數列熱點問題核心熱點真題印證核心素養等比(差)數列的判定與證明2019·全國Ⅱ，19；2018·全國Ⅰ，17；2017·全國Ⅰ，17邏輯推理、數學運算通項與求和2019·天津，19；2018·全國Ⅱ，17；2018·全國Ⅲ，17；2016·全國Ⅱ，17數學運算、數學建模等差與等比數列的綜合問題2019·全國Ⅰ，18；2019·全國Ⅱ，18；2019·北京，16；2017·全國Ⅱ，17；2018·天津，18；2018·全國Ⅰ，17；2018·浙江，20數學運算、邏輯推理教材鏈接高考——等比(差)數列的判定與證明[教材探究]1.(必修5P50例2)根據圖2.4－2中的框圖(圖略，教材中的圖)，寫出所打印數列的前5項，并建立數列的遞推公式.這個數列是等比數列嗎？2.(必修5P69B6)已知數列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？探究提高由數列的遞推公式證明數列是等差或等比數列，并求其通項公式是數列命題的常見題型，解題的關鍵是通過適當的變形，轉化為等差、等比等特殊的數列問題.【鏈接高考】

(2019·全國Ⅱ卷)已知數列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數列，{an－bn}是等差數列； (2)求{an}和{bn}的通項公式.

(1)證明由題設得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，又因為a1＋b1＝1，由題設得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數列.教你如何審題——等差與等比數列的綜合問題【例題】

(2018·天津卷)設{an}是等差數列，其前n項和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數n的值.[審題路線]設等差數列{an}的公差為d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，從而a1＝1，d＝1，[自主解答]解(1)設等比數列{bn}的公比為q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因為q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以n的值為4.探究提高1.本題主要考查利用等差、等比數列通項公式與前n項和公式計算，突出方程思想和數學運算等核心素養，準確計算是求解的關鍵.2.利用等差(比)數列的通項公式及前n項和公式列方程(組)求出等差(比)數列的首項和公差(比)，進而寫出所求數列的通項公式及前n項和公式，這是求解等差數列或等比數列問題的常用方法.3.對等差、等比數列的綜合問題，應重點分析等差、等比數列項之間的關系，以便實現等差、等比數列之間的相互轉化.【嘗試訓練】

(2019·全國Ⅱ卷)已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝log2an，求數列{bn}的前n項和.

解(1)設{an}的公比為q，由題設得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.

解得q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數列{bn}的前n項和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.滿分答題示范——數列的通項與求和故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.由公式求通項所以{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n.··················5′[規范解答](1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q(q>0).(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)

根據數列特征分組··················7′＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n).記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn[高考狀元滿分心得]?得步驟分：抓住得分點的解題步驟，“步步為贏”，在第(1)問中，由條件式轉化為關于d，q的方程組，由公式求an，bn，在第(2)問中觀察數列的結構特征先分組，后用錯位相減法求和.?得關鍵分：(1)列方程組，(2)分組求和都是不可缺少的過程，有則給分，無則沒分.?得計算分：解題過程中計算正確是得滿分的根本保證，特別是第(1)問中的解方程，起著至關重要的作用，第(2)問中的錯位相減法求和是計算中的難點.解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.選條件②：∵an＝2n，bn＝(－1)nan，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，當n為偶數時，

Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]當n為奇數時，n－1為偶數，Sn＝(n－1)－2n＝－n－1.選條件③：∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn＝22n·2n＝2n·4n，∴Sn＝2×41＋4