含絕對值不等式及其解法專題8專題8——含絕對值不等式及其解法一.知識要點

，a>0，1．實數a的絕對值0，a=0，

，a<0，它的幾何意義是表示數軸上對應實數a的點到

．a－a原點專題8——含絕對值不等式及其解法2．當a>0時，不等式|x|>a?x2>a2?

；不等式|x|<a?x2<a2?

，在數軸上表示為如圖6－1②.3．當a＝0時，不等式|x|>a的解集為

；不等式|x|<a的解集為

．4．當a<0時，不等式|x|>a的解集為

；不等式|x|<a的解集為

．R專題8——含絕對值不等式及其解法5．當c>0時，|ax＋b|>c?

；|ax＋b|<c?

．6．x2≥a2?|x|≥|a|；x2≤a2?|x|≤|a|．ax＋b<－c或ax＋b>c－c<ax＋b<c專題8——含絕對值不等式及其解法【真題+三年模擬】1.（2023年重慶市高等職業教育分類考試文化素質測試題）不等式的解集是（

）A.(1,3)B.(－∞,－3)∪(－1,+∞)C.(－3,－1)D.(－∞,1)∪(3,+∞)【解析】不等式

等價于x-2>1或者x-2<-1解得x>3或者x<1,答案選D

專題8——含絕對值不等式及其解法2.(2023年河北省職教高考研究聯合體第一次聯合考試)不等式

的解集為

【解析】原不等式整理為

，即

，所以有：

解得

故答案為[0,4]專題8——含絕對值不等式及其解法3.（2023年江蘇省鹽城市職教高考高三年級第一次模擬考試）已知不等式

的解集為（1，3），求函數

的定義域【解析】不等式

的解集是：（-a-b,a-b）,依題意有：解得a=1,b=-2所以函數為

，定義域滿足：

，整理為

解得即x<-2或者x>4.因此定義域為：專題8——含絕對值不等式及其解法4.（2022年安徽省中職“江淮十校”職教高考第六次聯考模擬）不等式的解集是（

）A.(－1,2)B.(－2,1)C.(－∞,－2)∪(1,+∞)D.(－∞,－1)∪(2,+∞)【解析】因為

，所以不等式

可整理為

，解得x>2或者x<-1,所以答案為D專題8——含絕對值不等式及其解法【例1】解不等式：(1)|x＋2|<1；(2)|2x－3|≥1；(3)(1＋3x)|x|<0.【解析】(1)原不等式可化為|x＋2|<1?－1<x＋2<1?－3<x<－1，∴原不等式的解集為{x|－3<x<－1}．(2)原不等式可化為|2x－3|≥1?2x－3≤－1或2x－3≥1，解得x≤1或x≥2，∴原不等式的解集為{x|x≤1或x≥2}．(3)∵|x|≥0，∴(1＋3x)|x|<0與

同解，解得x<

，原不等式的解集為

.專題8——含絕對值不等式及其解法(1)不等式x|2x＋3|<0的解集為

；(2)不等式|x－2|－3>0的解集為

．【變式練習1】(1)【解析】原不等式等價于x<0且2x＋3≠0，解得x<0且x≠

.(2)【解析】|x－2|－3>0?|x－2|>3?x－2<－3或x－2>3?x<－1或x>5.專題8——含絕對值不等式及其解法【例2】解不等式2|x－1|－1>3，并用區間表示不等式的解集．【解析】原不等式可化為|x－1|>2?x－1<－2或x－1>2?x<－1或x>3，∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞).專題8——含絕對值不等式及其解法【變式練習2】(1)不等式1－|3－2x|>0的解集為(

)A．(－2，2)

B．(2，3)

C．(1，2)

D．(3，4)(2)不等式|x－5|≥|2x－4|的解集是

．(1)【解析】原不等式可化為|2x－3|<1?－1<2x－3<1?1<x<2，∴選C.(2)【解析】|x－5|≥|2x－4|?(x－5)2≥(2x－4)2?3x2－6x－9≤0

?3(x－3)(x＋1)≤0?－1≤x≤3.專題8——含絕對值不等式及其解法【例3】已知關于x的不等式|2x＋a|<b（b>0）的解集為{x|－1<x<3}，求實數a，b的值．【解析】去絕對值符號得－b<2x＋a<b，則

，∴

解得專題8——含絕對值不等式及其解法【變式練習3】已知關于x的不等式|x－a|<－b(b<0)的解集為{x|1<x<3}，求不等式|x＋b|≥a的解集．解：去絕對值符號得b<x－a<－b，∴a＋b<x<a－b，∴

解得代入不等式得|x－1|≥2?x－1≤－2或x－1≥2?x≤－1或x≥3.∴原不等式的解集是{x|x≤－1或x≥3}．專題8——含絕對值不等式及其解法【總結反思】1．理解絕對值的幾何意義．2．含絕對值不等式的解題思路：先利用絕對值的定義、平方或分區間討論等方法去掉絕對值符號，再求解．3．解題技巧：|－ax＋b|＝|ax－b|.專題8——含絕對值不等式及其解法【課堂自測】1．下列結論錯誤的是(

)

A．不等式|x＋2|>－2的解集為RB．不等式|x|<－4的解集為?C．不等式|1－x|≤0的解集為[－1，1]D．不等式|x－2|>0的解集為(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】不等式|1－x|≤0的解集為{1}．答案選C專題8——含絕對值不等式及其解法2.若|x＋2|≥x＋2，則x的取值范圍是(

)

A．{x|x>0}

B．{x|x<0}C．R

D．{x|x<－2}【解析】由題意得x＋2∈R?x∈R，∴選C.專題8——含絕對值不等式及其解法3.不等式|x－1|＋|x＋2|>3的解集為

．【解析】根據絕對值的幾何意義得|x－1|＋|x＋2|>3是指數軸上x到1的距離與x到－2的距離之和大于3，根據數軸可知x<－2或x>1.專題8——含絕對值不等式及其解法4.（素養提升）設全集U＝R，已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}，且A∪B＝R，求實數a的取值范圍．

【解析】：A＝{x|a－4<x<a＋4}，B＝{x|x<－1或x>5}．∵A∪B＝R，結合數軸∴解得1<a<3，∴實數a的取值范圍是{a|1<a<3}．專題8——含絕對值不等式及其解法5.（素養提升）若A＝{x||x＋1|<m}，B＝{x|x2＋2x－8<0}，求分別滿足下列條件的m的取值范圍：(1)A?B；(2)A∩B＝?【解析】：(1)B＝(－4，2).