化工過程系統穩態

模擬與分析

化工過程系統的穩態模擬與分析，就是對化工工藝流程系統進行穩態模擬與分析。模擬是對過程系統模型的求解。通過這種求解可以解決下述的三類問題：①過程系統的模擬分析②過程系統設計③過程系統參數優化①過程系統的模擬分析

對某個給定的過程系統模型進行模擬求解，可得出該系統的全部狀態變數，從而可以對該過程系統進行工況分析，如圖所示能量流、反應程度、幾何尺寸等②過程系統設計

當對某個或某些系統變數提出設計規定要求時，通過調整某些決策變數使模擬結果滿足設計規定要求，如圖2－2所示③過程系統參數優化

過程系統模型與最優化模型聯解得到一組使工況目標函數最佳的決策變數（優化變數），從而實施最佳工況，如圖所示。①過程系統的模擬分析

②過程系統設計

③過程系統參數優化比較上面三類問題可以看出，針對所要解決問題的不同，其求解的複雜程度也不同。設計問題比模擬分析問題增加了一層選代，因而求解起來要複雜一些。而最優化問題不僅增加了迴圈迭代，而且還增加了目標函數模型和最優化模型，以致求解過程更加複雜。2.1過程系統模擬的三種基本方法過程系統模擬往往非常複雜，手工計算是難以勝任的。電腦的發展，為過程系統的整體研究提供了技術手段。各種類型的過程系統模擬軟體如雨後春筍不斷出現。但就其模擬計算求解方法而言，可以歸納為三類：①序貫模組法（SequentialModularMethod）；②面向方程法（EquationOrientedMetdod）；③聯立模組法（SimultaneouslyModularMethod）。2.1.1過程系統模擬的序貫模組法序貫模組法是開發最早、應用最廣的過程系統模擬方法。這種方法的基本部分是模組（副程式），是一些用以描述物性、單元操作以及系統其他功能的模組。序貫模組法優點：與實際過程的直觀聯繫強；模擬系統軟體的建立、維護和擴充都很方便，易於通用化；計算出錯時易於診斷出錯位置。缺點：是計算效率較低，尤其是解決設計和優化問題時計算效率更低。仍不失為一種優秀的方法。在處理過程設計和優化問題時，由於其迴圈迭代嵌套甚至可高達五層以至其求解效率就太低。2.1.2過程系統模擬的面向方程法面向方程法又稱聯立方程法，是將描述整個過程系統的數學方程式聯立求解，從而得出模擬計算結果。面向方程法可以根據問題的要求靈活地確定輸入、輸出變數，而不受實際物流和流程結構的影響。面向方程法就好像把圖2-4中的迴圈圈1～4合併成為一個迴圈圈,這種合併意味著其中所有的方程同時計算和同步收斂。因此，面向方程法解算過程系統模型快速有效，對設計、優化問題靈活方便，效率較高。面向方程法一直被認為是求解過程系統的理想方法，但由於在實踐上存在的一些問題而沒被廣泛採用。難點：形成通用軟體比較困難；不能利用現有大量豐富的單元模組；缺乏與實際流程的直觀聯繫；計算失敗之後難於診斷錯誤所在；對初值的要求比較苛刻；計算技術難度較大等。但是由於其具有顯著優勢，這種方法一直備受人們的青睞。2.1.3過程系統模擬的聯立模組法

聯立模組法最早是由Rosen提出的。這種方法將過程系統的近似模型方程與單元模組交替求解。聯立模組法又被稱作雙層法。聯立模組法的思路如圖2-6所示。該法在每次選代過程中都要求解過程的簡化方程，以產生的新的猜值作為嚴格模型單元模組的輸入。通過嚴格模型的計算產生簡化模型的可調參數。聯立模組法兼有序貫模組法和面向方程法的優點。這種方法既能使用序貫模組法積累的大量模組，又能將最費計算時間的流程收斂和設計約束收斂等迭代迴圈合併處理（如圖2-7），通過聯立求解達到同時收斂。

2.2過程系統模擬的序貫模組法2.2.1序貫模組法的基本原理序貫模組法的基礎是單元模組（副程式），通常單元模組與過程單元是一一對應的。單元模組是依據相應過程單元的數學模型和求解演算法編制而成的副程式。如圖中的閃蒸單元，可依據閃蒸單元模型和演算法編制成閃蒸單元模組。單元模組具有單向性特點。給定其輸入物流變數及參數可計算出相應的輸出物流變數，但不能由輸出變數計算輸入變數，也不能由輸入、輸出變數計算模組參數。序貫模組法的基本思想是：從系統入口物流開始，經過接受該物流變數的單元模組的計算得到輸出物流變數，這個輸出物流變數就是下一個相鄰單元的輸入物流變數。依此逐個的計算過程系統中的各個單元，最終計算出系統的輸出物流。計算得出過程系統中所有的物流變數值，即狀態變數值。以序貫模組法實施過程系統的模擬計算，通常是把系統輸入物流變數及單元模組參數（如與環境交換但與物流無關的能量流、反應程度、分割比。幾何尺寸等）作為決策變數。序貫模組法的求解與過程系統的結構有關。當涉及的系統為無回饋聯結（無再迴圈流）的樹形結構時，系統的模擬計算順序與過程單元的排列順序是完全一致的。具有回饋聯結的系統，其中至少存在這樣一個單元，其某個輸入物流是後面某個單元的輸出物流，如圖中的單元A。這時就不能直接實施序貫的求解計算。因為在尚未計算A，B，C等模組之前還不知道物流S4的變數值。因此，在用序貫模組法處理具有再迴圈物流系統的模擬計算時，需要用到斷裂和收斂技術。2.2.2再迴圈物流的斷裂（1）斷裂的基本概念首先考察方程組的斷裂。假設有一個由四個方程、四個未知變數組成的方程組：上述方程組需要聯立求解才能得到它的解。但是，也可以由另外的方式進行求解。把一個四維求解問題降階成為了四個一維問題，從而簡化了計算難度。這種通過迭代把高維方程組降階為低維方程組的辦法稱為“斷裂”。例題：用斷裂法解下列方程組斷裂法解方程組（2）斷裂方法的研究最佳斷裂的準則分為四類：①斷裂的物流數最少；(Barkley&Motard)②斷裂物流的變數數最少；(Rubin)③斷裂物流的權重因數之和最少；(Christensen)④斷裂回路的總次數最少。(Upadhye&Grens)準則①與②都是企圖使計算工作量最少，但是有人證明，不論斷裂流股數目最少或變數數目最少都不一定導致收斂最快。目前實際上用得最多的是準則③與④，有人認為準則④是現有準則中最優的，至少對使用直接迭代法求收斂時如此。（3）回路矩陣在介紹再迴圈回路斷裂方法之前，先介紹一下回路的表示方法。要斷裂再迴圈物流，必須先識別再迴圈回路，並借助一定的方法描述它們。

通常，一個不可分隔子系統包含若於個再迴圈回路，如圖給出的系統就是一個不可分隔子系統，其中包含有四個再迴圈回路。那種包含兩個以上流股，且其中的任何單元只被通過一次，稱作簡單回路。如圖中I－SI－II－S2－III－S4－II－S2－III－S5－I構成的回路就不是一個簡單回路，因為其中的單元II和單元III都被通過了兩次。過程系統中的簡單回路可以用回路矩陣表示。矩陣中的行代表回路，列代表物流。對於比較簡單的系統，可以由人工方法找出其全部簡單回路；對於大型的複雜系統則難於用人工的辦法去識別其簡單回路，就需要由專門的演算法去識別。（4）Upadyhe－Grens斷裂法為了對該不可分隔子系統的高維求解進行降維運算，需將該子系統中的某些回路進行斷裂。從相應於圖2-13回路矩陣可見，使回路（A，B，C，D）都達到斷裂的方案並不是惟一的。如斷裂物流2或是斷裂物流4，5，6，7（斷裂物流組）都可以實現回路（A，B，C，D）的斷裂。

這就有兩個需要解決的問題：一是要有一種能把所有的有效斷裂物流組都能搜索出來的辦法；二是要能把最優斷裂組從中選擇出來。對此，Upadyhe等人提出了搜索斷裂組的替代規則。【例2-1】用Upadhye－Grens斷裂法尋求圖2-13中的最優斷裂組。

解：從有效斷裂組{S1，S2，S3｝開始，反復利用替代規則，過程如下:輸入：S2輸出：S3，S4，S5標記**表示找到多餘斷裂組，消去重複物流後，再重新開始替代過程輸入：S3輸出：S6，S7輸入：S1，S4，S7輸出：S2輸入：S5，S6輸出：S1標記**表示找到多餘斷裂組，消去重複物流後，再重新開始替代過程輸入：S1,S4,S7輸出：S2輸入：S2輸出：S3,S4,S5輸入：S3輸出：S6,S7輸入：S5,S6輸出：S1標記*表示重複出現的斷裂組，在此終止替代過程從圖2-14的替代過程中找出了如下的非多餘斷裂族：{S2}{S1，S4，S7}{S3，S4，S5}{S4，S5，S6，S7}由步驟④得到它們相應的總權值為：92+3+2=72+3+3=83+3+4+2=12所以，斷裂組{S1，S4，S7｝為最優斷裂組。2.2.3斷裂物流變數的收斂執行斷裂物流變數收斂功能的模組稱收斂單元模組不可分隔子系統的斷裂物流斷裂物流變數的收斂問題實際上是個迭代求解非線性方程組的問題

x=y=G(x)

當斷裂物流變數猜值x與計算值y之差小於收斂容差ε時y－x=G（x）－x<ε則x為斷裂物流變數的收斂解。收斂單元的功能總計有如下作用：(Ⅰ)獲取猜值的初值x0(Ⅱ)根據計算值y，以一定的方法確定新的猜值x(Ⅲ)比較猜值x和計算值y，若其結果滿足給定精度要求，則結束迭代計算，否則繼續迭代計算過程。收斂單元實質上就是一個數值迭代求解非線性方程組的副程式。求解非線性方程組的數值計算方法很多，適合於收斂單元的數值計算方法一般應盡可能滿足下列要求：1.對初值的要求不高。2．數值穩定性好3．收斂速度快4．佔用電腦存儲空間少1.對初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代計算的發散；

2)初值的組數少。例:用直接迭代法求解下列方程組解：令猜值為X1＝2；X2＝10；X3＝5105解：令猜值為X1＝6；X2＝3.5；X3＝5例題2-2直接迭代法2.數值穩定性好例題2-2直接迭代法3收斂速度快對收斂速度的影響主要有三個因素：一是迭代次數；二是函數G(x)的計算次數；三是矩陣求逆的次數。序貫模組法中的函數沒有具體的函數形式，每計算一次函數值就相當於做一次流程回路的模擬計算。好的非線性方程組的數值迭代次數少，而且應該儘量避免導數計算和矩陣求逆。這樣才可能獲得高的收斂速度。收斂速度示例4.佔用電腦存儲空間少直接迭代法；有界wegstein法；主特徵值法；Broyden法等幾種。進行斷裂物流計算的很多，應用較為廣泛的有：（2）直接迭代法直接迭代法是將計算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實施迭代計算。這種演算法的程式如下：重新把函數f(x)=0，安排成x=G(x)的形式。選擇初始值x(0)和一個精度截止判據

0；計算x(k+1)=G(x(k))檢驗收斂性，如果|x(k+1)-x(k)|，則停止迭代，否則重回第一步。例題2-3：迭代求解以下方程f(x)=x2-5x+4=0初值x(0)=0,要求精度0.0001解x=(x2+4)/5=G(x)當x(0)=0時，G(x(0))=(0+4)/5=0.8檢驗精度|x(1)-x(0)|=|0.8-0|=0.8>0.0001重新迭代直到精度<0.0001為止例題2-3迭代過程但是把函數f(x)=0，可以安排成各種x=G(x)的形式。其收斂性如何？收斂的充分條件（並非必要條件）是：|dG(x)/dx|<1|dG/dx|>1|dG/dx|<1直接迭代法的特點是方法簡單，且只需要一組初值，不需計算導數和逆矩陣。然而該法的弱點是迭代次數多、收斂速度慢，且對初值要求較高。為了改善直接迭代法的收斂行為。人們提出了阻尼直接迭代法，或稱加權直接迭代法，其公式為：xk+1=qxk+(1-q)G(xk)式中q為阻尼因數，可以人為給定：q=0為直接迭代；0<q<1為加權直接迭代，可改善收斂的穩定性；q<0為外推直接迭代，可以加速收斂，但穩定性下降；q>=1無意義。阻尼法示例（3）Wegstein法為了加快收斂Wegstein提出了一種簡便的方法，至今仍然是應用最廣泛的加速收斂方法一維Wegstein法有界Wegstein法多維Wegstein法嚴格多維Wegstein法一維Wegstein法對於方程x=G(x)，初始猜值算為x(0)，則第二點x(1)可以用直接迭代法得到：x(1)=G(x(0))以下為了找到x=G(x)的根，用以上兩個試算點之間的直線代替G(x)，則此直線的斜率為sG(x)-G(x(1))=s(x-x(1))式中：q為一指定的參數。因為我們是要找到一個x解，以滿足x=G(x)，所以估算方程G(x)-G(x(1))=s(x-x(1))變為：或者，按此式解出x值：這種方法的圖解意義見圖。因為參數q是斜率s的函數，所以每次迭代後q都不斷在變化經過幾步迭代後，q就逐步達到比較穩定的值；可以根據q值的大小判斷收斂性質：

q<0單調收斂

0<q<0.5震盪收斂

0.5<q<1震盪發散

1<q單調發散這就引出了“有界Wegstein法”，即人為地把q限制在一定的範圍內：

qmin<q<qmaxFLOWTRAN模擬系統通常推薦-5<q<0CHESS模擬系統則使用：當q>0令q=0當q<-10令q=0例題2-5用Wegstein法求解以下方程F(x)=x-2(1-x)3=0，設x(0)=0.5，精度為0.0001解:第一步首先將方程轉化為x=G(x)的形式G(x)=x=2(1-x)3然後計算最初兩點x(1)=G(x(0))及G(x(1))x(0)=0.5x(1)=G(x(0))=2(1-0.5)3=0.25G(x(1))=2(1-0.25)3=0.844第二步計算斜率s及參數q第三步計算x(2)

顯然沒有收斂。因此，重複第二步然後重複第三步，得到新的x值X(3)=0.726(0.426)+(1-0.726)0.378=0.413X(4)=0.4102X(5)=0.41026達到精度要求而停止。如果用直接迭代法則引起發散。例題2-5Wegstein

法習題用Wegstein法求方程的根，收斂精度為0.0001Sinx-x/2=0與直接法比較2.3過程系統模擬的面向方程法序貫模組法的缺點：收斂過程十分緩慢，甚至不能收斂；對於過程系統的設計計算問題和參數優化問題，情況將更為嚴重，甚至不能用序貫模組法去求解。因此，人們把注意力投向了面向方程法。2.3.1面向方程法的原理面向方程法的基本思想是，把描述過程系統的所有數學模型彙集到一起，形成一個非線性方程組進行求解。即：

F（x，w）＝0（2-28）

F:系統模型方程組，其中包括：①物性方程；②物料、能量、化學平衡方程；③過程單元間的聯結方程；④設計規定方程等。X——狀態變數向量；W——決策變數向量；通常過程系統模型方程組總是稀疏方程組。其中每個方程只含有幾個非零元素。例如方程組：這是個1000階的線性方程組。其中任意一個方程：該方程只有三個非零係數。其他的999個方程也具有類似的形式。過程系統模型的方程數和變數數往往都很大，但每個方程涉及的變數數一般只有幾個。方程的稀疏性可以用稀疏比

來衡量：

對於n—1000，N—5000的方程，其稀疏比中為0.5％。僅係數矩陣就要佔用n2=106個電腦存儲單元，而其中995000個單元的內容為零，因此大量的運算是在零與零之間進行的。由此可見，用常規數值法求解稀疏方程組是很不經濟的，有時還會因電腦容量的限制而無法運算。因此，人們開發了大量的處理稀疏方程組的數值演算法。面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類：①降維求解法；②聯立求解法。2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法

即把大型稀疏方程組分解成若干個小的非稀疏方程組，然後依次分別求解，從而達到降維和增大稀疏比的目的。（1）方程組的分解概念對於n階稀疏方程組，常常可以找到一個包含有k1個變數的k1階子方程組。這個k1階子方程組可以單獨求解。其餘的n—k1個方程中還可以再找出包含有k2個變數的k2階子方程組，這個子方程組也可以單獨求解。重複這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組。由上例可見，把原方程組分解成若干個聯立求解的小方程組後，使這些小方程組的稀疏比與原方程組相比要大得多。若小方程組的稀疏比接近1，可用常規數值解法求解，若稀疏比仍很小可繼續分解。方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。下麵僅討論基於有向圖的回路搜索法。(2）回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組，是在描述方程組的有向圖上進行的。為了用有向圖表示方程組的結構，首先必須對每個方程指定一個變數作為其輸出變數。①輸出變數的指定方法輸出變數是可由方程中其他變數求解的變數，且每個變數只能被指定一次作為輸出變數。輸出變數指定方法的步驟是，選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點處元素對應的變數，作為優先指定的輸出變數，然後從事件矩陣中刪去該輸出變數對應的行和列；重複上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉。例外情況的處理：最後剩下了方程f7和變數x9,而f7中沒有x9在遇到這種情況時，必須盡力找出所謂的Steward通道。即方程f7行中的任一元素和變數x0列中的任一元素之間的聯繫。這一通道開始於未被指定為輸出變數的元素x9，平移到一已被指定為輸出變數的元素（9，10），改變900方向到一未指定元素（10，10），再改變900方向到一指定元素（10，8），此過程一直繼續到未指定輸出變數的方程的元素（7，l）。在Steward通道上指定元素和未指定元素交替出現，而其首尾均為未指定元素，在全通道上未指定元素比指定元素多一個。把Steward通道上的指定元素和未指定元素互換，即將通道上的指定元素變為未指定元素，而將未指定元素變為指定元素，於是，得到另一種輸出變數指定方式，如下圖所示。可見，各方程的輸出變數已全部指定，並符合前面所說的要求。當需要Steward通道而又找不到這樣的通道時，必然存在無法指定為輸出變數的變數，這表明方程組是奇異的。②畫出有向圖用有向圖表示方程和變數的關係。圖中每個節點代表一個方程。如果方程fi的輸出變數存在於fj中，則從節點fi向fj作一有向邊。圖2－20為式（2－30）的有向圖表示。這個圖代表了方程間的資訊流動方向。③回路搜索例2-5:對例2-4所給的方程組用回路搜索法進行分解。從節點f1開始回路搜索得到數串：f1f3f2f5f2將節點f2和5合併得到組合節點（f2f5），由於組合節點（f2f5）無任何輸出邊，刪去（f2f5）及其所有輸入邊，得到數串：f1

f3,節點f3也無輸出邊，刪去f3及其輸入邊,然後從f1繼續搜索,得到數串：f1f4f1。合併節點f1和f4得到組合節點(f1f4)。依次刪去的節點和組合節點記入下表它們分別代表原方程組分解後得到的小方程組，其求解即從後到前的順序進行。

④不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法該式也是個稀疏方程組。利用回路搜索法對其分解後發現，該方程組是不可分解方程組，該原方程組必須聯立求解。對於這種情況，需要通過斷裂來達到進一步降維和增大稀疏比的目的。斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂後的系統必須通過收斂得以求解。為了易於收斂，因而總是希望斷裂的變數數最少。所以，總是要選擇包含變數數最少的方程中的變數作為斷裂變數，斷裂變數數等於該方程中的變數數減1。然後給斷裂變數賦初值，再進行迭代計算直至收斂。

以右矩陣式為例進行斷裂降維求解。矩陣中f3,f4,f5行的變數數最少，都只有兩個。選擇f3中的x5為斷裂變數。從而解出x6。把f3行和x5,x6列刪去，得到下式該式為五行四列，有一個多餘方程（它是由刪除斷裂變數x5產生的）。f6行含有的變數最多，暫不考慮（因為容易引起耦聯，不利於分解），對其餘的四行、四列進行重排，可得到：左式中可聯解f1f4和f2f5（此時f5f6為已知）。然後計算f6，檢驗是否滿足，若不滿足，則修改斷裂變數x5的值，重複上述的計算，直至滿足f6方程為止。通過此例可以看到，斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續分解。2.3.3聯立擬線性方程組法解大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然後聯立求解線性方程組。由於線性化引人了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解，逐漸逼近非線性方程組的解。（1）線性化方法對於n維非線性方程組將該方程組在x1(k),x2(k)…xn(k)處作臺勞展開，(即Nowton-Raphson聯立線性化方法)得：為雅可比矩陣記J在進行第k+1次迭代時，上式中的f(k)、J(k)和X(k)均為已知，因此，上式為x(k+1)的線性方程組，於是可用Newton-Raphson法的迭代公式：X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)例2-6組分A的稀溶液在常溫下離解：

A

2B

其數學模型如下：

品質平衡:CA+CB/2=CA*熱力學平衡:KCA-CB2=0

式中，CA與CB分別是組分A、B的濃度；CA*是組分A的初始濃度；K是該反應的平衡常數。求當K=2，CA*=1時平衡態的組分濃度。X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)方程組兩邊乘於雅可比矩陣J於是：變化為如下形式：所以取CB的初值為1.5迭代過程如下：迭代過程（2）稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經線性化後得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題，轉化成求解稀疏線性方程組的問題。用常規的消去法求解大型稀疏線性方程組是不經濟的，而且計算效率較低。為了減少求解大型稀疏線性方程組所需的計算時間和存儲空間，通常採用下列兩方面的技術：①只對非零元素進行計算；②只存儲非零元素（如壓縮存儲技術）。填充量和主元容限填充量：用高斯消去法消元過程的同時,會在原來零元素處引入非零元素。新出現的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關。在求解大型稀疏線性方程組時，應該盡可能地減少填充，否則將會使計算效率大大下降。然而，減少填充與提高數值穩定性和計算精度是矛盾的。用高斯消去法對矩陣進行消元的過程

新出現的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關。用左矩陣中對角線上的第一個元素作為主元素，消去第一列上的其他元素將導致在所有的零元素處產生非零元素，即填充量達到最大。而右矩陣的填充量減少到零。

54321123451234554321為了減少填充量，需要把右矩陣中的元素a55作為主元素，但如果它的絕對值很小時，將會引人較大的誤差，致使計算精度、數值穩定性變差。(b)主元容限在主元消去法中，通常把絕對值最大的元素作為主元進行消元。其目的是為了提高計算的精度。但是如果這樣選取的主元恰好導致較大的填充，那麼計算效率的將下降。因此，寧願選擇一個絕對值不是最大，且不會引起填充量過大的元素作為主元。（c）Bending－Hutchison演算法。該演算法是在全元消去法的基礎上派生出來，其核心是避免填充，同時保證計算的精度。【例2-7】圖2-23為一個物流分割器及混合器構成的簡化流程。圖上括弧中的數字為分割比。由此可以得出各流股關係的方程。共9股物流有9個方程-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0第2列和第8列均只含有一個元素，即縱列等於1。這兩個元素必須分別選作方程（1）和方程（8）的主元。由於這兩列中並無其他元素，所以不用執行消元過程。第3，5，7，9列均含有兩個非零元素，即縱列等於2。人為地選第三列。方程（2）橫列為2，方程（9）的橫列為3，選：主元素消去元素產生元素V8E8V2E1V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9-0.333主元素消去元素產生元素V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3-0.3331主元素消去元素產生元素改變元素V1E3V1E9RHSE9V4E9-0.333-0.33310.6670.7780.555V6E5V6E9V4E9S4=0.667/0.555=1.2S5=0.333*1.2=0.4S6=0.667*1.2=0.8S1=0.333*1.2+1=1.4S8=0.667*0.8=0.533S9=1S2=1.4*0.333=0.466S3=0.667*1.4=0.933S7=0.333*0.8=0.2662.4過程系統模擬的聯立模組法序貫模組法和麵向方程法比較2.4.1聯立模組法的原理程法聯立模組法：兼備了上述兩種方法的優點，更重要的是它可以使花費了大量人力、物力開發出的過程單元模組得以充分利用。聯立模組法可定義為利用黑箱過程模組，靈活求解模擬問題的方法。聯立模組法與序貫模組法的共同之處在於面向模組；與面向方程法共同之處在於聯立求解過程系統模型方程。利用嚴格模組產生相應的簡化模型方程的係數,然後把所有的簡化模型方程彙集到一起進行聯解，得到系統的一組狀態變數。由於簡化模型是嚴格模組的近似，所以計算結果往往不是問題的解，必須用嚴格模組對這組解進行計算，修正簡化模型的係數。重複這一過程，直到收斂到原問題的解。聯立模組法的特點：①聯立模組法計算效率較高。②簡化模型方程組的維數比面向方程法也小得多，求解起來也容易。③能利用大量原有的豐富的序貫模組軟體。

聯立模組法兼有序貫模組法和聯立方程法的優點：①計算效率較高；②對初值要求較低；③迭代迴圈圈較少；④計算出錯時診斷較容易；⑤能利用大量原有的軟體。模擬計算過程初值的取得可以採用兩種辦法：①猜值②用序貫模組法迭代求解幾次，得到各點的初值。聯立模組法的計算效率主要依賴於簡化模型的形式。簡化模型應該是嚴格模組的近似，同時具有容易建立、求解方便的特點。下麵介紹如何利用嚴格模組產生近似簡化模型。2.4.2建立簡化模型的兩種切斷方式

為了建立簡化模型，必須首先劃分簡化模型的對象範圍。有兩種劃分方法：①以過程單元為基本單位建立簡化模型；②以回路為基本單位建立簡化模型。這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對應：①聯結物流全切斷方式；②回路切斷方式。(1)聯結物流全切斷方式

這種方式相當於把所有過程單元之間的聯結物流全部切斷，形成一系列互相獨立的過程單元。[例2-8]用聯立模組法對圖2-17給出的三級閃蒸過程進行穩態模擬解：①建立簡化模型嚴格單元模組的輸入流股變數向量x與輸出流股變數y之間有嚴格模型：

y=G(x)對上式進行一階臺勞展開為：y-y0=G

(x)(x-x0)便可得到嚴格模型的線性增量簡化模型:y=Ax利用上式分別對每個過程單元寫出其簡化模型：由於混合器的嚴格模型為線性模型，且系統入料流股變數為給定值，所以有：把上述線性簡化模型寫成矩陣形式的迭代格式②從嚴格模組計算簡化模型的係數式（2－50）中的係數矩陣可通過對嚴格模組的擾動計算得到。前面我們假定A=G

(x)，也就得到了A。而A是從一階臺勞展開式得到的。偏離x0點後便會產生偏差，因此要不斷進行修正。流股全切斷方式很類似於面向方程法。主要區別在於後者是嚴格模型方程，變數數也要大得多,對於一個包括100個聯結流股，每個流股有8個組分，10個設計規定系統，其系統簡化模型數為：

ne＝2*（8十2）*100＋10＝2010（2-51）由此可見，對於較大的系統，流股全切斷方式建立的簡化模型方程數是很大的。（2）回路切斷方式回路切斷方式相當於把若干個單元作為一個“虛擬單元”處理，建立虛擬單元的簡化模型。虛擬單元所包含的各單元間的聯結流股變數則不出現在簡化模型中，從而大大降低了簡化模型的維數。通常是以迴圈回路為一個虛擬單元，切斷再迴圈流股，故稱之為回路切斷方式。圖2-27虛線內的回路構成了一個虛擬單元。【例2-9】以回路切斷方式建立三級閃蒸過程系統的線性增量簡化模型。

對於圖2-17中給出的三級閃蒸系統，不難憑觀察選定最佳切斷流為S2，因為它可以同時切斷兩個再迴圈流。為了更加直觀，將圖2-17改畫成圖2-28（a）。若把圖2-28(a）中虛線框內的部分看作黑箱（虛擬單元），則系統簡化成圖2-28（b）用線性增量模型作虛擬單元的簡化模型如下：上式中的第一行可以獨立求解，得到

S2。一旦解出S2，分別代入第二、三行，則可得到

S7、

S8。因此，可以把（2-60）式看作三級閃蒸過程回路切斷方式的系統簡化模型。（2-60）氨合成工藝流程模擬與分析可以作為小論文3化工過程系統的動態模擬與分析★

化工過程系統的動態特性與模型▲確定性動態模型的數學處理(難點)★連續攪拌罐反應器的動態特性，精餾塔的動態特性（重點）★▲變壓吸附過程的模擬與分析（自習）3.1.1化工過程系統的動態特性動態特性涉及的問題：間歇過程；連續過程的開停工；連續過程本征參數依時變化；控制系統的合成；過程系統局部與全局特性分析以及利用；人為非定常態操作。化工過程系統動態特性知識，十分重要的、基本的。3.1.2化工過程系統的動態模型無論碰到和處理上述哪一類與過程系統動態特性有關的實際問題，所需要的最核心、最本質的知識，是如何科學地描述過程系統動態特性的規律，這必須選擇或者建立一種既能反映過程系統本質特性，又相對簡單明瞭的數學模型。根據對過程系統中狀態變數分佈特徵的不同描述方式，一般可以把數學模型分為：集中參數模型分佈參數模型多級集中參數模型集中參數模型：狀態變數在系統中呈空間均勻分佈，如強烈攪拌的反應罐就可以用這一類模型來描述。分佈參數模型：狀態變數在系統內呈現非均勻，但一般是連續的空間分佈，如管式反應器的模型通常就用分佈參數模型。多級集中參數模型：一般用於描述多級串聯、級內狀態變數均勻分佈的過程，如板式塔內的傳質分離過程等。

根據建立模型的不同方法，一般可以將數學模型分為統計模型、確定性模型和介於兩者之間的半經驗模型。統計模型又稱為經驗模型，純粹由統計、關聯輸入輸出數據而得。

優點：表達方式很簡單，只需做少量計算就能得到所要的結果；

缺點：只能應用到建立模型時採集數據所涉及到的那些操作條件，或者可以略作小範圍的外推。確定性模型又稱為機理模型：是通過對所研究的系統或者系統內某個微元，列出品質、能量和動量守恆關係式，系統（或微元）內外品質、能量和動量交換速率係數計算式，相關的相平衡關係，以及化學反應速率運算式和化學反應平衡常數計算式而建立起來的。該模型的普遍適用性更強。3.1.3確定性動態模型的數學處理數學模型的數學處理：（1）正問題——模型方程組的求解（2）逆問題——模型參數的估計（3）過程系統的定性分析（1）正問題——模型方程組的求解模型方程（組）的正問題：指所有的參數（包括設計、物性、傳遞和操作參數等）都已給定，要求利用模型來預測系統的狀態分佈及其在時間域的運動（變化）情況。這一類問題在工程實際上經常會碰到。例如：簡單問題

模型參數已給定，利用模型來預測系統的結果如：解決正問題，要求在給定的初值條件或初、邊值條件下求解模型方程組。這就可能涉及代數方程組、常微分方程組和偏微分方程組，以及其混合方程組的求解，由於方程組強烈的非線性特性，求模型方程組的分析解往往是不可能的，不得不借助於電腦求數值解。（2）逆問題——模型參數的估計已經從實驗裝置或生產裝置上採集到在非定常態條件下系統狀態變數隨時間變化的資訊，要求從中估計出描述這一非定常態過程的模型中，某些未知參數的數值。即：已知狀態在時間域的運動情況，要求估計模型參數。求的函數運算式完成這類計算，涉及到計算數學中最優化方法這一分支。一些常用的、相對較成熟的最優化方法，通常都已編寫成通用程式，在手冊、專著中都可以查到，只需結合參數估計的實際問題，掌握這些通用程式的具體應用就可以了。近年來又發展出一些新的演算法，如遺傳演算法、模擬退火演算法等。（3）過程系統的定性分析由於化工過程系統通常具有很強的非線性性質，因而有可能出現定常態多重性、定常態穩定性、參數敏感性、自激振盪，甚至更複雜的時間序列結構。原則上講，這些問題都可以通過確定性模型來分析、處理。這一類問題歸結為動態微分方程（組）的定性分析—非線性分析或非線性現象與複雜性分析。3.2連續攪拌反應器的動態特性

選擇連續攪拌反應器作為研究對象，是非常具有代表性的：用集中參數模型來描述系統的特性，在模型的類型上有典型性；模型的數學處理方法方面，與其他類型的化工過程系統集中參數模型有相似性；涉及到非線性系統的定性分析問題，所運用的分析方法具有普遍意義。3.2.1動態數學模型通過實際的示例，介紹集中參數模型的建立和數學處理方法。【例3-1】敞口連續攪拌釜的流量計算。如圖所示，進料量為Fi，攪拌釜中原有料液高度為H。，試求取自開工後排料量的變化關係。假設攪拌釜的橫截面積為A，排液量與罐中料液的高度成正比關係，即：F0=kH根據品質守恆原理，對敞口連續攪拌釜列出品質衡算關係：品質累積速率=品質流入速率-品質流出速率初始化條件：t=0時，H=H0代入並化簡:上式就是釜中液位高度隨時間的變化關係，排液量與時間的變化關係為：不同的k值，釜中液位高度隨時間變化關係的示意圖。圖中每條曲線的右側分別指明了計算所用的kH0-Fi的值，即t=0時刻料液排出速度與流入速度之差。從圖中可以看出，隨時間的增加，釜中液位高度呈指數式變化，並逐漸達到一個近似的穩定值。對於不同的kH0-Fi

的值，液位高度隨時間的變化關係有所不同。高度變化1高度變化2【例3-2】攪拌槽內含鹽量的動態模型。攪拌槽示意圖。初始情況是槽內盛有V0的水，把濃度為Ci的鹽水以恒定流量Fi加入槽內，與此同時完全混合後的鹽水以恒定流量F0排放，試求槽內鹽水濃度C的變化規律。鹽水溶液的總物料衡算關係：鹽組分的物料平衡：即：

式（3－13a）表明有兩項累積量，第一項是因濃度變化而引起的，第二項是由體積變化所引起的，這兩項皆與求解有重要關係。將式（3－12）代人式（3－13a），並化簡，可得：將式（3－12）積分，並利用初始條件t=0時，V=V0，可以得出：代入式（3－14），並化簡為：積分式（3－16），當Fi>F0時可以求出：其中，B為積分常數將初期條件：t=0時，c=0代入式（3-17），可以解出B，於是式(3－17)可以化簡為：當Fi=F0時：積分時式（3-16）圖3－3給出了ci=1時，對不同的Fi，本例釜中濃度隨時間的變化關係。可以看出，對任何一種情況，隨著時間的延長，罐中濃度最終將逐漸達到ci濃度隨時間的變化一般的連續攪拌釜式反應器，除總物料衡算和組分物料衡算外，還伴隨化學反應的熱效應以及反應釜本身的熱衡算。對於這種複雜的過程，是不太可能通過數學方法精確求解的，一般要通過數值方法進行積分運算，方可求得過程的解。

連續攪拌反應器假定：反應器內處於分子級理想混合，且為液相均相反應，即反應混合物的溫度和組成在反應區裏是均勻的。假定反應區的容積不隨時間變化，則加料與排料的流量也可以認為是近似相等的，即Fin=Fout＝F。對於一個包含M個組分和N個反應的系統，可以分別寫出每一個組分的品質守恆和反應區的能量守恆式，如：i組分品質守衡

V、F—反應區容積和加料容積流量；Ci、Ci,f—反應器內和加料中第i組分的濃度；t—時間；R—因化學反應引起的第i個組分濃度的變化速率，並且有

i,j—第j反應計量式中i組分的係數3-203-22反應區能量守衡T、Tf—反應區內和加料混合物的溫度；U—反應液體與冷卻劑之間熱交換的總傳熱係數；A—反應液體與冷卻劑之間的總傳熱面；T—冷卻劑平均溫度；

、Cp—反應混合物的平均密度與比熱容；（-H）—第j個反應的熱效應；Rj—第j個反應的速率。3-21

以上二式通常受下列初始條件的約束；在t=0時，ci=ci,0,T=T0

從而就構成所討論的連續操作攪拌反應器的動態數學模型。3-23應當指出，運用反應工程課程中關於化學反應計量學的知識，可以對上述模型進行簡化。不必對所有M個組分，而僅僅需要對少於M的幾個著眼組分寫出品質守恆式，從而減少了模型涉及的常微分方程的個數。至於其他非著眼組分的濃度，完全可以利用化學計量學基本原理，通過相應的代數方程（組）來推算。3.2.2模型的數學處理與應用（I）上面方程構成的動態數學模型的正問題，可以利用龍格庫塔法（R—K）和基爾（Gear）法等通用程式來求數值解。一般情況，R—K法已能滿足要求。對於某些熱效應強、活化能高的反應，濃度和溫度隨著時間的變化在某些時段可能非常激烈，採用R—K方法可能引起計算的不穩定性，難以收斂，就需要採用像Gear法之類具有一定自適應性的方法。3.2.2模型的數學處理與應用（I）應用1：開工過程分析上述動態數學模型，可以用於連續操作攪拌罐反應器的開工過程分析。（a）計算開工過程所需要的時間：從給定的初始條件出發，對上式求數值解，求取直至狀態變數的每一個分量Ci（i=1～M）、T接近定常值所需要的時間，就是近似的開工時間。

(b)研究初始條件對開工過程的影響。反復改變不同的初始條件，通過數值分析考察初始條件（開工條件）的不同對開工時間的影響，從而可以幫助制訂適當的開工方案，達到既縮短開工時間，又不致使開工過程出現某些工藝上不允許的溫度和（或）濃度。應用2：動態回應的數字仿真利用數字仿真技術來瞭解對象的動態回應特性，即輸入輸出關係。通常的做法是，首先建立過程系統的確定性動態數學模型；然後需要確定變數；最後把給定的定常狀態作為初始條件，逐一考察每一個輸入變數的改變對狀態變數（輸出）的影響。3.2.3模型的數學處理與應用（II）（1）定態多重性系統的定態對應於令下式左端為零時，得相應非線性代數方程組的解。如果有多重根，就意味著系統有可能出現多重定態。即在設計參數、物性參數和操作參數都不變的情況下，我們可以看到不只一個定常狀態。（2）定態的局部穩定性是指由暫態小干擾引起的對定常態的偏離，在擾動因素消失後，系統是否具有自動回復原始定常態的能力？如果有，就說該定常態是局部穩定的，或者說對小擾動是穩定的。反之，就是局部不穩定的。定常態局部穩定性判據：非線性集中參數動態數學模型的定常態局部穩定性判據：如果在給定的定態近旁，模型常微分方程組的雅可必矩陣的所有特徵值都具有負實部，則該定常態是漸近穩定的。（3）狀態空間分析

狀態空間分析是一種圖解方法，借助於它，可以非常直觀地瞭解非線性集中參數系統的一系列動態性質。所謂狀態空間，也稱為相空間，在這裏是指以每一個獨立變數作為一個坐標軸定義的實數空間。前面例題描述的系統，指由C1，C2，…，CL和T作為坐標軸定義的實空間，在其中的一個點，表示一個狀態，這個點也稱為相點。相點的軌跡稱為相軌線（軌線），它反映了從某個特定的初始狀態出發，狀態演變的歷史，由眾多的軌線構成，反映了在所關心的狀態變數變化範圍內，系統所有動態學定性特徵的圖形稱為相軌線圖（相圖）。相圖製作原理假定討論單個一級不可逆反應A

B的特殊情況。這時，只有一個著眼組分，設為A。式（3－20～23）相應地可以寫成：對於任意給定的某一初始條件，利用龍格一庫塔或其他適當的求解常微分方程組初值問題的方法，可以得到數值解：S表示定常態由於只有cA、T兩個狀態變數，所以這時的狀態空間是一個二維空間，即狀態平面或稱為相平面。將上面得到的CA

和T的暫態數據標注在相平面上並連成標注了運動方向的光滑曲線就得到一條相軌線。從不同的初始條件出發，仿照上述方法可以作出不同的軌線。由足夠多的軌線就可以繪出類似右圖的相平面圖。相平面圖繪製過程3.3精餾塔的動態特性在化工生產中經常會遇到一些具有相似的多級系統，最典型的就是多級串聯的CSTR反應器和板式精餾塔。在這些過程中，通常每一級都可用一相似的一階或二階微分方程來表示，尤其當這些方程式的係數矩陣呈雙或三對角線形式排列時，它的特徵解可用解析法求得，求解時可用有限差分和差分微分法本節以二元板式精餾塔作為研究對象，討論怎樣利用多級集中參數模型對其動態特性進行模擬與分析。3.3.1動態數學模型全塔共有N塊塔板，塔頂為全冷凝器，塔底有間接加熱的再沸器，在第NF板加料。基本假設：I每塊塔板上汽相與液相分別為理想混合，因而兩相都可以採用集中參數模型來描述II兩組分的摩爾汽化熱近似相等，III泡點進料IV塔內壓力恒定V離開每一塊塔板的汽液兩相處於平衡狀態VI每塊塔板上持液量遠大於持汽量，後者及其變化可以忽略不計利用基本假設II和III，可以導出：任意兩塊塔板間上升蒸汽量恒定，從而使模型變數的數目大大減少，因此不必對每一塊塔板都做熱量衡算，使模型方程的數目也就相應地減少引入基本假設V，是為暫時避開塔板上的傳質動力學這一至今並末很好解決的複雜問題精餾塔的動態數學模型全凝器及餾出罐總物料衡算全凝器及餾出液罐易揮發組分衡算

第n塊塔板總物料衡算第n塊塔板易揮發組分衡算離開第n塊塔板汽液相濃度關係對於加料板，與第n塊塔板相似的可以得到下列守恆關係與平衡關係式再沸器及塔底總物料衡算再沸器及塔底易揮發組分衡算離開再沸器及塔底的汽液相濃度關係再沸器熱量衡算此外，根據流體動力學原理，還可以得到每一塊塔板上經降液管回流的液體量與該板上持液量的函數關係:獨立方程數:4N+6變數數:4N+10N個Xn、N個Yn、N個塔板回流量Ln、N個塔板持液量，餾出液貯罐持液量MD、餾出液成分XD、餾出液采出量D、回流至第一塊塔板的液體量LR、再沸器與塔底持液量MB、再沸器液相采出量B、上升蒸汽量V和離開再沸器汽、液相成分YB

與XB，輸入再沸器的熱量Q3.3.2模型的數學處理與應用在討論動態模型的具體應用前，應先將涉及易揮發組分衡算的微分方程左端按函數乘積的導數展開的規則將其展開，然後利用相應的總物料衡算式代入其中，以消去展開式中關於M的導數項，從而使所有常微分方程的左端都化為單變數導數的形式，並使模型轉化成為相對容易處理的代數―常微分方程組。模型處理的另一個一般性問題：各塊塔板溫度的計算。塔板溫度的計算多組分混合物任一組分兩相平衡的條件應當寫成：其中i表示組分代號，n與前述相同，表示塔板序號。考慮到塔內壓力恒定的假設後，可以把Pn作為常參數從上式剔除，因此有：顯然，如果用上式去代替前述模型中所有易揮發組分的相平衡關係，又變成了一個未知量數目大於獨立函數與獨立微分方程個數之和的不定問題。從多元混合物相平衡原理補充汽相組成歸一化條件：由於溫度是以隱函數形式出現在模型中，所以無論是把整個模型作為一個大的聯立代數―常微分方程組來求解，還是逐板迭代計算，每塊塔板上兩相組成與溫度的確定都必需通過反復迭代。從上面的分析看出，儘管為了使問題得到簡化已經做了很多假設，而且僅僅討論一個二元精餾問題，要利用其動態模型進行過程系統的模擬與分析，計算量也是很大的。因此，精餾塔數學模型的處理方法和計算策略歷來是從事過程模擬研究的人十分關注的。（1）開工過程模擬與分析

以下討論連續操作精餾塔開工過程模擬的問題。經過上面所述的初步處理，消去微分方程中乘積（MX）對時間的導數後，模型可以寫成為：假設給定了M和X的初始值，並且F、Q為已知，要求考察在全回流（D=0）和不采出塔底殘液（B=0）的條件下，開工過程的動態特性。如前所述，在F，Q，D和B已知並給定了M和X的初值後，問題是可解的，圖3－7表示一種可行的計算策略。由每塊塔板上M的初值可以計算L。根據X的初值，和假定的溫度T的初值，從相平衡關係計算Y，然後檢驗每塊板和再沸器內汽相組成是否滿足

Yi,n=1，若不滿足，重新調整各塔板及再沸器溫度，再算，直至滿足上述汽相組成歸一化條件。利用V，L，X，Y數據對給定的時間步長求解常微分方程的初值問題，檢驗餾出液濃度是否達到要求？殘液濃度是否達到要求？若任一指標不合格，再以所得M,X更新原始數據後重新計算，若餾出液和殘液濃度都達到要求，則輸出M，X等隨時間變化的結果，並停止計算。

精餾塔模擬計算可以作為小論文（二元或多元組分）第五章

智能模型—人工神經網路

ArtificialNeuralNetwork1943年心理學家M.McCulloch和數學家W.H.Pitts首先提出了簡單神經元M-P模型，開創了神經科學研究的時代。1958年Rosenblatt[1]的感知器(Perceptron)是最早的神經網路模型。1959年Widdrow和Hiff開發了一種叫自適應線性單元(ADALINE)的網路模型，成為第一個用於實際問題的神經網路。掀起了神經網路的第一次高潮。1969年，Minsky和Papert出版“Perseptron”一書中，證明了感知器不能實現複雜邏輯的判斷功能使得神經網路的研究一度趨於低潮。1982年，加州技術學院的物理學家JohnJ.Hopfield博士發表了一篇十分重要的文章，他所提出的Hopfield網路，有意義的是它的網路很容易用積體電路來實現，在1984年、1986年Hopfield連續發表了有關他的網路應用的文章，他的文章得到了重視和理解。掀起了各學科關心神經網路的一個熱潮。5.1人工神經網路的處理單元及結構人工神經網路(ANN)，又稱為“神經網”(NeuralNet)，是源於人工智慧的一種電腦工具。人工神經元是神經網路的基本處理單元(縮寫為PE)，也可以稱其為節點。如下圖就是簡化的神經元結構。人工神經元

它是一多輸入、單輸出的非線性元件，其輸入、輸出關係可描述為：其中xi(j=1,2,…,n)是從其他細胞傳來的輸入信號，θj為閾值，wji表示從神經元j到神經元i的連接權值，f()稱為傳遞函數。人工神經網路

輸入層隱含層隱含層輸出層非線性函數是Sigmoid函數訓練和學習階段—通過不斷調節節點之間的相互連接權重，直至特定的輸入產生特定的輸出。最為廣泛的為反向傳播演算法(BP法)；迴響階段—向人工神經元網路輸入一系列已在訓練階段使用過的輸入模式，調整系統使之更可靠、更健壯：預測階段—向神經網路輸入新的模式，希望系統能進行正常工作。為運行人工神經網路，必須經過三個階段：5.2.人工神經網路模型及BP演算法BP法是一種深入的數值方法，有許多不同的方法來進行反向傳播教會人工神經網路如何作出反應。基本上，幾乎所有的BP法都要進行以下步驟：(1)送入一特定的輸入，測定其實際輸出。(2)將實際輸出與期望輸出值進行比較，根據輸入—輸出分析計算定量差。(3)通過反復調整節點間的連接權重，使誤差(或均方根誤差)達到最小。

(a)由輸出節點開始，調整其權重。

(b)“反向”傳播至與輸出層相鄰的一層，計算那一層的誤差並調整其權重。

(c)繼續這一反向傳播過程(由網路的輸出端向輸入端)直至計算無誤差，並且所有權重均被調整為止。反向傳播(BP)採用的是並行式網路結構，它包括輸入層、隱含層和輸出層。如圖所示，輸入層有N+1個神經元，對應於N個輸入值和一個偏值(bias)，隱含層M+1個節點，其中也有一個偏值，輸出層有L個神經元。

假設第k(k=1,2,…,P)個實驗樣本的第i個輸入參數為xik，隱含層第h個節點輸出值為yhk，輸出層第j個節點輸出值為zjk,每一節點的輸入與輸出值通過非線型的Sigmoid函數變換。如果輸入層與隱含層之間的權值為whi，隱含層與輸出層之間的權值為wjh，則各節點的輸出按下式計算：

h=1,2,…,Mj=1,2,…,L

(2-6)式中，θh和θj分別是，隱含層與輸出層各節點的內部閾值。在輸入層和隱含層之間各設一個神經元bias，即第0個節點，取它的指定輸出值為1.0，對於隱含層，令θh=wj0x0k(xk0=1.0)，則式(2-6)中的引數部分可表示成：

對於輸出層也可作類似處理，於是輸出式可改寫為：h=1,2,…,Mj=1,2,…,L數學形式上不含閾值θ，它們已經隱含在相應的權值裏，並且與其它權值一樣可以在迭代過程中予以優化。如果在[-1,1]區間給權重whi和wjh隨機賦值，那麼對每一個輸入模式P，網路的總平均誤差E：式中：P為送入輸入層的訓練模式數；L為輸出層的處理單元數：djk為第k個訓練模式在第j個處理單元上的期望輸出值；zjk為第k個訓練模式在第j個處理單元上的實際輸出值上式也可寫為：由於轉移函數是連續可微的，顯然上式是每個加權的連續可微函數，反過來，為了使誤差函數最小，用梯度下降法求得優化的權值，該權值總是從輸出層開始修正，然後修正前層權值。從這一層意思講有反傳的含義。根據梯度下降法，由隱蔽層至輸出層的連續加權調節量為：η為學習速率，δjk定義為輸出節點的誤差信號：

對數Sigmoid型壓縮函數為：由輸入到隱蔽層的加權修正量可用分層鏈導法求得：

其中η為學習速率，定義為隱含節點的誤差信號。Rumelnart,Hinton和Williams於1986年提出一種改善BP訓練時間的方法，稱為動量法。同時保證了過程的穩定性。該方法是為每個加權調節量上加一項正比於前次加權變化的值。這就要求每次調節完後，要把調節量記住，以便在下面的加權調節使用。從隱含層到輸出層附加有衝量項的加權調節公式為：

計算權重：

從輸出到輸入層附加有衝量項的加權調節公式：

計算新的權重5.3BP訓練演算法實現步驟

BP訓練步驟如下：(1)在[-1,1]區間內給權重wjh和whi隨機賦值，並設定訓練允許誤差ε(ε>0)。(2)計算隱含層及輸出層的輸出，依次正向進行：隱含層輸出層(3)對於送入輸入層的P個訓練模式繼續步驟(1)-步驟(2)，根據下式計算總的平均平方誤差E：(4)開始網路的反向傳播：從輸出開始反向轉移到輸入，根據下式，計算輸出層每一節點的梯度下降項：(5)繼續反向傳播：轉到隱含層，根據下式，計算隱含層相對於每一個δjk的每一節點的梯度下降項：(6)已知隱含層的δhk輸出層的δjh，用下式計算權重變化：(7)已知權重變化，根據下式計算權重：對所有的訓練模式，重複步驟(2)-步驟(7)，直至平方誤差為0或充分小為止。

6.遺傳演算法

遺傳演算法（GA）是模擬自然選擇和遺傳的隨機搜索演算法。密執安大學約翰·郝蘭德（JohnHolland）最早提出這一演算法，其最初目的是研究自然系統的自適應行為並設計具有自適應功能的軟體系統。近來，遺傳演算法作為問題求解和最優化的有效工具，引起越來越多的注意。遺傳演算法是一種迭代演算法。它在每一次迭代時都擁有一組解答。這組解答最初是隨機生成的。在每次迭代時又有一組新的解答由模擬進化和遺傳操作生成。每個解答都由一個目標函數給予評價，重複這一過程，直至收斂。新的一組解答不但可以有選擇地保留一些目標函數值高的舊的解答，而且可以包括一些經由其他解答結合而得的新的解答。遺傳演算法的術語

遺傳演算法的術語借鑒於自然遺傳學:一個解稱為一個符號串或染色體染色體由決定其特性的基因構成基因有稱為等位基因的不同取值目標函數稱為適度函數一組染色體稱為群體遺傳演算法的一次迭代稱為一代遺傳演算法包括如下組成部分：

一個對參數空間編碼的符號串表示；一個評價符號串的適度函數；一組產生成新的符號串的遺傳操作；一組控制遺傳操作的概率值。

典型的遺傳演算法步驟有：（1）初始化隨機生成一個符號串群體。（2）基於適度函數對符號串進行評價。（3）應用一組遺傳操作生成一個新的符號串群體。（4）重複步驟（2）和（3）直到解答收斂。6.1簡單遺傳操作遺傳操作通過模擬進化和繼承過程而生成符號串（新的或舊的）。繁殖、交叉和突變是三個簡單遺傳操作，它們在實際應用中給出了很好的結果。6.1.1繁殖在大自然中，生命力最強的物種征服弱小的物種以確保其生存。運用這一適者生存的法則，繁殖操作在舊的群體中“隨機”選擇符號串生成一個新的群體。選擇並不是完全隨機的，它基於一個符號串相對於整個群體的適度值。假定一個群體有6個符號串，而且它們的適度值如下：注意，一個群體中的每個符號串不必是唯一的。fi/Σfi被視為符號串fi在下一代中存活的概率。這意味著具有較高適度值的符號串會有較大的存活機會。另外，在整個演算法運行過程中，一個群體的符號串數目是一個常數。繁殖操作生成的是一個同樣大小的群體。這意味著適度值較大的符號串最終會在群體中成為多數。實現上述選擇過程的一種方法是偏置輪盤。每個符號串在輪盤上佔有一格，而格的大小則與符號串的適度值成正比。在選擇一個新的符號串時，先轉動輪盤，待輪盤停下，落在標記處的格所對應的符號串被選中。輪盤轉動6次生成一代新的群體，且符號串的期望組合為基於期望次數，新的群體可能是｛A，A，A，B，C，C｝。很明顯，如果繁殖操作被重複運用，適度值較高的符號串最終會在整個群體中佔據主導地位。由於繁殖操作並不生成新的符號串，我們需要其他操作以探究新的解答。5.1.2交叉交叉操作利用了來自不同符號串的基因經由交配而混合，以產生新符號串的概念。由於基因表達了符號串的特性，如果不同符號串的“好的”特性得以結合，所得符號串可能會有更好的特性。

假定一個符號串的基因被排成一條直線則兩個符號串的交叉可按如下步驟進行：（1）隨機選擇一個將每個符號串斷開為兩部分的點（截點）。（2）交換符號串的後一部分。兩個具有其父母雙方基因成分的符號串由此生成。這一交叉操作是交換資訊、生成新解的簡單而有效的方法。需要注意的是，如果整個群體只有一種符號串，交叉操作不會生成任何新的符號串。可以利用突變操作來避免這種情況的發生。6.1.3突變隨機選取符號串中的一個基因，將其改變為一個不同的等位基因以生成一個新的符號串見圖。它將可變性引入群體，從而提供逃脫局部最小值的手段。一個僅應用突變操作的演算法等同於隨機搜索。

因為突變操作可以有很強的破壞性，並非總要用到它，而是由一個突變概率（Pm）來控制。與此類似的，交叉操作的運用也由交叉概率（Pc）來控制。一個簡單的遺傳演算法可歸納如下：（1）生成一個具有m個符號串的起始群體。（2）重複步驟（3）直至解答的適度值收斂。（3）生成一個新的m個符號串群體。步驟如下：①應用繁殖操作兩次，亦即用輪盤選出兩個符號串。②如果Pc＞rand［0，l］，則應用交叉操作於這一對符號串。③如果Pm＞rand［0，1]，則應用突變操作於這一對符號串。④將生成的兩個符號串加入新的群體。示例1:以求解下列函數的最大值為例。圖給出了函數f(x)在變數x取值[-2，2]時的曲線。f的最大值1.501564對應於

x=-0.507179。在運用遺傳演算法求解f的最大值時，可以將x（[2，-2]）的值用一個二近制數表達。一個16位的二進位數提供的解析度是每位(2-(-2))/(216-1)=0.000061。下式將變數域[2，-2]離散化為二進位數[0，65535]。其中b是[0，65535]中的一個二進位數。例如：0.93596在運用遺傳演算法求解例題給出的函數的最大值時，用到了繁殖、交叉和突變等三個遺傳操作。

繁殖操作由上節給出的偏置輪盤實現。交叉操作將兩個二值向量混合在一起，並生成兩個新的二值向量。在這裏我們採用最簡單的交叉形式，即隨機選取兩相鄰位之間作為截點，交換兩向量在截點後的尾部以獲取兩個新的向量。

例如，若選取截點如下（以||表示）：則兩個新的二進位量為：突變操作十分直截了當。給定一個二進位向量，隨機選取一位並將其反置即可。例如，若

1中帶下劃線的一位被選中，則突變後的新向量為

1′

在求解中用到了下列參數：群體大小=30；交叉概率=0.3；突變概率=0.01。從不同的起始群體出發，運用遺傳演算法100次。演算法找到最優解的成功率為80％。圖給出了一次成功運用的收斂過程。注意，經過400次選代，一個群體大小為30的遺傳演算法在終止時已經評價了400

30個二進位值向量（有些向量會重複出現）。例題2二元函數

此函數有無限個局部極大點，其中只有一個(0,0)為全局最大，最大值為1。引數的取值範圍為-100<x,y<100。此函數最大值峰周圍有一個圈脊，它們取值均為0.992083，因此很容易停滯在此局部極大點。但是只要達到一定的迭代次數最終結果會達到>0.9999。其模擬結果如表所示。

7換熱網路合成7.1換熱網路的作用和意義換熱是化工生產不可缺少的單元操作過程。對於一個含有換熱物流的工藝流程，將其中的換熱物流提取出來，就組成了換熱網路系統，其中被加熱的物流稱為冷物流，被冷卻的物流稱為熱物流。圖7-1所示的乙烯裂解氣甲烷化流程，把氫氣進料加熱到310℃，以便在反應器中進行反應。