小學奧數知識點趣味學習——整數的分拆整數的拆分，就是把一個自然數表示成為若干個自然數的和的形式，每一種表示方法，就是自然數的一個分拆。整數的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國內外數學競賽中，整數分拆的問題常常以各種形式出現，如，存在性問題、計數問題、最優化問題等。例1.電視臺要播放一部30集電視連續劇，若要求每天安排播出的集數互不相等，則該電視連續劇最多可以播幾天？分析與解：由于希望播出的天數盡可能地多，所以，在每天播出的集數互不相等的條件下，每天播放的集數應盡可能地少。我們知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數分別為1，2，3，4，5，6，7時，那么七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再單獨于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動某一天或某二天播出的集數，來解決這個問題。例如，各天播出的集數安排為1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以最多可以播7天。例2：有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們去支付2角3分。問：有多少種不同支付方法？分析與解：要付2角3分錢，最多只能使用4枚5分幣。因為全部1分和2分幣都用上時，共值12分，所以最少要用3枚5分幣。當使用3枚5分幣時，5×3=15，23-15=8，所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3種支付方法。當使用4枚5分幣時，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2種支付方法。總共有5種不同的支付方法。例3：把37拆成若干個不同的質數之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質數相乘，得到的乘積中，哪個最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10種不同拆法，其中3×5×29=435最小。說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，只是硬湊。比37小的最大質數是31，但37-31=6，6不能分拆為不同的質數之和，故不取；再下去比37小的質數是29，37-29=8，而8=3+5。其余的分拆考慮與此類似。例4：求滿足下列條件的最小自然數：它既可以表示為9個連續自然數之和，又可以表示為10個連續自然數之和，還可以表示為11個連續自然數之和。解：9個連續自然數之和是其中第5個數的9倍，10個連續自然數之和是其中第5個數和第6個數之和的5倍，11個連續自然數之和是其中第6個數的11倍。這樣，可以表示為9個、10個、11個連續自然數之和的數必是5，9和11的倍數，故最小的這樣的數是［5，9，11］=495。對495進行分拆可利用平均數，采取“以平均數為中心，向兩邊推進的方法”。例如，495÷10=49.5，則10個連續的自然數為45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。例5：若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個小球，然后把這些小球再放到小球數最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細查看，沒有發現有人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？分析與解：設原來小球數最少的盒子里裝有a只小球，現在增加到了b只，由于小明沒有發現有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一只裝有a個小球的盒子，這只盒子里原來裝有（a+1）個小球。同理，現在另有一個盒子里裝有（a+1）個小球，這只盒子里原來裝有（a+2）個小球。依此類推，原來還有一只盒子裝有（a+3）個小球，（a+4）個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數。現在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數？因為42=6×7，故可將42看成7個6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6個6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個加數。又因42=14×3，故可將42寫成13+14+15，一共有3個加數。又因42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個加數。于是原題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。例6：機器人從自然數1開始由小到大按如下規則進行染色：凡能表示為兩個不同合數之和的自然數都染成紅色，不符合上述要求的自然數染成黃色（比如23可表示為兩個不同合數15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數由小到大數下去，第2000個數是多少？請說明理由。解：顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應染黃色。下面說明其它自然數n都要染紅色。（1）當n為大于等于10的偶數時，n=2k=4+2（k-2）。由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）與4均為合數，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色。（1）當n為大于等于13的奇數時，n=2k+1=9+2（k-4）。由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）與9均為合數，且不相等。也就是說，大于等于13的奇數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色。綜上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個數染黃色外，其余自然數均染紅色，第k個染為紅色的數是第（k+10）個自然數（k≥2）。所以第2000個染為紅色的數是2000+10=2010。例7：把12分拆成兩個自然數的和，再求出這兩個自然數的積，要使這個積最大，應該如何分拆？分析與解：把12分拆成兩個自然數的和，當不考慮加數的順序時，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六種方法。它們的乘積分別是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。顯然，把12分拆成6+6時，有最大的積6×6=36。例8：把11分拆成兩個自然數的和，再求出這兩個自然數的積，要使這個積最大，應該如何分拆？分析與解：把11分拆成兩個自然數的和，當不考慮加數的順序時，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五種方法。它們的乘積分別是1×10=10，2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30。顯然，把11分拆成5+6時，有最大的積5×6=30。說明：由上