)的總功率。

3.能量譜密度和功率譜密度

若用E表示能量,P表示功率,在頻域內(nèi)可將E和P表示為

(2-1-15)

(2-1-16)

稱E(ω)為能量譜密度函數(shù),單位為J/Hz(焦耳/赫茲);稱P(ω)為功率譜密度,單位為W/Hz(瓦特/赫茲)。式中ω=2πf。能量譜密度和功率譜密度簡(jiǎn)稱能量譜和功率譜。

對(duì)照式(2-1-12)、式(2-1-15),式(2-1-14a)、式(2-1-14b)、式(2-1-16)可得

E(ω)=|F(ω)|2

(2-1-17)

對(duì)于非周期性信號(hào),有

(2-1-18a)

對(duì)于周期性信號(hào),有

(2-1-18b)

4.信號(hào)帶寬

帶寬這個(gè)名稱在通信系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)。在通信系統(tǒng)中,從信號(hào)傳輸?shù)倪^(guò)程來(lái)看,實(shí)際上有兩種不同含義的帶寬:一種是信號(hào)帶寬(或者是噪聲帶寬),是由信號(hào)(或噪聲)的能量譜密度或功率譜密度在頻域中的分布規(guī)律決定的,即在此要講的信號(hào)帶寬;另一種是信道帶寬,是由傳輸電路的傳輸特性決定的。帶寬的符號(hào)都用B表示,單位為Hz,在應(yīng)用中將說(shuō)明是信號(hào)帶寬還是信道帶寬。

幾乎所有實(shí)際信號(hào)的能量或功率的主要部分往往集中在一定的頻率范圍之內(nèi),超出此范圍的能量或功率將大大減小,這個(gè)頻率范圍通常用信號(hào)帶寬來(lái)描述。能量譜和功率譜為

定義信號(hào)帶寬提供了有效的方法。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的不同要求,信號(hào)帶寬有不同的定義。以基帶信號(hào)為例,常用的信號(hào)帶寬的定義有以下3種,它們都是根據(jù)基帶信號(hào)頻譜的主要成分集中在ω=0附近而提出來(lái)的。

1)百分比帶寬

百分比帶寬是指以集中一定百分比的能量(功率)的頻率區(qū)間來(lái)定義帶寬。

對(duì)能量信號(hào),信號(hào)帶寬B是根據(jù)該頻率范圍內(nèi)各頻率分量的能量或功率占總能量或總功率的百分?jǐn)?shù)來(lái)確定的,即由公式

(2-1-19)

來(lái)求B,其中,E是整個(gè)頻域內(nèi)的總能量;γ為所需能量的百分?jǐn)?shù),可取90%、95%或99%等。

由式(2-1-12)、式(2-1-15)和式(2-1-17)可知,頻域內(nèi)總能量可以表示為

(2-1-20)

對(duì)于功率信號(hào),亦可用同樣的方式求得帶寬B,即

(2-1-21)

式中,P為總功率;百分比γ可取90%、95%、99%等。

2)3dB帶寬

3dB帶寬是指以信號(hào)的歸一化能量譜(功率譜)密度

下降3dB內(nèi)的頻率間隔作為帶寬。

對(duì)于頻率軸上具有明顯的單峰形狀(或一個(gè)明顯的主峰)的能量譜(或功率譜)密度的信號(hào),且峰值位于f=0處,則信號(hào)帶寬B為正頻率軸上G(f)(或P(f))下降到3dB(半功率點(diǎn))處的相應(yīng)頻率間隔,如圖2.1.10所示。

圖2.1.103dB帶寬

在G(f)-f或P(f)-f曲線中,由

或

得B=f1

(2-1-22)

3)等效矩形帶寬

等效矩形帶寬如圖2.1.11所示。由圖可知,用一個(gè)矩形譜代替信號(hào)的功率譜(或能量譜),矩形譜的幅度為信號(hào)能量譜(或功率譜)f=0時(shí)的幅度,當(dāng)矩形譜具有的能量或功率與信號(hào)的能量或功率相等時(shí),等效矩形對(duì)應(yīng)的頻率區(qū)間即為等效矩形帶寬。

由

或

得

或(2-1-23)

圖2.1.11等效矩形帶寬

2.2隨機(jī)信號(hào)的分析

通信的目的是傳遞有用的信息,而有用的信息在傳遞的過(guò)程中伴有噪聲的影響。由此看來(lái),分析和研究通信系統(tǒng)總離不開(kāi)信號(hào)和噪聲的分析。通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)通常具有某些隨機(jī)性,我們把這種具有隨機(jī)性的信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。

2.2.1概率與隨機(jī)變量

1.概率

我們知道隨機(jī)信號(hào)具有某種不確定性,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生。只能大概估計(jì)到其發(fā)生可能性的大小,卻無(wú)法預(yù)測(cè)什么時(shí)候發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。例如,拋硬幣、摸彩票就是隨機(jī)事件,拋硬幣的過(guò)程就稱為隨機(jī)過(guò)程。對(duì)隨機(jī)事件的觀察稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。如果增加隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的次數(shù),就可以預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。

假設(shè)在同樣的條件下,將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)重復(fù)操作n次,考察實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果,將其中的一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果用事件A表示。若事件A出現(xiàn)nA次,則定義事件A的概率PA為

(2-2-1)

假設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)有A1,A2,…,AN個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果,它們之間是相互排斥的,即任一事件發(fā)生后,排斥了其他事件發(fā)生的可能。通常,若此實(shí)驗(yàn)包括所有可能發(fā)生的事件A1到事件AN,則有

(2-2-2)

比如,對(duì)于拋硬幣實(shí)驗(yàn),當(dāng)正面出現(xiàn)時(shí),背面就不可能出現(xiàn),反之亦然,則正面和反面出現(xiàn)的概率之和是1。

2.隨機(jī)變量

在數(shù)學(xué)分析中,每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)變量來(lái)表示,如果變量的取值是不確定的,則X稱這種變量為隨機(jī)變量。比如,拋一次硬幣會(huì)出現(xiàn)正面和反面,我們用X=0表示正面,用=1表示反面,這樣就引入了一個(gè)隨機(jī)變量X。它將隨機(jī)地取0和1兩個(gè)值(也可以任意取其他值,比如用X=5表示正面,X=9表示反面),而且取每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)了一個(gè)概率,這個(gè)變量就是所謂的隨機(jī)變量。在一定區(qū)間內(nèi),若隨機(jī)變量取值個(gè)數(shù)有限或數(shù)值可以一一列舉出來(lái),則稱之為離散隨機(jī)變量,否則稱之為連續(xù)隨機(jī)變量。X的取值是隨意的,只是用數(shù)學(xué)的方式來(lái)描述它而已。

3.概率密度函數(shù)

隨機(jī)變量在事件發(fā)生時(shí)出現(xiàn)的概率是可以統(tǒng)計(jì)的,其發(fā)生的可能性大小可以通過(guò)概率密度函數(shù)來(lái)確定。

概率密度函數(shù)就是單位變量上事件發(fā)生的可能性的大小,用pX(x)表示,其中X表示隨機(jī)變量,x表示隨機(jī)變量的取值。概率密度函數(shù)可以是離散的,也可以是連續(xù)的。

圖2.2.1是一個(gè)連續(xù)分布的概率密度函數(shù)的例子,它表明在整個(gè)變量范圍內(nèi)每一點(diǎn)概率的變化規(guī)律,陰影部分的概率可以表示為

(2-2-4)

圖2.2.1連續(xù)分布的概率密度函數(shù)舉例

概率密度函數(shù)pX(x)具有以下性質(zhì):

(1)pX(x)是非負(fù)函數(shù),即pX(x)≥0。這說(shuō)明事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生。

(2)

(2-2-5)

即概率密度曲線下所圍的總面積為1,或者說(shuō)所有事件發(fā)生的概率為必然事件發(fā)生的概率。

2.2.2隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望(均值,期望值)

數(shù)學(xué)期望也稱為均值或期望值,是指隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均值,記作αX,它反映了X取值的集中位置。若離散隨機(jī)變量X取值為xi時(shí)的概率為P(xi),則其數(shù)學(xué)期望為

(2-2-6)

數(shù)學(xué)期望實(shí)際上就是對(duì)隨機(jī)變量的加權(quán)求和,而加權(quán)值就是各個(gè)可能值出現(xiàn)的概率。

對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可用積分計(jì)算,設(shè)pX(x)為連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望定義為

(2-2-7)

數(shù)學(xué)期望的定義可以推廣到更普遍的情況。若g(x)是隨機(jī)變量X的函數(shù),則g(x)的數(shù)學(xué)期望可表示為

(2-2-8)

【例2.2.1】若正弦振蕩源所產(chǎn)生的振蕩信號(hào)的相位θ在(0,2π)上均勻分布,求函數(shù)Asinθ的均值。

2.方差

隨機(jī)變量的方差是隨機(jī)變量X與它的數(shù)學(xué)期望αX之差的平方的數(shù)學(xué)期望,記作D[X],它反映了隨機(jī)變量取值的集中程度。對(duì)于離散隨機(jī)變量X,如果它可能的取值為x1,x2,…,xN,其相應(yīng)的概率分別為P(x1),P(x2),…,P(xN),則其方差定義為

(2-2-9)

對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X,如果概率密度函數(shù)為pX(x),則其方差定義為

(2-2-10)

方差表示隨機(jī)變量X的取值相對(duì)于數(shù)學(xué)期望E[X]的“離散程度”。方差一般用σ2X表示,方差的平方根σX

稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。方差越小,說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越集中;方差越大,說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越分散。

3.隨機(jī)過(guò)程

通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)通常總具有某種隨機(jī)性。假如n臺(tái)性能相同的接收機(jī)在相同的條件下工作,記錄n臺(tái)接收機(jī)的輸出波形,如圖2.2.2所示。測(cè)試結(jié)果表明,得到的n張記錄圖形并不因?yàn)橛邢嗤臈l件而輸出相同的波形,每一條曲線都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù),這種時(shí)間函數(shù)稱為隨機(jī)函數(shù),這種無(wú)數(shù)的隨機(jī)函數(shù)的總體稱為隨機(jī)過(guò)程,即隨機(jī)變量隨時(shí)間變化的集合體稱為隨機(jī)過(guò)程。圖2.2.2n臺(tái)接收機(jī)的輸出波形

在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲絕大多數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是指它的n維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。比如,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān),可表示為

p1(x,t)=p1(x,t+τ)=p1(x) (2-2-11)

而二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān),即

p2(x1,x2；

t1,t2)=p2(x1,x2；t1-t2)=p2(x1,x2；

τ)

(2-2-12)式中,τ=t1-t2。

4.高斯隨機(jī)過(guò)程

高斯隨機(jī)過(guò)程又稱正態(tài)隨機(jī)過(guò)程,它是一種在通信系統(tǒng)中普遍存在且重要的隨機(jī)過(guò)程。通信信道中的噪聲通常是一種高斯隨機(jī)過(guò)程,故又稱為高斯噪聲。

若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可表示成

(2-2-13)

則稱此變量為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。式中α和σ2是兩個(gè)常量,分別為隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)和方差。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如圖2.2.3所示。

圖2.2.3正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)有以下特點(diǎn):

(1)

p(x)對(duì)稱于x=α這條直線,即

p(α+x)=p(α-x)(2-2-14)

(2)p(x)在(-∞,α)內(nèi)單調(diào)上升,在(α,+∞)內(nèi)單調(diào)下降,且在x=α處達(dá)到極大值

當(dāng)x→±∞時(shí)，p(x)→0。

(3)

(2-2-15)

且有

(2-2-16)

(4)當(dāng)σ不變時(shí),對(duì)于不同的α,表現(xiàn)為p(x)的圖形左右平移;當(dāng)α不變時(shí),對(duì)于不同的σ,表現(xiàn)為p(x)的圖形隨σ的減小而變高和變窄。

α=0和σ=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為

(2-2-17)

2.3信道與噪聲

所謂信道,就是信號(hào)的傳輸通道。前面多次提到信道,在第1章中,信道被定義為發(fā)送設(shè)備和接收設(shè)備之間的用以傳輸信號(hào)的傳輸媒介。根據(jù)傳輸媒介的不同,信道分為有線信道和無(wú)線信道兩大類。有線信道包括光纖、屏蔽線、雙絞線和同軸線,如圖2.3.1所示。而無(wú)線信道包含地波傳播、電離層反射、超短波或微波中繼、人造衛(wèi)星中繼以及各種散射傳播等。

圖2.3.1有線信道的傳輸媒介

圖2.3.2所示為無(wú)線GPS通信系統(tǒng)。在通信系統(tǒng)的研究中,為簡(jiǎn)化系統(tǒng)的模型和突出重點(diǎn),通常將信道的范圍擴(kuò)大到包含傳輸媒介以外的有關(guān)裝置,如發(fā)送設(shè)備、接收設(shè)備、饋線和天線、調(diào)制器、解調(diào)器等。通常將這種擴(kuò)大了的信道稱為廣義信道,而將原先的僅包含傳輸媒介的信道稱為狹義信道。在討論通信系統(tǒng)的原理時(shí),通常采用廣義信道(簡(jiǎn)稱信道),而狹義信道是廣義信道的重要組成部分,對(duì)通信系統(tǒng)的性能也是非常重要的。

圖2.3.2無(wú)線GPS通信系統(tǒng)

2.3.1信道的定義和模型

信道按其功能可以分為調(diào)制信道和編碼信道。所謂調(diào)制信道,是指從調(diào)制器的輸出端到解調(diào)器的輸入端之間已調(diào)信號(hào)經(jīng)過(guò)的路徑,如圖2.3.3所示。同樣,編碼信道就是從編碼器的輸出端到譯碼器的輸入端之間已調(diào)信號(hào)經(jīng)過(guò)的路徑。編碼信道傳輸?shù)氖菙?shù)字信號(hào),而調(diào)制信道傳輸?shù)目梢允悄M信號(hào),也可以是數(shù)字信號(hào)。

圖2.3.3調(diào)制信道和編碼信道

因此,我們可以把信道分成狹義信道和廣義信道。狹義信道包括有線信道和無(wú)線信道;廣義信道可分為調(diào)制信道和編碼信道。

以調(diào)制信道為例,我們可以把調(diào)制器的輸出端和解調(diào)器的輸入端之間看作一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)。經(jīng)過(guò)大量考察之后,可將調(diào)制信道模型描述為圖2.3.4,可發(fā)現(xiàn)此二端網(wǎng)絡(luò)是線性時(shí)變

網(wǎng)絡(luò)。

圖2.3.4調(diào)制信道模型

對(duì)于二端網(wǎng)絡(luò),輸入信號(hào)ei(t)和輸出信號(hào)eo(t)之間除了受系統(tǒng)本身的影響,還受噪聲的影響,它們之間可用公式表示為

eo(t)=k(t)ei(t)+n(t)

(2-3-1)

式中,k(t)是和網(wǎng)絡(luò)特性有關(guān)的系數(shù);n(t)與網(wǎng)絡(luò)特性無(wú)關(guān)。k(t)和n(t)對(duì)于輸入信號(hào)來(lái)說(shuō)都是干擾,k(t)與ei(t)之間是相乘關(guān)系,故稱k(t)為乘性干擾,稱n(t)為加性干擾。若能了解k(t)和n(t)的特性,就能弄清楚信道對(duì)信號(hào)的影響。

乘性干擾k(t)是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，它可能包含各種線性畸變和非線性畸變，這是因?yàn)樾诺赖倪t延特性和損耗特性隨時(shí)間做隨機(jī)變化的緣故；k(t)是一個(gè)隨機(jī)變量。大量觀察表明，有些信道的k(t)是基本不隨時(shí)間變化的。換句話說(shuō)，這些信道對(duì)信號(hào)的影響是固定不變的或變化極為緩慢的。有些信道的k(t)是隨機(jī)變化的。因此根據(jù)k(t)的變化情況可將信道分成兩大類：恒參信道和隨參信道。恒參信道即是其k(t)不隨時(shí)間變化或基本不變化的信道；隨參信道則是其k(t)隨機(jī)快變化的信道。

對(duì)于恒參信道來(lái)說(shuō),信道模型可以簡(jiǎn)化為非線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)。這種信道對(duì)信號(hào)的干擾只剩下加性干擾。加性干擾也稱為加性噪聲,簡(jiǎn)稱噪聲。

加性噪聲按其來(lái)源可分為系統(tǒng)內(nèi)噪聲和系統(tǒng)外噪聲兩大類。系統(tǒng)外噪聲包括自然界產(chǎn)生的噪聲(這種噪聲來(lái)源于雷鳴、閃電、宇宙射線等)、人類社會(huì)活動(dòng)引起的電磁干擾(這種噪聲來(lái)源于電火花、干擾源等)、周圍無(wú)線電設(shè)備產(chǎn)生的無(wú)線電干擾(如交調(diào)干擾、鄰道干擾、諧波干擾等,此類噪聲可通過(guò)合理地選擇工作頻段、加強(qiáng)無(wú)線電頻率管理以及采用相應(yīng)的技術(shù)手段加以設(shè)防)。系統(tǒng)內(nèi)噪聲主要包括導(dǎo)體的熱噪聲和電子元器件的器件噪聲(如電子管、半導(dǎo)體器件的散彈噪聲等)。這些噪聲都是隨機(jī)變化的,因此需通過(guò)隨機(jī)過(guò)程來(lái)分析。

2.3.2高斯白噪聲

通信系統(tǒng)的內(nèi)噪聲主要是熱噪聲和散彈噪聲,可以把它們看成是無(wú)數(shù)獨(dú)立的微小電流脈沖的疊加和具有高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,并且它們的噪聲功率譜密度在很寬的范圍內(nèi)

(0~1013Hz)基本上是一個(gè)常數(shù),此類噪聲稱為高斯白噪聲。

高斯白噪聲的均值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù),它的一維概率密度函數(shù)為

(2-3-2)

式中,α為幅度取值的均值,是噪聲電壓(或電流)的直流分;σ2為方差,是噪聲在1Ω電阻上消耗的交流功率。

噪聲除了用概率密度進(jìn)行描述,還可用功率譜密度進(jìn)行描述。若噪聲的功率譜密度在很寬的頻帶內(nèi)均勻分布,則稱它為白噪聲。如圖2.3.5所示,白噪聲的功率譜密度為

(2-3-3)

圖2.3.5白噪聲的功率譜密度

高斯白噪聲是一個(gè)理想的噪聲模型,其統(tǒng)計(jì)規(guī)律符合高斯分布,功率譜密度均勻分布。實(shí)際上,功率譜密度在無(wú)限寬的頻域內(nèi)均勻分布是不可能的。通常情況下,如果噪聲的功率譜密度均勻分布的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬,即在系統(tǒng)的帶寬內(nèi),噪聲的功率譜密度基本上是常數(shù),則這樣的噪聲就可以按白噪聲處理。

如果白噪聲的頻率被限制在(-ω0,ω0)范圍內(nèi),則稱這樣的噪聲為限帶噪聲。限帶白噪聲的功率譜密度如圖2.3.6所示。

圖2.3.6限帶白噪聲的功率譜密度

2.4信息與信息量通信的目的是傳遞信息。那么什么是信息呢?比如說(shuō)天氣預(yù)報(bào)可以通過(guò)廣播、電視、報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)或手機(jī)短信來(lái)獲取,這些都是消息的來(lái)源,消息可以通過(guò)多種途徑得到。消息是具體的,而信息是抽象的。同一則消息,對(duì)不同的接收對(duì)象來(lái)說(shuō),信息的多少也是不同的。因此可以看出:信息在概念上與消息類似,但它的含義卻更普遍化和抽象化,信息可理解為消息中有意義的內(nèi)容。如同運(yùn)輸貨物的多少用“貨運(yùn)量”來(lái)衡量一樣,我們將傳輸信息的多少用“信息量”衡量。我們?cè)撊绾味攘啃畔⒘康拇笮∧?

2.4.1信息量

消息是多種多樣的,因此度量消息中所含信息量的方法必須能夠用來(lái)度量所傳消息的信息量,而與消息的種類無(wú)關(guān)。另外,消息中所含信息量的多少也應(yīng)與消息的重要程度無(wú)關(guān)。比如,天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天深圳將有冰雹!”,你會(huì)想“可能嗎?”,聽(tīng)后會(huì)震驚、關(guān)注。又比如,天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天深圳仍是艷陽(yáng)高照!”,你會(huì)有什么反應(yīng)?天天一樣嘛!這兩則消息對(duì)你來(lái)說(shuō)所含的信息量是不同的。前一事件很難發(fā)生,聽(tīng)后使人震驚,但后者是一件很容易發(fā)生的事件,聽(tīng)后不足為奇。這表明確有衡量信息量大小的必要。對(duì)我們來(lái)說(shuō),事件發(fā)生的可能性越大,信息量越小;事件越不可能發(fā)生,信息量越大。

事件發(fā)生的可能性的大小可以通過(guò)概率論的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí),事件發(fā)生的可能性越大,概率越大;反之,概率越小。從前面的介紹可以看出,消息中所含的信息量與消息發(fā)生的可能性緊密相關(guān),消息發(fā)生的可能性越大,消息中所含的信息量越小。如果事件是必然事件,則消息中所含的信息量為零。消息發(fā)生的可能性越小,消息中所含的信息量越大。如果事件是不可能發(fā)生的事件,則它含有無(wú)窮的信息量。

因此可得如下結(jié)論:

(1)消息中所含信息量的大小與事件發(fā)生的可能性有關(guān);

(2)事件發(fā)生的可能性越大,消息中所含的信息量越小;

(3)事件發(fā)生的可能性越小,消息中所含的信息量越大;

(4)消息中所含的信息量依賴于潛在事件的不確定性,而不是組成消息的符號(hào)數(shù)。

設(shè)一個(gè)消息xi

出現(xiàn)的概率為P(xi),則這一消息所含的信息量I(xi)為

(2-4-1)對(duì)于二進(jìn)制信號(hào)，0和1等概率出現(xiàn)時(shí)，則出現(xiàn)0或1這一消息所含的信息量為

若信號(hào)為四進(jìn)制信號(hào)，出現(xiàn)0、1、2、3的概率均為1/4，則出現(xiàn)0所含的信息量為

若信號(hào)為M進(jìn)制信號(hào)，且M個(gè)元素等概出現(xiàn)，則傳送每一元素的信息量為

【例2.4.1】表2.4.1給出英文字母出現(xiàn)的概率。求出現(xiàn)空格和字母z這兩個(gè)消息所含的信息量。

解由表2.4.1可知,空格出現(xiàn)的概率為0.2,可出現(xiàn)空格這一消息所含的信息量為

I(空格)=-lbP(空格)=-lb0.2=2.32(bit)

z出現(xiàn)的概率為0.001,出現(xiàn)z這一消息所含的信息量為

I(z)=-lbP(z)=-lb0.001=9.97(bit)

題設(shè)所給消息中共有36個(gè)符號(hào),其中0出現(xiàn)10次,1出現(xiàn)5次,2出現(xiàn)13次,3出現(xiàn)8次,則此消息所含的信息量為

I=I0×10+I1×5+I2×13+I3×8

=2×10+3×5+1.415×13+2×8

=69.395(bit)

對(duì)于由一串符號(hào)構(gòu)成的消息，假設(shè)各符號(hào)是相互獨(dú)立的，根據(jù)信息量疊加的概念，整個(gè)消息所攜帶的信息量為

(2-4-2)

式中ni為第i種符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)，P(xi)為第i種符號(hào)出現(xiàn)的概率，N為信息源的符號(hào)種類。

當(dāng)消息很長(zhǎng)時(shí),用符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)和概率來(lái)計(jì)算消息中所含的信息量是比較麻煩的。此時(shí)可用平均信息量來(lái)計(jì)算。

2.4.2平均信息量

平均信息量是指每個(gè)符號(hào)所含信息量的統(tǒng)計(jì)平均值。N種符號(hào)的平均信息量為

(2-4-3)

有了平均信息量H(x)和消息中所含的符號(hào)總數(shù)n,我們就可以求得一則消息中所含的總信息量為

I=H(x)·n(bit)

(2-4-4)

這種估算方法有誤差,但比較方便。

【例2.4.3】用平均信息量求例2.4.2。

解該題設(shè)所給消息中共有4種符號(hào),故N=4,則其平均信息量為

該消息中共有36個(gè)符號(hào),因此其所含的總信息量為

I=H(x)·n=1.9056×36=68.6016(bit)=1.9056(bit)

這個(gè)結(jié)果與例2.4.2中的計(jì)算結(jié)果是不同的。因?yàn)樵诶?.4.3中用符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)代替符號(hào)出現(xiàn)的概率,而概率是大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,符號(hào)出現(xiàn)36次只是一個(gè)有限次的實(shí)驗(yàn),事件出現(xiàn)的頻率與其概率取值是有一定偏差的。當(dāng)發(fā)送的消息的長(zhǎng)度趨于無(wú)限時(shí),消息中符號(hào)出現(xiàn)的頻率才等于其概率。由于傳送的消息只是在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)傳輸?shù)男畔⒘?因此這兩種算法存在誤差是可以理解的。

本章知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

(1)隨機(jī)信號(hào)。①概率:是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律,表示大量實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)事件A的可能性的大小。若事件A出現(xiàn)nA次,則事件A的概率為②隨機(jī)變量:每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)變量來(lái)表示,如果變量的取值是不確定的,則稱這種變量為隨機(jī)變量。③概率密度函數(shù):單位變量上事件發(fā)生的可能性的大小,通常用pX(x)表示,其中X表示隨機(jī)變量,x表示隨機(jī)變量的取值。

④數(shù)學(xué)期望:也稱為均值,是隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均值,記作αX。離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分別為

⑤方差:隨機(jī)變量X與它的數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望,記為D[X],它反映了隨機(jī)變量取值的集中程度。離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量的方差分別為

4.傅里葉變換的常用特性

5.帕塞瓦爾定理

5.信號(hào)帶寬

信號(hào)帶寬由信號(hào)的功率譜密度或能量譜密度在頻域中的分布規(guī)律決定。常見(jiàn)的信號(hào)帶寬的定義:

①百分比帶寬:以集中一定百分比的功率或能量的頻率區(qū)間來(lái)定義帶寬,比如95%、99%帶寬。

②3dB帶寬:以信號(hào)的歸一化功率譜或能量譜密度下降3dB內(nèi)的頻率間隔作為帶寬。

③等效矩形帶寬:用一個(gè)矩形譜代替信號(hào)的功率譜(或能量譜),矩形譜的幅度為功率譜(或能量譜)f=0時(shí)的幅度,當(dāng)矩形譜具有的能量或功率與信號(hào)的功率(或能量)相等時(shí),等效矩形對(duì)應(yīng)的頻率區(qū)間即為等效矩形帶寬。

6.信息量

習(xí)題

一、單選題1.有關(guān)能量信號(hào)和功率信號(hào)正確的敘述是()。A.能量信號(hào)和功率信號(hào)的能量都是無(wú)限的B.能量信號(hào)和功率