試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年普通高等學校招生全國統一考試名師押題信息卷（5）數學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設全集集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函數的定義域即可確定，進而可求解.【詳解】由解得，因為，所以，所以，故．故選:B．2．已知i是虛數單位，復數在復平面內對應的點為P，Q，若（O為坐標原點），則實數（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根據已知得出，，根據向量垂直的坐標運算得出答案.【詳解】復數，則，，則，，，，解得，故選：D.3．已知函數的圖象在處的切線與直線垂直，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義及兩直線垂直的斜率關系即可求出的值．【詳解】由，得，因為函數的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故選：A．4．如圖所示，一個球內接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.【詳解】因為圓臺外接球的表面積，所以球的半徑，設圓臺的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點，連接，如圖，因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺體積.故選：D.5．已知橢圓的焦點為、，直線與橢圓相交于、兩點，當三角形為直角三角形時，橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根據直角三角形的幾何性質可得出，可得出關于、的齊次等式，可得出關于的二次方程，結合可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】將代入橢圓方程的方程得，可得，則，由對稱性可知，當三角形為直角三角形時，則該三角形為等腰直角三角形，因為為線段的中點，則，可得，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得.故選：B.6．設，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數函數的性質即得.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：C.7．希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出點的軌跡方程，再結合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，從而可得出答案.【詳解】設，則，化簡整理得，所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點，準線方程為，則，當且僅當（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，所以的最小值為.故選：D.8．已知、，且，對任意均有，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】推導出與符號相同，構造函數，然后對四個選項中的條件逐一驗證，即可得出合適的選項.【詳解】，故與的符號相同，當時，；當時，.所以，與的符號相同.，令，所以，當時，恒成立，令，可得，，.，分以下四種情況討論：對于A選項，當，時，則，當時，，不合乎題意，A選項錯誤；對于B選項，當，時，則，若，若、、均為正數，①若，則，當時，，不合乎題意；②若，則，當時，，不合乎題意.③若、、都不相等，記，則當時，，不合乎題意.由上可知，，當時，若使得恒成立，則，如下圖所示，所以，當，時，且，時，當時，恒成立；對于C選項，當，時，則，①若時，則當時，，不合乎題意；②當時，構造函數，其中，，函數在上單調遞增，則，.當時，由于，則，不合乎題意，C選項錯誤；對于D選項，當，時，則，此時、、為正數.①當、、都不相等時，記，當時，，不合乎題意；②若，則，當時，，不合乎題意；③當時，，當時，，不合乎題意.所以，D選項錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于以下兩點：（1）分析與同號；（2）對、、的大小關系進行討論，結合穿針引線法進行驗證.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．清華大學全面推進學生職業發展指導工作．通過專業化、精細化、信息化和國際化的就業工作，引導學生把個人職業生涯科學發展同國家社會需要緊密結合，鼓勵到祖國最需要的地方建功立業.2019年該校畢業生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人．學校總體充分就業，畢業生就業地域分布更趨均勻合理，實現畢業生就業率保持高位和就業質量穩步提升．根據下圖，下列說法正確的有（

）A．博士生有超過一半的畢業生選擇在北京就業B．畢業生總人數超半數選擇在北京以外的單位就業C．到四川省就業的碩士畢業生人數比到該省就業的博士畢業生人數多D．到浙江省就業的畢業生人數占畢業生總人數的12.8%【答案】ABC【分析】根據表中數據，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】由圖可知，博士生有52.1%選擇在北京就業，故A正確；本科生和碩士生人數多，留京比例低，估算可知B正確；到四川省就業的碩士畢業生人數約為，博士畢業生人數約為，故C正確；浙江就業人數有人，因此占總人數比例為，所以不能用本科生、碩士生、博士生畢業人數相加的方法計算，故D錯誤．故選：ABC10．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．在區間上單調遞增C．將函數圖象上各點橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象D．函數的零點個數為7【答案】ABD【分析】根據給定的函數圖象，結合五點法作答求出函數的解析式，再分析判斷ABC；換元并構造函數，利用導數結合圖形判斷D作答.【詳解】觀察圖象知，函數的周期，則，而，即有，由知，，因此，A正確；顯然，當時，，因此單調遞增，B正確；將圖象上各點橫坐標變為原來的得，再將所得圖象向右平移個單位長度，得，而，C錯誤；由，得，令，則，令，顯然當時，，即恒有，函數在上無零點，當時，，令，，函數在上都遞減，即有在上遞減，，，因此存在，，當時，，當時，，有在上遞增，在遞減，，，于是存在，，當時，，當時，，則函數在上遞減，在遞增，，，從而函數在上存在唯一零點，而函數周期為，在上單調遞增，如圖，，，，從而函數在上各有一個零點，又0是的零點，即函數在定義域上共有7個零點，所以函數的零點個數為7，D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：函數零點個數判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數或者將函數變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.11．如圖，有一列曲線，，，，，且是邊長為6的等邊三角形，是對進行如下操作而得到：將曲線的每條邊進行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊長為，周長為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在中 D．在中【答案】ACD【分析】根據給定條件，利用觀察歸納法、結合等比數列知識計算判斷AB；根據點的位置，結合向量數量積運算律計算判斷CD作答.【詳解】依題意,將曲線的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，曲線的邊長為，數列是首項為6，公比為的等比數列，，A正確；封閉曲線的周長為，則數列是首項為，公比為的等比數列，于是，則，B錯誤；如圖，，，由對稱性可得，有，則，于是，又，，，，，則，C正確；顯然點在線段上，，，，則，D正確.故選：ACD12．已知函數，則（

）A．曲線在點處的切線方程為B．函數的極小值為C．當時，僅有一個整數解D．當時，僅有一個整數解【答案】AC【分析】選項，利用導數的幾何意義求解；選項，利用導數判斷函數單調性求極值即可；選項僅有一個整數解可以轉化為函數在直線下方的橫坐標為整數的點只有一個，畫出的圖象，利用數形結合即可解決.【詳解】對于選項，，則切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，故A正確；對于選項B，在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，有極小值，即，故不正確；對于選項C，由于在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，有最小值，即，當時，，則函數圖象在軸下方，當時，，則函數存在一個零點，故的圖象如下圖所示，函數在直線下方的橫坐標為整數的點只有一個，點，，其中，則,即，故正確,不正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，則在方向上的投影是_____．【答案】3【分析】求出，以及，再利用向量投影的公式即可得到答案．【詳解】由題可得：，；∴在方向上的投影是：．故答案為3．【點睛】本題考查向量投影的定義以及計算，熟練掌握向量投影的公式是關鍵，屬于基礎題．14．國家發展改革委為貫徹落實《長三角一體化發展規劃“十四五”實施方案》有關部署，制定滬蘇浙城市結對合作一對一幫扶皖北城市工作計劃，幫扶城市（區）包括上海市個區，江蘇省個市、浙江省個市，受幫扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜陽市、淮南市、滁州市、六安市共個市，則幫扶方案中上海市個區沒有被安排幫扶蚌埠市、阜陽市、滁州市的方法種數為______.（用數字作答）【答案】【分析】先分析上海市個區的受幫扶的對象，然后再安排其他城市的幫扶方案，利用分步乘法計數原理可得結果.【詳解】由題可知，上海市個區的受幫扶對象有個，不同的安排方法種數為，然后安排其他城市的幫扶方案，不同的安排方法種數為，所以幫扶方案中上海市個區沒有被安排幫扶蚌埠市、阜陽市、滁州市的方法種數為.故答案為：.15．在平面直角坐標系中，已知圓，，直線與圓相切，與圓相交于，兩點，分別以點，為切點作圓的切線，設直線，的交點為，則的最大值為__________．【答案】/【分析】設，，由相切關系，建立點A，B坐標所滿足的方程，即弦所在直線的方程，由直線與圓相切，得，求出m的最大值.【詳解】設點，，，，因為分別以點A，B為切點作圓的切線，．設直線，的交點為，所以，則，即，所以，因為，所以，即是方程的解，所以點在直線上，同理可得在直線上，所以弦所在直線的方程為，因為直線與圓相切，所以，解得，得，即的最大值為．故答案為：3.516．若函數與的圖像有兩個不同的公共點，則a的取值范圍為____________.【答案】【分析】令,根據題意在有兩個零點，求導借助導數研究單調性分析得，的極小值，其中，進而轉化為能成立問題，借助基本不等式求解即可.【詳解】令，函數與的圖像有兩個不同的公共點，等價于在有兩個零點，，令，則，令，，易得恒成立，故在單調遞增，易得，故存在，使得，即，即，當時，，等價于，則在上單調遞減，當時，，等價于，則在上單調遞減，故為極小值，因為在有兩個零點，則，即，因為，則，則，即，解得故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數列的前項和為，，當時，．(1)求(2)設，求數列的前項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關系及等差數列的定義，結合等差數列的通項公式即可求解；（2）利用（1）的結論及數列求和中的錯位相減法即可求解.【詳解】（1）當時，，所以，，整理得：，即．當時，，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，即．（2）由知，所以，所以，所以，由得，，所以.18．中，角的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)【分析】（1）選①②時，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求得答案；選③時，龍三角形面積公式結合余弦定理即可求得答案；（2）方法一：利用三角恒等變換化簡為只含有一個三角函數的形式，結合正弦函數性質，即可得答案；方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理邊化角，可得，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）選擇①由正弦定理可得，，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，即；選擇②，則，由正弦定理得，因為，所以，即，因為，所以，所以，即；選擇③由，可得，即，所以，由于，故.（2）方法一：因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為方法二：由余弦定理，，再由正弦定理，，因為，所以，即，當且僅當時“=”成立.又因為，，所以，即的取值范圍為.19．冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側）有一個發球區，運動員在發球區邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區圓心O的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環A中，得2分，冰壺的重心落在圓環B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲、乙兩人所得分數相同的概率；(2)設甲、乙兩人所得的分數之和為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由兩人同時得0分、1分、2分、3分計算概率并相加即可；（2）由題意X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，分別計算出概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，所以甲、乙兩人所得分數相同的概率為．（2）X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，則，，，，，，，所以，隨機變量X的分布列為：X0123456P所以．20．如圖，在三棱錐中，已知，是的中點.(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三線合一得到線線垂直，進而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值，進而得到正弦值.【詳解】（1）因為，是的中點，所以，因為，是的中點，所以，因為，，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）設，因為，所以，又，所以，所以.如圖，以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的法向量為，則即令，可得，，所以平面的一個法向量為.易知平面，所以平面的一個法向量為，所以，因為，所以平面與平面夾角的正弦值為.21．已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若△為等邊三角形，且點在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設橢圓E的左、右頂點分別為，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線與y軸的交點分別為M、N，若，證明：直線過定點，并求該定