卷05（海南卷數學）-2021屆高考數學沖刺模擬測試卷

注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求的）

L設集合A={x|0<%244},8={x[x>-l},則AB=()

A.(-1,2]B.(—1,0)50,2]

C.[-2,+oo)D.(-1,0)(0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式0＜一44得到集合A,進而可求出交集.

【詳解】

A={X|0<X2<4}={X|-2<X<2,JU^0).又8=卜打)一1},

/.A(~\B={x|—1<x<2,JLx^O}.

故選B

【點睛】

本題主要考查集合的交集，熟記概念即可,屬于基礎題型.

l-2z

2.-------)

1+z

A.」+當31.13.

B.C.-----------1D.-------z

22222222

【答案】D

【分析】

根據復數的除法運算法則，直接計算即可得出結果.

【詳解】

l-2z-l-3z13.

z=---------------=---------1.

1+z222

故選D

【點睛】

本題主要考查復數的除法，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.

'x-y+2N0

3.已知x,y滿足不等式組<2x+y-2W0則目標函數z=x+3y的最大值為

y>0

A.-2B.1C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最

優解的坐標代入目標函數得答案.

jz

由圖可知，當直線y=x+過A(0,2)時,

33

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6.

故選C.

【點睛】

本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題.

2

x+1x<0

4.已知函數，(x)二.';，若/(x)=5,則x的值是().

一2羽x>0

A.-2B.2或一*C.2或-2D.2或-2或一之

22

【答案】A

【分析】

對x分xWO,x〉0兩種情況討論，即可得解.

【詳解】

當xWO時，令y=5,得f+i=5，

解得x=-2或x=2,又xWO,所以x=-2：

當x>0時，令y=5,得—2x=5,解得x=-g,不合題意舍去.

綜上所述，x=-2.

故選：A.

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是由邊長為2的正方形和半徑為1的半圓

2*—

俯視圖

c2萬_71,71?7t

A.8-\---B.8H—C.44—D.8H—

3633

【答案】D

【解析】

【分析】

由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體，利用體積公式，即可得出結論.

【詳解】

由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體，

11jr

V=23+-X-X^-X12X2=8+-,

233

故選:D.

【點睛】

本題考查了常見幾何體的三視圖與體積計算，屬于基礎題.

2222

6.已知雙曲線上一匕=1的焦點與橢圓工+匕=1的焦點相同，則雙曲線的離心率

a262

為()

歷

A.—B.y/2C.y/3D.2

2

【答案】B

【解析】

根據橢圓三+二=1可以知焦點為(±2,()),.?.c=V^+2n2=V^+2=a=2,

62

離心率e=；==&,故選B.

C.(~℃,2)(2,-t-oo)D.—1)<J(1,5]

【答案】D

【解析】

分析：先根據程序框圖得f(x)解析式，再根據分段函數解三個不等式組，求并集得結

4

果.

X2,X<2

詳解：因為/(x)=,2x-3,2<xW5,所以由得

a<2_^[2<a<5

2或-或<1

a~>12a—3〉1—>1

、a

所以a<-1或1<a<2或2<a<5:.a<一1或1<a<5,

因此選D.

點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環結構的考查.先明晰算法及流程圖的

相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、

循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.

x,x<0

8.已知函數??)=<2八若函數g(X)=/(X)—,7?有三個不同的零點，則實數機的

x—x,x>0

取值范圍為()

11

A.,1]B.I-T-0

11

C.0)D.0]

44

【答案】C

【解析】

試題分析：函數g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，

等價于函數y=f(x)與y=m的圖象有三個不同的交點，

作出函數f(x)的圖象如圖：

由二次函數的知識可知，當x=L時，拋物線取最低點為-,，

24

函數y=m的圖象為水平的直線，由圖象可知當me(-',0)時,

4

兩函數的圖象有三個不同的交點，即原函數有三個不同的零點

考點：分段函數的應用

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）

9.若a,b,C為實數，則下列命題正確的是（）

A.若ac?>，貝B.若“<6<0,則/<匕2

C.若a〉人〉0,則D.若a<8<0,c>d>0,則而

ab

【答案】ACD

【分析】

根據不等式的性質判斷.

【詳解】

解：對于A,若收2〉從2,則”>〃，故正確；

對于8,根據不等式的性質，若。<8<（）,則/>/,故錯誤；

對于C,若a>b>0,則一~>—-,U|J—>一,故正確；

ababba

對于力，若a<0<0,c>d>0,WO-c>-d>0,-ac>-bd,則ac</?d,故正

確.

故選：ACD.

10.設A,8是拋物線y=V上的兩點，。是坐標原點，下列結論成立的是（）

A.若QAJ.O3,則|3||煙22

B.若。4_LO3,直線A8過定點（1,0）

C.若。4_LQB,。到直線AB的距離不大于1

D.若直線A8過拋物線的焦點尸，且|AF|=g,則|8加=1

【答案】ACD

【分析】

設直線AB方程為y=kx+b,將直線AB方程代入拋物線方程y=x2,利用韋達定理，

結合直線垂直的條件，逐一分析判斷得解.

【詳解】

B.設直線方程為'="+/，，4（百，%），8（%,%），

將直線AB方程代入拋物線方程y=x2,得了2一6—8=o,

6

則玉+X,=k,XyX2=-b,

OAJ_OB,k0Ak0B=-b=-\,h-\.

于是直線A8方程為y=Ax+l,該直線過定點(0,1).故3不正確；

C.0到直線AB的距離d=-7==,,1,即。正確；

^.\OA\\OB\=4片+短)(%2+%2)==J(l+「2)(l+%2)

=Jl+*2+/2+.2/2=J2+X；+,2=q4+(%+%2)??[I]。8|?.2正確；

D.由題得必+<=:，;.x=《,所以」-=x：,...x=±立，不妨取x=@

431212,66

j__2

所以女=%￡=-g，所以直線AB的方程為y=—正大+工，所以6=1.

<33J344

6

由題得I|=%+；+%+；=

1114

3223

41

所以|8尸|=§—,=1.所以D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題主要考查了宜線與拋物線的綜合問題，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的

計算能力.解題的關鍵是靈活利用韋達定理和拋物線的定義.

H.如圖所示，已知正方體ABC。—44G2,E,尸分別是。乃，4。上不重合的

兩個動點，下列四個結論中正確的是（)

B.平面AFD//平面

C.ABJEFD.平面AEQJ_平面AB4A

【答案】CD

【分析】

由題意畫出圖形，利用兩直線平行，同旁內角互補判斷A；取特殊位置判斷B；利用線

面垂直的判定與性質判斷C；由面面垂直的判定判D.

【詳解】

解：A：如圖，

在。8.AC上分別取點E,F,

ABCD-AB￡DI為正方體，則四邊形ABC1為矩形,

NFRC+NECD]<幺叩+/BCR=180°.CE與4P不平行，故A錯誤；

B：不妨取產與4重合，E與。重合，此時平而AFD虧平面4EG相交，故B錯誤;

C：AB]上BC,且ABIBC=B,則_L平面4]。。，

則A4_L￡7'故C正確；

D：AOL平面A64A，而ADu平面AEO,則平面AEO1.平面ABgA，故D正

確.

故選：CD.

【點睛】

結合正方體，本題考查線線平行與垂直的判定，面面平行與垂直的判定；線線平行與垂

直的判定，面面平行與垂直的判定是高考考查的重點；本題是基礎題.

12.高斯（Gauss）是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名的“高斯

函數''為：設xeR,用[可表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數，例如：

[-2.3]=-3,[15.31]=15.已知函數/⑺—G（x）=[/（x）],則下列

說法正確的有（）

A.G（x）是偶函數B.G（x）的值域是{—1,0}

C.“X）是奇函數D.“X）在R上是增函數

8

【答案】BCD

【分析】

根據G(l)wG(-1)知A錯誤；利用分式值域的求法可求得了(x)e(—進而根

據高斯函數定義可知G(x)的值域,知B正確;化簡得到〃T)+/(X)=0知C正確；

根據單調性的性質可推導得到。正確.

【詳解】

對于A,G6=[/(l)]=[,=0,G(-l)=[/(-l)]==T，

.?.G(l)wG(—l),「.Ga)不是偶函數，A錯誤；

對于5，/(x)=———-=-———,

I71+2，221+2,

2*>0，/.1+2'>1.<1,J,

當時，G(x)=[/(x)]=-1,當”x)e0，g)時，

G(x)=[/3]=。，

??.G(x)的值域是{-1,0},8正確;

對于“(T)+〃尤)=；-六+宗￡=1-普=0,,〃x)為奇函數,

1H-----

2X

C正確；

對于y=2'在R上單調遞增，.?.〉=一1在R上單調遞減，

1+2,

，y=g一57在R上單調遞增，即/a)在R上是增函數，。正確.

故選：BCD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查函數新定義的問題，解題關鍵是明確本題以新定義函數為載體,

考查函數值域、單調性和奇偶性的知識.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知/(X)的導函數為尸(X),且滿足關系式/(》)=3^'(2)+111%,則/?)的值

為一

【答案】V

4

【分析】

】根據導數的計算公式求出了'（X）,令x=2可得八2）=-；，

然后把x=l代入即可.

【詳解】

由〃x）=3礦（2）+lnx,可得：/'（x）=3/'（2）+：,

??./'（2）=3/（2）+：,解得：/'（2）=—；

???/⑴=3/（2）+1=；.

故答案為7

4

【點睛】

本題考查函數的導數的應用，屬基礎題.

14.若點尸（1,1）為圓f+y2-6x=0的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為

【答案】1=0

【解析】

試題分析：因為P（l，1）為圓V+y2—6x=0的弦MN的中點，所以圓心坐標為（3,0）,

32=-第=2，MN所在直線方程為y—1=2（%—1）,化簡為2x—y-1=0,故

答案為2x—y-l=0.

考點：1、兩直線垂直斜率的關系；2、點斜式求直線方程.

15.已知函數/（力=45m（的+0）（4>0,0>>0,刨<]）的圖象與丫軸的交點為

它在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（尤o,2）和（%+2],一2）則

小）=

10

Ijr

【答案】/（x）=2sin（-x+-）

26

【解析】

2萬11Ji

試題分析：由題意丁=4%，A=2,C0=—=-,乂（p『,sin^=-,。=一，

T226

c171

所以/Cr）=2sing無+”）.

26

考點：三角函數的圖象與解析式.

16.在三棱錐A—BCD中，側棱AB、AC.AZ）兩兩垂直，A4BC,AAC￡>,A4DB的

歷c%

面積分別為注，巨,絲，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為

222

【答案】屈兀

【解析】

試題分析：三棱錐A-BCD中，側棱AB、AC.AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的

外接球是同一個，氏方體的對角線就是球的宜彳仝，設長方體的三邊為仇c,則由題意

得

ab-y[6,ac-y/3,bc-y[2,,解得a=V5,Z?=V^,c=l,

所以球的直徑為J3+2+1=R,所以球的半徑為吆，

2

所以三棱錐4—BCD的外接球的體積為士萬>（逅）3=C萬，故填：任兀.

32

考點：球與幾何體

【方法點睛】球與幾何體的問題，屬于中檔題型，當條件為三棱錐有同一頂點的三條棱

兩兩垂直時，可聯想到長方體，這樣的三棱錐就是長方體的一部分，如圖所示，此時三

棱錐的外接球就是長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，

（2R）2^a2+b2+c2.

四、解答題（本題共6小題，共70分.其中17題10分，18-22題12分。解答應寫出

文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.如圖，在ABC中，AO是NBAC的角平分線，8D=5,AB=7,ADB=\20°.

RD

(1)求的長；(2)求AOC的面積.

【答案】(1)A￡)=3；(2)

32

【解析】

【分析】

(1)在△AD5中，應用余弦定理即可求AD的長；(2)設NB4￡>=NC4。=6,由

正弦定理求。余弦值；法一：由兩角和正弦公式求sinC,正弦定理求AC,結合三角

形面積公式即可求ADC的面積；法二：山S/=S謝+SA。。，結合三角形面積

公式先求AC,再求AOC的面積；

【詳解】

(1)在aAOB中，應用余弦定理可得:

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,代入數據可得+54。-24=0,解

得4)=一8(舍)或AO=3.

(2)在△AOB中，設NBA。=NC4O=6,

BDAB>可得sin0=5"，則彳1cos0=—.

應用正弦定理可得

sin。sinZADB1414

解法一：在AOC中，sinC=sin(9+NAZ)C),其中NAOC=60。，有

46

)

sinC=sin(6+N4￡C)不

可得」^二段

由正弦定理,,可得AC=—

sinZADCsinC8

145J3

故S/\AQC=—XxACxsin

解法二：由題意知：S^=SABD+SADC1即

-ABADsm0+-ACADsin0=-AB-ACsm20,得

222

21

21+3AC=14AC?cos8,化簡可得AC=—.

8

12

I45、/3

故S/\A比=—xADxACxsin^=

【點睛】

本題考查了正余弦定理,正弦定理的邊角關系、余弦定理求邊，結合了兩角和正弦公式、

三角面積公式，屬于基礎題.

18.在數列｛《,｝,色｝中，4=/=1,a”.=3an-b?-3n-l,bn+i=3bti-an+3〃+1.

等差數列｛%｝的前兩項依次為生，瓦.

(1)求匕｝的通項公式；

(2)求數列｛(%+勿)q,｝的前〃項和S?.

【答案】(I)c?=8?-10(2)Sn=(4〃-9)2m+36

【分析】

(1)根據遞推公式計算為=-2,4=6,利用等差數列公式計算得到答案.

⑵將題目中兩式相加得到％=2(%+勿)，故｛%+2｝是首項為2,公比為

2的等比數列，計算得到通項公式，再利用錯位相減法計算得到答案.

【詳解】

(1)：q=4=1,二%=-2,b2=6,則｛qj的公差為〃=6-(—2)=8

故｛%｝的通項公式為￡,=—2+8(〃-1)=8〃—10.

(2)an+l=3an-bn-3n-l,①

%=3包-4+3〃+1，②

①+②得%+%=2(。“+〃).

又q+々=2,從而｛%+2｝是首項為2,公比為2的等比數列，

故4+d=2".(q,+2)c,=(8〃-10)2"

2

5,,=-2X2+6X2++(8〃-10)2”,

2S?=-2X22+6X23++(8〃—1())2"T,

S?-2S?=-4+8(22+23++2")—(8〃—10)2向，

n+ln+1n+I

即-Sn=-4+8(2-4)-(8n-l0)2=(18-8n)2-36,

即S“=（4〃-9）2"2+36.

【點睛】

本題考查了通項公式，錯位相減法，變換得到4m+〃源=2（4+么）是解題的關鍵.

19.《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，

應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華

人民共和國道路交通安全法》第90條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款

50元的處罰.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”

行為統計數據：

月份12345

違章駕駛員人數1201051009085

（1）請利用所給數據求違章人數y與月份》之間的回歸直線方程§=甚+%；

（2）預測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數；

（3）若從表中3、4月份分別抽取4人和2人，然后再從中任選2人進行交規調查，

求抽到的兩人恰好來自同一月份的概率.

EX^-nxy力1,一尤）（凹一V）

參考公式：T——h=口——%=5-限

Xx/-nx

i=li=l

7

【答案】（1）y=—8.5x+125.5；（2）49人;（3）P=—.

【解析】

試題分析：（1）計算亍，區利用公式解得A,a^y-bx,從而得解；

（2）將x=9代入回歸方程即可；

（3）設3月份抽取的4位駕駛員編號分別為q,%,4,4，4月份的駕駛員編號分別為

片列出所有基本事件，利用古典概型計算公式求解即可.

試題解析：

（1）由表中數據知，元=3*,=100,

.r_V-_1415-1500

??cz——=-8.5,a=y-bx=\25.5<

v-1n?—755-45

所求回歸直線方程為$=-8.5x+125.5.

14

（2）由（1）知，令x=9,則#=-8.5x9+125.5=49人.

（3）設3月份抽取的4位駕駛員編號分別為q,4,《，/，4月份的駕駛員編號分別為

耳坊.從這6人中任選兩人包含以下基本事件

（4,4）,（4，4）,（4，。4），（4，4），（4也），3，%），3，。4），3,6），3也），（生，4），（生，4）

.（&也）,（4力）,（%也），（乙也），共15個基本事件；其中兩個恰好來自同一月份的包

含7個基本事件，

7

.?.所求概率為2=石.

點睛：古典概型中基本事件數的探求方法

⑴列舉法.

（2）樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對「基本事件有“有序”與”無

序”區別的題目，常采用樹狀圖法.

（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的

題目具體化.

（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.

20.如圖，在三棱柱ABC—AgG中，BCG為正三角形，AC1BC,AC=BC=2,

AC=2近,點P在線段8耳的中點，點Q為線段4G的中點.

（1）在線段AA上是否存在點M,使得G/〃平面AR2?若存在，指出點/的位

置；若不存在，請說明理由.

（2）求三棱錐A—ACP的體積.

【答案】（1）存在線段A4的中點M滿足題意，理由見解析；（2）2回.

3

【分析】

（1）由點P為線段34的中點，點Q為線段BC的中點，可得BCJ/PQ,得到C、BH平

面APQ,取A4的中點得8M〃PA，同理BM〃平面-AP。，再由面面平行的判

定可得平面C\BMM平面AtPQ,進一步得到C[MH平面\PQ；

（2）由已知求解三角形證明Agj■平面sec4,得到AG，。/，求出三角形

AG。的面積，再由棱錐體積公式求三棱錐A-A6尸的體積.

【詳解】

（1）存在線段AA的中點〃滿足題意

證明如下：

因為點P為線段的中點，。為4c的中點，所以BCJ/PQ，

又GBa平面APQ，PQu平面4PQ,所以GB〃平面4尸Q.

取A&中點M,連接，C.M,則BMHPA,

同理BM//平面AfPQ.

又QB=M，所以平面GBM//平面4PQ.

又平面GBM,所以GM〃平面APQ.

（2）由QSJ=2,5C￡為正三角形，及棱柱知BB]J為正三角形，CF工BB「

C[PtCC[,CC1=2,C]P=6

因為AG=2&，所以AC12=AC2+CC;,

所以AC_LC￡,所以AG_LC￡,

又CP所以eq，平面AGP.

因為MCC},所以A4,，平面AGP.

又AC_LBC,所以4cl_L4G，

因為4GCCG=G，所以AG，平面

又G?u平面8CG4,所以AG_LGP,

所以SAAGP=gAC/GP=gx2x6=6,

=

所以%-ACp—-S^ACP=—x2xV3=2出■

/i|V|/3IZA/1|C|r3V3

16

c,

【點睛】

本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面體體積的

求法，屬于中檔題.

22W

21.橢圓C：=+與=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別是耳，F2,離心率為左，過耳

ab2

且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1,A,B為橢圓C上的兩點，。為坐標原

點，設直線OA,OB,AB的斜率分別為即A.

（1）求橢圓C的方程；

（2）當A#2—1=匕+%2時，求k的取值范圍.

【答案】（I）—+/=1：（2）1-72,-^^U—^,1+42.

4L4JI4J

【解析】

試題分析：（1）依題意有￡=且,竺■=1，結合儲=從+。2,解得。=2/=1,橢

a2a

圓方程為亍+/=1；（2）設點火）,直線AB的方程為丁=丘+力，聯

立宜線的方程和橢圓的方程，寫出根與系數關系.由仁+占=《七一1得

%2乂=乂必一工1工2，化簡上式得匕2=一1/+|/：+g,根據＜16女2一8攵-1〉0

-k2+2k+l>0

解得〃范圍.

試題解析：

（1）由于（?2=。2一62,e=—=—9:.a=2b

a2

又過耳且垂直于X軸的直線被橢圓C截得的線段長為1,所以將X=-C,y=g代入橢

22

圓方程上%=1（〃〉/?>0）,

y,

.??橢圓c的方程為：—+/=1

4-

(2)設點4(石，%),3(%2，%)，直線AB的方程為^=依+。

X2_.

V+＞，=1,消去y得（1+4公卜2+8%0X+402-4=0

Iy-kx+b

8kb4/-4

x,+x=---；—,x,x=―:——

12-4公+1J24P+1

X1%=]

由4+&=￡&_1得:即尤2,+王%=,必一玉工2

X]x2x]x2

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