2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)的概念與性質(zhì)第4節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案含解析新人教B版202305182141第4節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù)．冪函數(shù)的特征(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)．(2)xα的系數(shù)為1.(3)解析式只有一項(xiàng)．2．常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖像3．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)(1,1)．(2)如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)如果α<0，則冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方且無(wú)限逼近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖像在x軸上方且無(wú)限逼近x軸．4．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱性圖像關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)成軸對(duì)稱圖形(1)二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān)．(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)>0；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)<0.二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(×)(2)如果冪函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．(√)(3)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(×)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(×)2．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則f(2)＝()A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)C解析：設(shè)f(x)＝xα，因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，所以f(4)＝4α＝eq\f(1,2)，解得α＝－eq\f(1,2)，所以f(2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))C解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－20a<0，))解得a>eq\f(1,20).4．已知函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，則y的最小值是________．－1解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x2－6x＋3的圖像的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2)>1，所以函數(shù)y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1.5．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_2__.考點(diǎn)1冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)——基礎(chǔ)性1．與函數(shù)y＝x－1的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像大致是()B解析：y＝x的圖像位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖像是上升的，函數(shù)y＝x－1的圖像可看作由y＝x的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的(如選項(xiàng)A中的圖像所示)．將y＝x－1的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱后即為選項(xiàng)B.2．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或2B解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n<0，))所以n＝1.又n＝1時(shí)，f(x)＝x－2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故n＝1.故選B.3．(2020·衡水中學(xué)調(diào)研)已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖像上．設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝f(2－eq\f(1,2))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．b<a<cA解析：因?yàn)閒(x)＝(m－1)xn為冪函數(shù)，所以m－1＝1，則m＝2，f(x)＝xn.又點(diǎn)(2,8)在函數(shù)f(x)＝xn的圖像上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函數(shù)．又lnπ>1>2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,3)，所以f(lnπ)>f(2－eq\f(1,2))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，則b>c>a.冪函數(shù)的圖像的應(yīng)用注意點(diǎn)(1)對(duì)于冪函數(shù)圖像，要抓住直線x＝1，y＝1，y＝x將第一象限分成的六個(gè)區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由冪函數(shù)的奇偶性決定．(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．考點(diǎn)2二次函數(shù)的解析式——綜合性已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函數(shù)f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故f(x)＝－4x2＋4x＋7.(方法二：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因?yàn)閒(2)＝f(－1)，所以拋物線的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).所以m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.因?yàn)閒(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.(方法三：利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值ymax＝8，即當(dāng)a≠0時(shí)，eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8，解得a＝－4；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－1，不符合題意，舍去．故f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函數(shù)解析式的策略已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對(duì)?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝________.x2－2x＋3解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以eq\f(b,2)＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)——綜合性考向1二次函數(shù)的圖像(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集為(－2,1)，則函數(shù)y＝f(－x)的圖像為()D解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集為(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的兩根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函數(shù)y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其圖像開(kāi)口向下，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)和(2,0)．故選D.(2)(多選題)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1.下面四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.b2>4acB．2a－b＝1C．a(chǎn)－b＋c＝0D．5a<bAD解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正確；二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為直線x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，得2a－b＝0，B錯(cuò)誤；結(jié)合圖像知，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的圖像開(kāi)口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正確．故選AD.1．解決二次函數(shù)圖像問(wèn)題的基本方法(1)排除法，抓住函數(shù)的特殊性質(zhì)或特殊點(diǎn)．(2)討論函數(shù)圖像，依據(jù)圖像特征，得到參數(shù)間的關(guān)系．2．分析二次函數(shù)圖像問(wèn)題的要點(diǎn)一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；二是看對(duì)稱軸和頂點(diǎn)；三是看函數(shù)圖像上的一些特殊點(diǎn)．從這三方面入手，能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖像．反之，也能從圖像中得到如上信息.考向2二次函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]D解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的圖像對(duì)稱軸為x＝eq\f(3－a,2a).由f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.－3解析：由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a<0.又eq\f(3－a,2a)＝－1，所以a＝－3.利用二次函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是看圖像的開(kāi)口方向與對(duì)稱軸的位置．若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論．(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)(或式)通過(guò)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．考向3二次函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)遞增，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)遞減，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，a的值為eq\f(3,8)或－3.將本例改為：求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值．解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，f(x)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線x＝－a.①當(dāng)－a＜eq\f(1,2)，即a＞－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；②當(dāng)－a≥eq\f(1,2)，即a≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.綜上，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a＞－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))二次函數(shù)的最值問(wèn)題的類型軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)．不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．考向4二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(－∞，－1)解析：f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．因?yàn)間(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，依據(jù)是a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.1．(2020·九江一中模擬)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是()A解析：若0<a<1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；y＝(a－1)x2－x的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，排除C，D.若a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝(a－1)x2－x的圖像開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，因此B不正確，只有A滿足．2．若函數(shù)y＝x2－3x＋4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4))，則m的取值范圍為()A.(0,4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C解析：y＝x2－3x＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(7,4)的定義域?yàn)閇0，m]．顯然，在x＝0時(shí)，y＝4.又值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4))，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性知eq\f(3,2)≤m≤3.故選C.3．(2020·唐山模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，則()A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0C解析：因?yàn)閒(x)圖像的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致圖像如圖所示．由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由題意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)對(duì)1<x<4恒成立．又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2).所以a>eq\f(1,2).第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．n次方根(1)根式的概念一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a，則x稱為a的n次方根．當(dāng)eq\r(n,a)有意義時(shí)，eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開(kāi)方數(shù)．(2)a的n次方根的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．4．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)0<a<1a>1圖像定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1減函數(shù)增函數(shù)5．比較冪的大小的方法(1)對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷．(2)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖像的變化規(guī)律來(lái)判斷．(3)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過(guò)中間值來(lái)判斷．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.(×)(2)(－1)＝(－1)＝eq\r(－1).(×)(3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(×)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)(5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(×)(6)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(×)2．計(jì)算[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為()A．－9 B．7C．－10 D．9B解析：原式＝26×eq\f(1,2)－1＝23－1＝7.故選B.3．若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，則f(－1)＝________.eq\r(2)解析：由題意知eq\f(1,2)＝a2，所以a＝eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))－1＝eq\r(2).4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.－eq\f(3,2)解析：當(dāng)a>1時(shí)，易知f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－1，,f0＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,1＋b＝0，))無(wú)解．當(dāng)0<a<1時(shí)，易知f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝－1，,f－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝－1，,a－1＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2.))所以a＋b＝－eq\f(3,2).5．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是________．c＜b＜a解析：因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，即a＞b＞1.又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，所以c＜b＜a.考點(diǎn)1指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值——基礎(chǔ)性1．若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq\f(1,2a3)C．(－2)0＝－1 D．(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)D解析：對(duì)于A，(－2)－2＝eq\f(1,4)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,2a－3＝eq\f(2,a3)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，(－2)0＝1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，(a)4＝eq\f(1,a)，故D正確．2．化簡(jiǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·eq\f(\r(4ab－1)3,0.1－1·a3b－3)(a＞0，b＞0)＝________.eq\f(8,5)解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).3．計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))＋(0.002)－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________.－eq\f(167,9)解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))－2＋500－eq\f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式要力求統(tǒng)一．考點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用——綜合性(1)已知函數(shù)f(x)＝2x－2，則函數(shù)y＝|f(x)|的圖像可能是()B解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥1，,2－2x，x<1，))易知函數(shù)y＝|f(x)|的圖像的分段點(diǎn)是x＝1，且過(guò)點(diǎn)(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上單調(diào)遞減．故選B.(2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖像與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為_(kāi)_______．(0,1)解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖像與直線y＝b如圖所示．由圖像可得b的取值范圍是(0,1)．指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用問(wèn)題的求解方法(1)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解．(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像判斷底數(shù)大小的問(wèn)題，可以通過(guò)直線x＝1與圖像的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．1．若函數(shù)y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為_(kāi)_______．(－∞，0]解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范圍為(－∞，0]．2．若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．[－1,1]解析：作出曲線|y|＝2x＋1的圖像，如圖所示，要使該曲線與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，只需－1≤b≤1.3．若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：y＝|ax－1|的圖像是由y＝ax的圖像先向下平移1個(gè)單位，再將x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的．當(dāng)a>1時(shí)，如圖1，兩個(gè)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖2，要使兩個(gè)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則0<2a<1，得0<a<eq\f(1,2).綜上可知，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——應(yīng)用性考向1比較大小已知a＝2，b＝4，c＝25，則()A．b<a<cB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<bA解析：因?yàn)閍＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c.故選A.考向2解指數(shù)方程或不等式(1)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0.))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為_(kāi)_______．eq\f(1,2)解析：當(dāng)a<1時(shí)，41－a＝2，解得a＝eq\f(1,2)；當(dāng)a>1時(shí)，代入不成立．故a的值為eq\f(1,2).(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0.))若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(－3,1)解析：當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，所以a>－3.又a<0，所以－3<a<0.當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)<1可化為eq\r(a)<1.所以0≤a<1.綜上，a的取值范圍為(－3,1)．考向3指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________．(－∞，4]解析：令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上單調(diào)遞減．而y＝2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．考向4指數(shù)型函數(shù)的最值若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3有最大值3，則a＝________.1解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)．因?yàn)閒(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的常考題型及求解策略常考題型求解策略比較冪值的大小(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，要注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致，另外要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，借助“同增異減”，將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))，c＝log2eq\f(7,9)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()A．f(b)＜f(a)＜f(c)B．f(c)＜f(b)＜f(a)C．f(c)＜f(a)＜f(b)D．f(b)＜f(c)＜f(a)B解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上為增函數(shù)．又a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＝b＞0，c＝log2eq\f(7,9)＜0，則a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．2．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(x)＜f(y)，所以x＜y，即y－x＞0.由于y－x＋1＞1，故ln(y－x＋1)＞ln1＝0.故選A.(方法二)取x＝－1，y＝0，滿足2x－2y＜3－x－3－y，此時(shí)ln(y－x＋1)＝ln2＞0，ln|x－y|＝ln1＝0，可排除BCD.故選A.3．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4) B．(0，＋∞)C．(0,4] D．[4，＋∞)C解析：設(shè)t＝x2＋2x－1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t.因?yàn)?<eq\f(1,2)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t為關(guān)于t的減函數(shù)．因?yàn)閠＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4.故所求函數(shù)的值域?yàn)?0,4]．4．函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間是________．[0，＋∞)解析：設(shè)t＝2x(t>0)，則y＝t2－2t的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，＋∞)．(2020·臨沂月考)設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]讀想算思比較大小比較大小的方法是什