上海市莘莊中學2023-2024學年高一上數學期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．的值是（）A. B.C. D.2．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇偉、瑰怪，非常之觀”的A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件3．設，，則A. B.C. D.4．當時，函數（，），取得最小值，則關于函數，下列說法錯誤的是（）A.是奇函數且圖象關于點對稱B.偶函數且圖象關于點（π，0）對稱C.是奇函數且圖象關于直線對稱D.是偶函數且圖象關于直線對稱5．我們知道，函數的圖象關于原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.據此，我們可以得到函數圖象的對稱中心為（）A. B.C. D.6．已知函數，若函數在上有3個零點，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.7．設都是非零向量，下列四個條件中，一定能使成立的是()A. B.//C. D.8．已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，則函數在區間上的所有零點之和為（）A. B.C. D.9．設集合，則中元素的個數為（）A.0 B.2C.3 D.410．“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知集合，，則集合中元素的個數為__________12．已知向量，若，則實數的值為______13．已知，則____________.14．已知點是角終邊上任一點，則__________15．已知是偶函數，則實數a的值為___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知A(2,0)，B(0,2)，，O為坐標原點（1），求sin2θ的值；（2）若，且θ∈(－π,0)，求與的夾角17．函數的部分圖像如圖所示（1）求的解析式；（2）已知函數求的值域18．已知全集，集合（1）若，求（2）．若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍19．假設有一套住房從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元.下表給出了兩種價格增長方式，其中是按直線上升的房價，是按指數增長的房價，是2002年以來經過的年數.05101520萬元2040萬元2040（1）求函數的解析式;（2）求函數的解析式；（3）完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像，然后比較兩種價格增長方式的差異.20．已知,.（Ⅰ）求證：函數在上是增函數；（Ⅱ）若,求實數的取值范圍.21．假設你有一筆資金用于投資，年后的投資回報總利潤為萬元，現有兩種投資方案的模型供你選擇.（1）請在下圖中畫出的圖像；（2）從總利潤的角度思考，請你選擇投資方案模型.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】根據誘導公式即可求出【詳解】故選：C2、D【解析】根據題意“非有志者不能至也”可知到達“奇偉、瑰怪，非常之觀”必是有志之士，故“有志”是到達“奇偉、瑰怪，非常之觀”的必要條件，故選D.3、D【解析】利用對數運算法則即可得出【詳解】，，，，則.故選D.【點睛】本題考查了對數的運算法則，考查了計算能力，屬于基礎題4、C【解析】根據正弦型函數的性質逐一判斷即可.【詳解】因為當時，函數取得最小值，所以，因為，所以令，即，所以，設，因為，所以函數是奇函數，因此選項B、D不正確；因為，，所以，因此函數關于直線對稱，因此選項A不正確，故選：C5、A【解析】依題意設函數圖象的對稱中心為，則為奇函數，再根據奇函數的性質得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設函數圖象的對稱中心為，由此可得為奇函數，由奇函數的性質可得，解得，則函數圖象的對稱中心為；故選：A6、A【解析】畫出函數圖像，分解因式得到，有一個解故有兩個解，根據圖像得到答案.【詳解】畫出函數的圖像，如圖所示：當時，即，有一個解；則有兩個解，根據圖像知：故選：【點睛】本題考查了函數的零點問題，畫出函數圖像，分解因式是解題的關鍵.7、D【解析】由得若,即,則向量共線且方向相反，因此當向量共線且方向相反時,能使成立，本題選擇D選項.8、D【解析】推導出函數是周期為的周期函數，且該函數的圖象關于直線對稱，令，可得出，轉化為函數與函數圖象交點橫坐標之和，數形結合可得出結果.【詳解】由于函數為上的奇函數，則，，所以，函數是周期為的周期函數，且該函數的圖象關于直線對稱，令，可得，則函數在區間上的零點之和為函數與函數在區間上圖象交點橫坐標之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個函數的四個交點有兩對關于點對稱，因此，函數在區間上的所有零點之和為.故選：D.【點睛】本題考查函數零點之和，將問題轉化為兩個函數的交點，結合函數圖象的對稱性來求解是解答的關鍵，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.9、B【解析】先求出集合,再求,最后數出中元素的個數即可.【詳解】因集合,,所以,所以,則中元素的個數為2個.故選：B10、B【解析】解出不等式，進而根據不等式所對應集合間的關系即可得到答案.【詳解】由，而是的真子集，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、2【解析】依題意，故，即元素個數為個.12、；【解析】由題意得13、【解析】求得函數的最小正周期為，進而計算出的值（其中），再利用周期性求解即可.【詳解】函數的最小正周期為，當時，，，，，，，所以，，，因此，.故答案為：.14、##【解析】將所求式子，利用二倍角公式和平方關系化為，然后由商數關系弦化切，結合三角函數的定義即可求解.【詳解】解：因為點是角終邊上任一點，所以，所以，故答案為：.15、【解析】根據偶函數定義求解【詳解】由題意恒成立，即，恒成立，所以故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）【解析】分析：(1)先根據向量數量積得sinθ＋cosθ值，再平方得結果，(2)先根據向量的模得cosθ，即得C點坐標，再根據向量夾角公式求結果.詳解：(1)∵＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)，＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)，＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∵|＋|＝，所以4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7，∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，又∵＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.點睛：向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數中的“數量關系”，通過解三角求得結果.17、（1）（2）【解析】(1)根據圖像和“五點法”即可求出三角函數的解析式；(2)根據三角恒等變換可得，結合x的取值范圍和正弦函數的性質即可得出結果.小問1詳解】由圖像可知的最大值是1，所以，當時，，可得，又，所以當時，有最小值，所以，解得，所以；【小問2詳解】，由可得所以，所以.18、（1）或；（2）【解析】（1）根據集合的補集和并集的定義進行求解即可；（2）由充分不必要條件確定集合之間的關系，根據真子集的性質進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，因此或，而，所以或；【小問2詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以，因此有：，故a的取值范圍為.19、（1）（2）（3）詳見解析【解析】（1）因為是按直線上升的房價,設,由表格可知,,進而求解即可；（2）因為是按指數增長的房價,設,由表格可知,,進而求解即可；（3）由（1）（2）補全表格,畫出圖像,進而分析即可【詳解】（1）因為是按直線上升的房價,設,由,,可得,即.（2）因為是按指數增長的房價,設,由,可得,即.（3）由（1）和（2）,當時,；當時,；當時,,則表格如下:05101520萬元2030405060萬元204080則圖像為:根據表格和圖像可知:房價按函數呈直線上升,每年的增加量相同,保持相同的增長速度；按函數呈指數增長,每年的增加量越來越大,開始增長慢,然后會越來越快,但保持相同的增長比例.【點睛】本題考查一次函數、指數型函數在實際中的應用,考查理解分析能力20、（Ⅰ）答案見詳解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)利用定義法證明函數單調性;(Ⅱ)判斷函數奇偶性,并結合的單調性將不等式轉化為不等式組,求出實數的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)任取,則,,即,所以函數在上是增函數;(Ⅱ)因為函數定義域為,關于原點對稱,又,所以函數為奇函數,又,即,即,由(Ⅰ)知函數在上是增函數,所以,即,故實數的取值范圍為.【點睛】(1)大題中一般采用定義法證明函數單調性;(2)利用單調性解不等式問題,一般需要注意三個方面:①注意函數定義域范圍限制;②確定函數的單調性;③部分需要結合奇偶性轉化.21、（1）作圖見解析（2）答案不