卷02(山東卷數學)-2021屆高考數學沖刺模擬測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4=3丁=111(%-1)},B=-4<o|,則AB=()

A.{x|x>-2}B.{x[l<x<2}C.{x|l<x<2}D.{x\-2<x<2\

【答案】D

【分析】

化簡集合AB.再根據交集的概念進行運算可得.

【詳解】

因為函數y=ln(x-l)的值域為R所以A=R.

又集合3=[-2,2],所以Ac8=8=[—2,2].

故選:D

【點睛】

本題考查了交集的運算，函數的值域，解一元二次不等式，屬于基礎題.

2.設復數z=(2+i)(3-2i),則復數z在復平面內對應的點的坐標為()

A.(4,1)B.(8,1)C.(4,-1)D.(8,-1)

【答案】D

【分析】

由復數的乘法化簡得到z=8-1,然后利用復數的幾何意義求解.

【詳解】

因為z=(2+i)(3—2i)=8—i,

使用復數Z在復平面內對應的點的坐標為(8,-1).

故選:D

【點睛】

本題主要考查復數的運算以及復數的幾何意義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

3.已知函數/(x)=a*(0<a<1),記加=/(log35),〃=/H,

\7

P=/110g2；,則夕的大小關系為()

A.m>n>pgn>m>pc.p>n>m□p>m>n

【答案】c

【分析】

先得出log35>l,llj\!，log2-=-l,再由函數f(x)的單調性可得選項.

【詳解】

20[

因為log35>l,QV=1，log2g=log22T=T，所以Iog35〉(g,>log2g，

又〃x)=",0<a<l,所以/(x)=a”單調遞減，所以機,

故選：C.

【點睛】

本題考查指數式，對數式比較大小，以及由函數的單調性比較大小，屬于中檔題.

2-)

4.若雙曲線Iy1(。>0">0)的一條漸近線過點(1,2),則其離心率為()

a

A.3C-TD.y/3

2

【答案】B

【分析】

b

根據雙曲線漸近線y=一尤過(1,2)得到。、匕的數量關系,結合雙曲線各參數的關系及

a

離心率e=￡求也

【詳解】

b

由雙曲線公式，其漸近線為y=±-x

a

h

...由a〉0,b>0知:過點(1,2)的漸近線為y=-xE[J-=2

aa

aa

故選：B

【點睛】

本題考查了雙曲線，結合雙曲線的幾何性質及各參數的關系求離心率

5.在某拍賣會上成交的唐代著名風鳥花棄紋浮雕銀杯如圖①，銀杯由杯托和盛酒容器

兩部分組成，盛酒容器可近似地看成由圓柱和一個半球組成，盛酒容器的主視圖如圖

2.若AB=6,AC=3,則該容器的容積(不考慮材料的厚度)為()

A.45萬B.50萬C.60萬D.63萬

【答案】A

【分析】

由圖可知：幾何體是由一個圓柱和一個半球組成的，然后分別利用柱體和球體體積公式

求解.

3

【詳解】

由題知：半球的半徑R=3,圓柱的高力=3,

,14,

則容器的容枳V=V小+丫,^7rR--h+-x-兀8=45萬

故選：A

【點睛】

本題考查以傳統文化為背景的三視圖還原幾何體及圓柱和球的體積計算，屬于基礎題.

6.（1+力2（尤+，+2）的展開式中/的系數為（）

A.56B.64C.112D.120

【答案】D

【分析】

首先將式了?化簡，再利用二項式定理的通項公式即可求解.

【詳解】

(1+X)2(X+2+2)=(1+X)2X~+2X+1

(X+1)2T_(.X+1)10

(l+x『XX4

故要求原展開式中的系數就要求（x+l）°展開式中的系數,

利用二項式定理可得（x+『°的通項為空+1=C；o，°f,

則瑪=小丁=Wx3=120d,

故選：D.

【點睛】

4

本題考查二項式定理中展開式指定項的系數，需熟記二項式定理展開式，屬于基礎題.

7171]

7.函數y=lncosx-5<%<弓|的圖象是（）

IN乙）

【答案】A

【詳解】

試題分析：由偶函數排除B、D,?.?O<c。sxML-NMO,二排除C.故選A.

考點：函數的圖象與性質.

'2|/A|jy|J7?yC_1]

8.已知函數/*)=一'若函數g(x)=/(x)+l有三個零點，則實數相

log2(x+l),x>-l.

的取值范圍是()

A.(2,3)B.(2,3]C.[2,3)D.[2,3]

【答案】C

【分析】

根據函數g(x)=/(x)+l有三個零點，轉化為函數丁=f(x)的圖象與宜線y=-l有三

個交點，在同一坐標系中，作出直線y=—i及函數f(x)={的圖象,

log2(jf+l),x>-I

利用數形結合求解.

【詳解】

5

因為函數g(x)=/(X)+1有三個零點，

所以/(X)=-1有三個不相同的實數根，

即函數y=/(x)的圖象與直線丁=-1有三個交點.

_x2+4x+m,x,,-1,

作出直線丁=-1及函數/(x)={的圖象如圖所示

log2(x+l),x>-1

解得2〈m<3,所以me[2,3).

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數與方程的應用，還考查了數形結合的思想和轉化求解問題的能力，屬

于中檔題.

二、選擇題：本小題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.已知根，〃是兩條不重合的直線，a,§,/是三個兩兩不重合的平面，則下列命

題正確的是()

A.若機_La,n±/3,allp,則加〃〃B.若&_17,。工y,則a〃/?

C.若機〃/，n//p,佻nua,則a〃尸D.若〃ua,nl./3,則

【答案】AD

【分析】

6

A利用線面垂直的性質判斷；B利用面面關系來判斷；C利用面面平行的判定定理來判

斷；D利用面面垂直的判定定理來判斷.

【詳解】

解：對A：若m_La,allp,則加_1_/，乂〃_!_，，所以加〃〃，故正確;

對13：若a'y,夕，7,則a與4可能平行，也可能相交，故錯誤；

對C：若加//2，n//p,八〃ua,由于沒有強調加與場相交，故不能推出a〃月，故

錯誤；

對D：若〃ua,〃，尸，根據面面垂直的判定定理，可得故正確.

故選：AD.

【點睛】

本題考查線面面面平行與垂直的判定和性質，是基礎題.

10.居民消費價格指數，簡稱CP/,是一個反映居民消費價格水平變動情況的宏觀經濟

當年的居民消費價格

指標.某年的C/7X100,以下是2009-2018年居民消費

上一年的居民消費價格

價格指數的柱形圖.

?CP!

105.62

104.32

103.02

10L72

KA.4l2lIlhiiiL

99.12

7射裨34/3#/圖

從圖中可知下列說法正確的是（）

A.2010-2018年居民消費價格總體呈增長趨勢

B.這十年中有些年份居民消費價格增長率超過3%

C.2009年的居民消費價格出現負增長

7

D.2011年的居民消費價格最高

【答案】ABC

【分析】

根據CP/的定義以及柱形圖，對四個選項逐個分析可得答案.

【詳解】

由柱形圖可知，2010-2018年的CP/均大于100,說明其中每年的居民消費價格都

大于前一年的居民消費價格，所以2010-2018年居民消費價格總體呈增長趨勢是正確

的.故A正確：

2009年的CP/的值小于100,說明當年的居民消費價格低于2008年的居民消費價格,

所以2009年的居民消費價格出現負增長是正確的，故C正確；

由柱形圖可知，2010年的居民消費價格的增長率為3.02%,2011年的居民消費價格的

增長率為5.62%,都超過了3%,故B正確；

由柱形圖可知，2011年的居民消費價格的增長率最高，從2010-2018年每年的居民消

費價格都在增長，所以2018年的居民消費價格才是最高的，故。不正確.

故選：ABC

【點睛】

本題考查了對柱形圖的理解和應用，屬于基礎題.

11.在某次高中學科知識競賽中，對4000名考生的參賽成績進行統計，可得到如圖所

示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],60分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區間中間值作代表

值，則下列說法中正確的是()

8

A.成績在［70,80)的考生人數最多B.不及格的考生人數為1000

C.考生競賽成績的平均分約為70.5分D.考生競賽成績的中位數為75分

【答案】ABC

【分析】

因為成績出現在［70,80］的頻率最大，故4正確；不及格考生數為10x(0.010+0.015)

X4000-1000,故8正確；根據頻率分布直方圖估計考試的平均分為70.5,C正確；估

計中位數為71.67,。錯誤.

【詳解】

由頻率分布直方圖可得，成績在［70,80)的頻率最高，因此考生人數最多，故A正確;

成績在［40,60)的頻率為0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人數為

4000x0.25=1000,故B正確;

考生競賽成績的平均分約為

45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正確；

因為成績在［40,70)的頻率為0.45,在［70,80)的頻率為0.3,

所以中位數為7()+l()x峭B71.67,故D錯誤.

0.3

故選ABC.

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖，以及用頻率分布直方圖估計樣本的平均數與中位數等，考

9

查計算能力.屬于基礎題.

12.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：1,1,

2,3,5,8,…，該數列的特點是：前兩個數均為1,從第三個數起，每一個數都等于

它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列｛力｝稱為斐波那契數列.并將數列

｛4｝中的各項除以4所得余數按原順序構成的數列記為｛gj,則下列結論正確的是

()

A，g2OI9=2

B.(%分H%y+(上%H以)2=0

c.g,+,g2+<?3++8如9=2688

D.+#++fm19=2力O]81AO2O

【答案】AB

【分析】

由力+2=力+二力可得力+；=￡衿(力+2—力,)=￡M〃2—￡-/，可判斷B、D選項；

先計算數列｛5,｝前幾項可發現規律，使用歸納法得出結論：數列｛5,｝是以6為最小正

周期的數列，可判斷A、C選項.

【詳解】

對于A選項：

g|=Lg2=1送3=2,g4=3,g5=l，g6=Qg7=1送8=1，§9=g|0='g"=l，g|2=°

，，

所以數列｛gj是以6為最小正周期的數列，乂2019=6x336+3,所以82。19=2,故

A選項正確；

對于C選項：gi+gz+g3++82()19=336x(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2692,故

10

C選項錯誤;

對于B選項：斐波那契數列總有：fll+2=fll+l+f^

所以(62)=人2(人3—人1)=人2人3—人2月I，(以)—Al(fl2-^20)~flifzi~,

所以(以以3)一(%)2+(%%)一"J'。，故B正確；

對「D選項：f\~fl'fn+2—fn+l+fn,(71)=f\fl,fz~fz~f\)=flfh~~flf\)

/2=力（力一力）=力力一力力,

./?+|2—fn+\{fn+2~fn)~.fn+ifn+2~fn+]fn°

所以工2+6+G++Zo>9

=4人+（人力一工人）+（人力一人力）++(^018^2019—y2018^2017)+(72019^2020—/2OI9/2OI8)

=力019為0201故D選項錯誤；

故選：AB.

【點睛】

本題考查數列的新定義，關鍵在于運用數列的定義研究其性質用于判斷選項，常常采用

求前幾項的值，運用歸納法找到規律，屬于難度題.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

Inx,尤〉0

13.若函數/（x）=門丫八，則//一=.

【答案】2

【分析】

根據分段函數解析式，由內而外逐步代入，可得/的值

11

【詳解】

0=嶺=-1

/陽:/SHA

故答案為：2

【點睛】

本題考查分段函數求函數值，屬于簡單題.

(7t\3rn\,,八3)

14.已知cos|a+—|=-,ae0,—,則6)m2a——7t-

I5；5k2j15J

【答案】一算

【分析】

利用同角三角函數的基本關系以及誘導公式、二倍角公式即可求解.

【詳解】

(萬、3仆乃、

15)512)

式(兀n.(乃)4

則aH—G—,—，且sinct-\—=—,

5(510)(5)5

(3、\(2、一(2、

所以5皿120—1乃=sin一萬=-sin2a+—zr

I5

_.(7t\(7ry,4324

=-2sina+—cosa+—=-2x—x—=

I5jI5；55-"25'

24

故答案為：-777

25

【點睛】

12

本題考查了同角三角函數的基本關系、誘導公式、二倍角的正弦公式，需熟記公式，屬

于基礎題.

15.已知定義在（7,物）的偶函數/（X）在［0,+8）單調遞減，=若

則％取值范圍________.

【答案】OKxKl

【分析】

根據題總（一1）,可得|2%—1區1,由此能求出x取值范圍.

【詳解】

在（Y0,+00）的偶函數“X）在［0,小）單調遞減，=

則由/（2尤_1）2_；,得即

所以—142x—解得04x41.

故答案為：0〈尤VI

【點睛】

本題考查了利用函數的奇偶性、單調性解不等式，考查了基本運算能力，屬于基礎題.

16.已知a,e2是平面上不共線的兩個向量，向量b與G，02共面，若|ej=1,|卜2,

,與02的夾角為。，且力q=l,b-e2-2,則什=.

【答案】亟

3

【分析】

設。=泥1+）^，由已知力q=l，力02=2可得x+y=l,x+4y=2,從而可求出

13

【詳解】

解:設.=旄］+g，因為6與02的夾角為§，所以“?二同匕21cos耳=1,

則

b-et=(XC[+ye2)?q=x\e^+yex-e2=x+y={,

22]

解得一,

t>-e2=(xet+ye2)-e2=y^e2\'+xe,-e2=x+4y=2,x=—,y=

(444273

--1--+—=

999

故答案為：2叵.

3

【點睛】

本題考查了向量的數量積運算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本題

的難點是用已知q,e2表示b.

四、解答題：本題共6小題，共70分。其中17題10分，18-22題12分。解答應寫出

文字說明、證明過程或演算步驟。

9

17.在①/+。5=5,S4=7；②4S“=〃2+3〃；③5邑=1452，%是生與彳的等

比中項，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.

已知5?為等差數列｛%｝的前〃項和，若.

（1）求；

1

（2）記勿,求數列｛2｝的前〃項和T..

n4-1472

【答案】⑴“丁⑵片打

14

【分析】

4x3

（1）若選擇條件①，由生+色=5得出2a,+6d=5,根據S4=7得出4q+—廣1=7，

最后兩式聯立，即可得出結果；若選擇條件②，可根據4=得出結果；若選

9

擇條件③，由554=14星得出5x（44+6d）=14（2q+d）,根據%是生與'的等比

29

中項得出（q+4d）=］（q+2d）,然后兩式聯立，通過計算即可得出結果；

（2）本題首先可根據q=空得出a=2（丁=-二二］,然后通過裂項相消法求

212〃+12n+37

和即可得出結果.

【詳解】

（1）選擇條件①：設等差數列｛為｝的公差為d，

2al+6d=5q=1

,ml,i

則〈)4x3」個

4a.+-----d=7a--

122

選擇條件②：4s“="+3〃,

當“220■寸，4%=4S“—4S“_]=〃2+3”-[(〃-1)2+3(〃T)]=2〃+2,

〃+1

即??=-(?>2),

當〃=1時，a.=S.=+■=1,也適合上式,

1'4

IZn+\

故4=丁

5x(4q+6d)=14(26+d)

選擇條件③：設等差數列｛4｝的公差為d,則＜(q+4d『=2(q+2d)

-2

15

解得4=1、d或4=0、4=0（不合題意），故

（2）因為““=

所以々

2n+l2〃+3

?2?1?2?+2(2〃+1)(2〃+3)

故4=4+力2+?2

21------------1-------------1-***H-------------------------------

(35572n+l2〃+3

\32n+3J6〃+9

【點睛】

本題考查數列通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查等差數列通項公式以及等差數

列前〃項和公式的靈活應用，考查等比中項公式以及數列的項與其前n項和之間的關系,

考查計算能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

18.在A3C中，角A、B、C的對邊分別為。、匕、。，且

（2b-c）（b2-a2+c2）=2abccosC.

（1）求角A的大小.

71

（2）若8=一，。為A3C外一點，80=2,CO=1,四邊形A8OC的面積是

3

*求

7Tf_'

【答案】（l）4=7；（2）a=75+2V3.

【分析】

22

（1）本題首先可以根據正弦定理以及余弦定理對（26-弓（〃-?+c）=2abecosC

進行化簡，得出2sinBcosA=sin5,再根據sinBw0以及Ae（0,乃）即可得出結果；

16

(2)首先可以結合題意繪出圖像，然后在BC。中根據余弦定理得出

BC2=5-4COS￡＞，再然后根據解三角形面積公式求出SA8c以及并根據四邊

形ABDC的面積是拽+2求出。=紅，最后將。=2代入BO?=5-4cos。，

466

即可得出結果.

【詳解】

(1)因為(2b-c)(〃-/+/)=2Q/?CCOSC,

g、i(2。一c)伍?+，一儲)

所以--------------------=acosC，

2bc

由余弦定理可得(?—c)cosA=acosC,

由正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,

因為/4+8+C=；r,

所以2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(C+A)=sinB,

因為sinBwO,所以cosA='

2

因為Ae(O,乃)，所以A=g.

(2)如圖，結合題意繪出圖像：

4

D

在BC。中，BD=2,CD=\,

2

由余弦定理得：BC=12+22-2X1X2COSD=5-4COSD.

17

TTTT

因為A=8=T，所以C=工，ABC為等邊三角形,

33

所以S/MBc=；x3C12xsiny=-V3COSD?

因為SABDC=—x5Dx￡)Cxsin￡)=sin￡)

2

苧+si但限3苧+22一訃苧+2,

所以S四邊形440c

71

所以sin（。一§）=1,

57r

因為。￡（0,乃），所以。=:，

6

故3c之=5-4cosD=5-4cos—=5+2^,BC=，5+2月,

6

即a=，5+26?

【點睛】

本題考查余弦定理解三角形、三角形面積公式以及正弦定理邊角互化，考查三角恒等變

換，考查的公式有sinCcosA+cosCsinA=sin（C+A）、S=gn匕sinC、

a2=62+c2—2〃ccosA等，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

19.某工廠為了提高生產效率，對生產設備進行了技術改造，為了對比技術改造后的效

果，采集了技術改造前后各20次連續正常運行的時間長度（單位：天）數據，整理如下:

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,

20,24,21

改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,

37,38,36

（1）完成下面的列聯表，并判斷能否有99%的把握認為技術改造前后的連續正常運行

時間有差異？

18

超過30不超過30

改造前

改造后

（2）工廠的生產設備的運行需要進行維護，工廠對生產設備的生產維護費用包括正常

維護費，保障維護費兩種.對生產設備設定維護周期為T天（即從開工運行到第kT天,

kGN*）進行維護.生產設備在一個生產周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨

立.在一個維護周期內，若生產設備能連續運行，則只產生一次正常維護費，而不會產

生保障維護費；若生產設備不能連續運行，則除產生一次正常維護費外，還產生保障維

護費.經測算，正常維護費為0.5萬元/次；保障維護費第一次為0.2萬元/周期，此

后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現制定生產設備一個生產周期（以120天計）

內的維護方案：T=30,k=l,2,3,4.以生產設備在技術改造后一個維護周期內能連

續正常運行的頻率作為概率，求一個生產周期內生產維護費的分布列及均值.

_n(ad-bc)2

(a+份(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）見解析，有99%的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異.（2）

見解析；均值為2.275萬元.

【分析】

（1）根據已知改造前后數據完成2x2列聯表，計算長2,查表與臨界值比較大小即可

確定；

（2）依題意可知，一個維護周期內，生產線需保障維護的概率為P=L,一個生產周期

4

內需保障維護的次數服從二項分布.計算出一個生產周期內的正常維護費和保障維護費

即可得出一個生產周期內的生產維護費，根據二項分布概率公式可求出分布列及期望.

19

【詳解】

解：(1)列聯表為:

超過30不超過30

改造前515

改造后155

240(5x5-15x15)2

K=------------------

20x20x20x20

.??有99%的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異.

(2)由題知，生產周期內有4個維護周期，一個維護周期為30天，一個維護周期內，

生產線需保障維護的概率為尸=!.

4

設一個生產周期內需保障維護的次數為則4~5(4,；)；一個生產周期內的正常維

護費為85x4=2萬元，保障維護費為02八丁+1)=(o.02+o田萬元.

???一個生產周期內需保障維護J次時的生產維護費為(0.1$+0.V+2)萬元.

設一個生產周期內的生產維護費為X,則X的所有可能取值為2,2.2,2.6,3.2,4.

唳=2)=1-；?=羲

尸(X=22)=4用:*

20

<1Vi

p(X=4)=-=——

'⑷256

所以，X的分布列為

X22.22.63.24

81272731

P

25664T2S64256

Q1“27”27.C3,1

.-.￡(X)=2x--+2.2x-----F2.6x------F3.2x-----F4x-----

2566412864256

162+237.6+14().4+38.4+4_582.4

=2.275

256256

.?.一個生產周期內生產維護費的均值為2.275萬兀.

【點睛】

本題考查獨立性檢驗的應用、二項分布及期望，屬于中檔題.

20.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面4BCQ為正方形，布_1_平面ABC。，PA=AB,

E為線段PB的中點，尸為線段8c上的動點.

（1）求證：AE_L平面PBC；

（2）試確定點F的位置，使平面AEF與平面PCO所成的銳二面角為30。.

【答案】（I）見解析（2）當點尸為8c中點時，平面AE尸與平面PCO所成的銳二面

角為30。

21

【分析】

(1)證明PA，BC.AB1BC,推出8C，平面PAB.得到AELBC.證明

AELPB,得到AE_L平面P8C.然后證明平面AEf_L平面P8C.

(2)分別以AB,AD,AP的方向為無軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間宜

角坐標系A-xyz,設正方形ABCD的邊長為2,求出為平面AEF的法向量，平面PCD

的法向量，利用空間向量的數量積求解即可.

【詳解】

解：(1)'：PAmABCD,BCu平面ABCD

：.PA1BC

'：ABCD為正方形."8JLBC

又PAHALA,PA,A8U平面PAB

.,.3CL平面BAB.'AEu平面PAB：.AE±BC

'：PA=AB,E為線段P8的中點

又PBCBC=B,PB,BCcz^FffiPBC.,.Afi5??PBC

(2)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A—QZ,

設正方形ABC。的邊長為2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,

0)P(0,0,2)￡(1,0,1)

ULUI

二AE=(1,0,1)，PC=(2,2,—2)，尸￡>=(0,2,—2)

22

設尸(2,A,0)(0<A<2),

???AT=(2,40)

n-AE-0

設平面AEF的?個法向量為n=(^,y,zj則<

n-AF=0

x.+z.=0X1=-2

：.,2%+肛=。令)『2,財

Z1=4

??n—(―42,Z)

m-PC=0

設平面PC。的一個法向量為/"=(X2，%，Z2)則'

mPD=Q

x+y-z=0

V222

.%-Z2=0

JQ—0

令)2=1,則，2_m=(0,1,1)

.Z2=1

?.?平面AE尸與平面尸CD所成的銳二面角為30。，

,胴〃|2+2|V3

cos30°=-H—-.—!==——，

〃山〃V2xV222+42

解得％=1,

...當點尸為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°

【點睛】

本題考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直的證明，二面角等基礎知識，

考查學生的邏輯推理能力，化歸與轉化能力和空間想象能力.考查的核心素養是直觀想

象、邏輯推理與數學運算.

21.已知函數/(x)=(3x-4)e*.

(I)求證：當x>0時，y=/(x)的圖象位于直線x+y+4=0上方;

23

(II)設函數〃(x)=/(x)+e*(x2—3x+5)-a,若曲線y=力。)在點M處的切線與

x軸平行，且在點的切線與直線0M平行(。為坐標原點)，求證:

1

【答案】(I)證明見解析；(11)證明見解析.

【分析】

(I)轉化為當x〉0時，e*(3x—4)+x+4>0恒成立，令g(x)=e'(3x-4)+x+4,

求得g'(x)和(g'(x)J，結合函數的單調性，求得g'(x)>0,進入得到g(x)>o，即

可得到結論.

(n)設/(%0，%),由“(%)=0,解得/=一1,得到例(一1,/一a),所以

II

k.“=a-3,進而得到要證-2j—l，轉化為r+lWd，構造新函數

尸(x)=e*—1—x,求得函數的單調性與最值，即可求解.

【詳解】

(I)由題意，當x>0,y=/(x)的圖象位于直線x+y+4=0卜一方，

即證當x〉0時，e%3x—4)+x+4>0恒成立，

令g(x)=e,r(3x—4)+x+4,可得g'(x)=e*(3x—l)+l,則(g'僅))w6x%0>，

所以g'(x)在(0,+")上單調遞增，

所以g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)在(0,+e)上單調遞增，所以g(x)>g(O)=O,

所以當x>0時，/(x)的圖象始終在直線x+y+4=0匕方.

(II)因為=f(x)+e、(x2-3%+5)—。=/(『+1)-a,則"6)w*(+1)2,

24

設則〃'(x(J=e?(x()+l)2=0,所以$=-1,

所以M1-1,2-q),所以％oM=a-2，所以〃'(f)=e'(f+l)2=a-2.

要證即證(f+l)34a—即證(￡+1)3Wd?+1)2,即證r+iwd，

下面證明e-X+1.令/(x)="—l-x,.?.尸(x)=e'-l,

所以當x〉0,尸'(》)>0,尤<0,F(x)<0,

所以尸(x)在(—,0)單調遞減，在(0,+8