2021年中衛市高考第三次模擬考試

理科數學

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第n卷第22、23題為選考題,

其他題為必考題.考生做答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結束后，將本

試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

i.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準考

證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非

選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5.做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號

涂黑.

第I卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要

求的，請將正確的答案涂到答題卡上）

1.集合4={x|x>0},B={-2,-1,0,2},則（。?4加3=（）

A.{0,2}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1}D.{2}

2.命題“若小+〃=o則a=0且8=0”的否定是（）

A.若4+〃工0,則awO且力。0B.若/+〃=0,則awO且力。0

C.若/+b2H0,則或力。0D,a2+b2=0,則或匕。（）

3.若向量麗=（5,6）,誣=（2,3）,則86=（）

A.（-3,-3）B.（7,9）C.（3,3）D.（-6,-10）

4.已知角。終邊經過點P（痣,a）,若。=一工，則。=（）

A.-V6B.邁C.V6D.-近

33

5.2022年起，我市將試行“3+1+2”的普通高考新模式，即語文、數學、外語3門必選科目外，考生再

從物理、歷史中選1門，從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目，為了幫助學生合理選科，某

中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制，繪制成雷達圖，甲同學的成績雷達圖如

圖所示，下面敘述一定不正確的是（）

甲冏學電處用均分

A.甲的物理成績領先年級平均分最多

B.甲有2個科目的成績低于年級平均分

C.甲的成績最好的前兩個科目是化學和地理

D.對甲而言，物理、化學、地理是比較理想的一種選科結果

百

6.已知水平放置的AMBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中9O'=C'O'=1,A'O'V

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

7.已知矩形A8CD的四個頂點的坐標分別是3（1,1）,C（l,0）,D（-l,0）,其中A,8兩點

在曲線y=f上，如圖所示.若將一枚骰子隨機放入矩形A8CD中，則骰子落入陰影區域的概率是()

DoCx

8.若函數/（x）=sin2x+cos2x,則下列結論正確的是（）

A.函數/（x）的最小正周期為2"

B.函數/（x）的圖象關于點對稱

C.函數/（x）在區間B引上是減函數

TT

D.函數/（X）的圖象關于直線X=,對稱

9.已知圓“過點A（l,l）、3（1,—2）、C（3,-2）,則圓“在點8處的切線方程為（）

A.2x+y=0B.3x+2y+l=0C.2x+3y+4=0D.%+2y+3=0

10.若正四面體ABC。的所有棱長均為血，則正四面體ABC。的（）

A.表面積為4百B.高為亞2D.內切球半徑為走

C.體積為一

336

11.設銳角33。的三內角A,B,。所對邊的邊分別為。，b,c,且。=2,B=2A,則匕的取值范

圍為（）

A.（272,273）B.（2>/2,4）C.（2,2@D.（0,4）

12.已知函數/（x）=xe*,g（x）=2xln（2x）,若,/■（%）=g（x2）=f,f>0,則--的最大值為（）

1「4〃1、2

A.-r-B.—rC.-D.一

eee

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知i為虛數單位，復數z=（2+尸川―出）為實數，則2=.

14.已知方程lgx=3-x的根在區間(2,3)上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區間應為

15.已知函數/(x)是定義域為R上的奇函數，且對任意xeR,都有"2—x)=/(x)成立，當1,1]

—0x

時，/(x)=a]+2、，則”；當xe[1,3]時，/(x)=.

22

16.已知橢圓C：]+方=1(6>0)與雙曲線Jf-y2=i共焦點，過橢圓。上一點p的切線/與x軸、

y軸分別交于A,8兩點(耳，居為橢圓。的兩個焦點)?又。為坐標原點，當△ABO的面積最小時,

下列說法所有正確的序號是.

①〃=1；②當點P在第一象限時坐標為幾，￥)；

③直線0P的斜率與切線/的斜率之積為定值--；

2

④的角平分線P“(點”在《居上)長為,.

三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知等比數列｛4｝的前〃項和為S,，一2s2，S3,4s4成等差數列，且氏+24+4=」-.

16

(1)求數列｛q｝的通項公式；

(2)若2=-(〃+2)盛同，求數列〈今的前九項和7；.

18.某班級以“評分的方式”鼓勵同學們以騎自行車或步行方式“綠色出行”，培養學生的環保意識十一

黃金周”期間，組織學生去A、3兩地游玩，由于目的地A近，8遠，特制定如下方案:

目的地A地目的地8地

綠色出行非綠色出行綠色出行非綠色出行

出行方式出行方式

3]_21

概率概率

4433

得分10得分10

若甲同學去A地玩，乙、丙同學去8地玩，選擇出行方式相互獨立.

(1)求恰有一名同學選擇“綠色出行”方式的概率；

(2)求三名同學總得分X的分布列及數學期望E(X).

19.在如圖所示的幾何體中，E4_L平面ABC。，四邊形ABCD為等腰梯形，AD//BC,AD=-BC,

2

4)=1,ZABC=60。，EFI/AC,EF=-AC.

2

B

(1)證明：AB±CF；

(2)當二面角6—石尸一D的余弦值為?時，求線段的長.

10

20.已知拋物線：丁=2川的焦點為-2,0),點P在拋物線上.

(1)求此拋物線的方程；

(2)若歸耳=5,求點P的坐標；

(3)過點T。,0)(7>0)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A、B、C、。四點，且點M、N分別

為線段48、的中點，求△77WN的面積的最小值.

21.已知函數/(x)=lnx—四二D,其中aeR.

x+1

(1)當a=2,x>l時，證明：/(%)>0；

(2)若函數/(x)=工型>0恒成立，求實數。的取值范圍；

X—1

(3)若函數E(x)=J更有兩個不同的零點花，x2,證明：-"一

x-1

選考題：(請考生在第22、23兩道題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.作答時請用2B鉛

筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑)

22.選修4一4：坐標系與參數方程

_x=3+sin0-2cos<p—

在直角坐標系x0y中，曲線G的參數方程為<(°為參數)，以坐標原點。為極點,

y=cose+2sino

X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為QCOS6+2=0.

(1)求曲線a的極坐標方程并判斷C，G的位置關系;

(2)設直線6=a1—5vavgpeRj分別與曲線G交于A,8兩點，與C?交于點P,若|A卻=3|。4|,

求的值.

23.選修4—5：不等式選講

設函數/(%)=|1-2乂一%+1］的最大值為例.

(1)求M；

(2)若正數。，力滿足4+4=Mab,請問：是否存在正數。，力，使得。6+/=。茄，并說明理由.

ab

2021年中衛市第三次模擬考試

理科數學試卷答案

一、選擇題：

1-5：BDCAC6-10：ABBCD11-12：AD

二、填空題：

321-1

13.-14.(2.5,3)15.1,—；—16.①④

2''2'_2+1

三、解答題：

17.解：(1)設等比數列｛q｝的公比為q,

由一2s2，S3,4s$成等差數列知，2s3=-2S2+4S「

所以2%=—%，即4=一；.

|231-1

又4+2〃3+%=—?所以%q+2%q~+%q——，所以q=----,

16162

所以等比數列｛4｝的通項公式。“=(一;).

h)i

(2)由(1)知a=-(〃+2)k)g；1=n(n+2),

所以-!-=—[—=-|-一一—所以數列的前〃項和

hn〃(〃+2)2\n〃+2j也

71W11W1n(11wi1Y

T=1+++???++

n2I3；(24；135)1〃一1n+\J(〃〃+2)

1+—132〃+3

~22n+1n+242(九+1)(〃+2)

所以數列,32n+3

,的前〃項和7；

42(〃+1)(〃+2)

18.解：(1)恰有一名同學選擇綠色出行方式的概率

P=：

(2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,根據事件的獨立性和互斥性得:

P(X=0)=-xlxl=—；尸(X=l)=3xk1+，xC；x2xl=Z

43336433423336

3,2112|尸(X=3)=，2X2=L

P(X=2)=—xCix—x—+—x

42334(3194333

故X的分布列為:

X0123

174\

p

363693

174125

所以EX=0x—+lx—+2x—+3x-=—.

36369312

19.解：(1)由題知E4J_平面ABCD,84<Z平面45。,

BAA.AE.

過點A作AH_LBC于"點，在用ZVIBH中，ZABH=60°,BH,得AB=1,

2

在AABC中，AC2^AB2+BC2-2ABBCcos600=3,

：.AB2+AC=BC2,.-.ABrACHACnEA^A,

AB_L平面ACfE,又平面ACEE,

(2)以A為坐標原點，AB,AC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

設AE=a(a>0),則80,0,0),E(0,0,a),電,正aJ10大

I222

/IJ

1_

BE=(—I,O,a),BF,DE,DF=

2)

n-BE=-x-\-az=Q

設3=(%,y,z)為平面BEF的一個法向量，則《______G

n-BF=-元+y+az=0

令x=a得〃=(a,0,1),

同理可求得平面DEF的一個法向量〃?=(2a,0,—1),

2a2-1V10

+1)J4a2+1IF

化簡得4a4—5/+i=o,解得。=1或。=!，

2

?..二面角8—所一。為銳二面角，經驗證a=」舍去，...a=l.

2

作于M點，則"為AC中點，

CF=y/FM2+CM2=—.

2

20.解：(1)拋物線：/=2內的焦點為尸(2,0),可得］=2,即p=4,

所以拋物線的方程為y2=8x；

(2)由拋物線：/=8尢的焦點/(2,0),準線方程為％=-2,

可得1PH=Xp+2=5,所以巧,=3,yp=±246,

即有P(3,2伺或(3,-2何；

(3)由題意可得直線AB,8的斜率存在，且不為0,可設AB的斜率為％,

則直線CD的斜率為—,，直線AB的方程為y=k\x-t),

k

直線CD的方程為y=—，(%—/),

k

設A&,y),B(z，%)，

-’)可得k2x2—2(公t+4)x+女2產=o,

由<

888

可得%—2tH——,所以y+%=Z%+w)—2kt—2kt---2kt——

則力建，

將M中的攵換為―〉，可得N(f+4%2,一U),

+k2,

『+(4)2=4\k\y/l+k2,

于是心的=勺研四=8四1、

+w22出.“6,

當且僅當左=±1時，上式取得等號.

所以△力MN的面積的最小值為16.

21.解：(1)當。=2時，f(x)=Inx-—―

x+l

、12(x+l)-2(x-l)(X+1)2-4X(X-1)2

f(x)=-------------a----=---------=------7

x((Xx4+-1l)~2x(x+l)~x(x+l)2

當x>l時，/(x)>0,所以/(x)在(1,+8)上為單調遞增函數,

因為/(1)=0,所以/(x)>/(l)=O.

/八NWr\1a(x—l)[cn、廠+2(1一。)x+l

(2)函數/(x)=lnx--------，則f(x)=----------；----

x+Ix(x+l)

令g(x)=Y+2(1-d)x+1,

當a<0時，又x>0,則g(x)>0,f'(x)>0,

當0VaW2時，△=4/一8440,得g(x)20,/'(x)>0,

所以當a?2時，/(x)在(0,+o。)上為單調遞增函數，且/(1)=0,

所以有」一/(x)>0,可得尸(x)>0.

x-1

當a>2時，有A=4/—8。>0,

此時g(x)有兩個零點,設為％,t2,且4<，2.

又因為4+J=>0,=1,

所以0<f1<1<，2，

在04)上，/(X)為單調遞減函數，

所以此時有/(x)<0,即lnx<6±D,得電土-——<0,此時F(x)>0不恒成立,

x+1x-1X+1

綜上aW2.

(3)若尸(x)有兩個不同的零點罰，/，不妨設玉<々，

則X],為了(幻=111%—^^―9的兩個零點，且引力1,X2*1,

X+1

由(2)知此時a>2,并且/(x)在(0/),為單調遞增函數，

在右)上為單調遞減函數，且/(1)=0，

所以/(幻>0,/&)<0，

因為["")=一總<。，Me")=芻>°,

且/(X)圖象連續不斷，

所以百￡(6一"，4),%2,所以J—4〈9一丹v-'—e"，

因為G—4=L=2。cT—2a,

綜上得：2,/-2av/-