軸對稱等邊三角形的判定?

三條邊都相等的三角形是等邊三角形例1

如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD＝BE＝CF，連接DE，EF，F(xiàn)D.求證：△DEF是等邊三角形．新課學習證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD.∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS)．∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等邊三角形．

1.如圖，△ABC是等邊三角形，分別延長AB至點F，BC至點D，CA至點E，使AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA．∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°.∵AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA，∴AF＝BD＝CE.∴AE＝BF＝CD.∴△AEF≌△BFD≌△CDE(SAS)．∴EF＝FD＝DE.∴△DEF是等邊三角形．?

三個角都相等的三角形是等邊三角形例2

如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E在邊AB，AC上，DE∥BC，△ADE是等邊三角形嗎？請說明理由．解：△ADE是等邊三角形．理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴∠ADE＝∠AED＝∠A．∴△ADE是等邊三角形．2.如圖，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.求證：△DEC是等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，AB∥DE，∴∠DEC＝∠B＝∠C.∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC.∴∠DEC＝∠C＝∠EDC.∴△DEC為等邊三角形．?

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形例3

如圖，在△ABC中，點D是AB上的一點，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求證：△ADC是等邊三角形．證明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.∵AD＝DC，∴△ADC是等邊三角形．

3.如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于點D，且DE＝DB.求證：△CEB是等邊三角形．證明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，∴∠CBE＝∠ABE＝60°.∵DE＝DB，BE⊥AC，∴AC垂直平分BE.∴BC＝CE.∴△CEB是等邊三角形．1．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

D

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④D基礎鞏固2．(2022·湘潭改編)如圖，小明在學了尺規(guī)作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段AB＝2，分別以點A，B為圓心，以AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D；②連接AC，BC，作直線CD，且CD與AB相交于點H.則下列說法錯誤的是(

D

)A．△ABC是等邊三角形B．AB⊥CDC．AH＝BHD．∠ACD＝45°D第2題圖3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AB于點D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)為

30°

?．第3題圖30°

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AE是∠BAC是的平分線，CD是AB邊上的高，請從圖中找出一個等邊三角形，并說明理由．5．如圖，AB＝AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為點E，且BE∥AC.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∵AB平分∠DAE，∴∠BAE＝∠BAD.∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE.∵AE⊥BE，∴∠E＝90°.又BE∥AC，∴∠EAC＝90°.∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°.∴∠BAC＝60°.∴△ABC是等邊三角形．6．【教材P83習題T12改編】在圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖1，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；

(2)如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，連接EF，試探究△CEF的形狀，并證明你的結論．(2)△CEF是等邊三角形．證明如下：由(1)知△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF.

∴△ACE≌△MCF(ASA)．∴CE＝CF.∵∠ECF＝180°－∠ACM－∠BCN＝60°，∴△CEF是等邊三角形．1．如圖，在△ABC中，下列條件能說明△ABC是等邊三角形的是(

C

)A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CDC．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC基礎提能2．已知a，b，c是三角形的三邊長，且滿足(a－b)2＋|b－c|＝0，則這個三角形一定是(

B

)A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形B3．如圖，在△ABC中，點D為BC延長線上的一點，∠A＝60°，∠ACD＝120°.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝60°.∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△ABC是等邊三角形．4．如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝CF，∠BDE＝30°.求證：△ABC是等邊三角形．

5．如圖，在等邊三角形ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結論．

?6．(2022·陽江市期末)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于點E，AD，BE相交于點F.(1)若∠BAC＝60°