衡陽市八中2021年1月高三新高考第五次模擬考試

數學試卷

注意事項：本試卷滿分150分，時量為120分鐘

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的

X+]

1.已知集合4=*€^^-24“<4},B={x\——>0},則集合AC3中子集的個數是（）

3-x

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】

根據題意，求出集合M與N,進而由交集的定義求得MCN,結合集合的元素數目與集合的子集數目分析可

得答案.

【詳解】

根據題意，A={xGN|-2^x<4}={0,1,2,3）,

X+]

B={x|-----20}={x|TWx<3},

3-x

則ADB={0,1,2）,

則集合AnB中子集的個數是2邑8；

故選B.

【點睛】

本題考查集合的交集計算，關鍵是求出集合M、N,屬于基礎題.

2.復數用二（）

A.iB.-iC.2(V2+i)D.1+/

【答案】A

【解析】

(V2+Q(l+V2z).

試題分析:原式=(1-何(1+后-’故選A.

考點：復數.

3.為做好社區新冠疫情防控工作，需將四名志愿者分配到甲、乙、丙三個小區開展工作，每個小區至少分

配一名志愿者，則不同的分配方案共有（）種

A.36B.48C.60D.16

【答案】A

【分析】

根據題意可知必有二名志愿者去同一小區開展工作，結合排列數的定義進行求解即可.

【詳解】

4x3

根據題意可知必有二名志愿者去同一小區開展工作，因此有c：=-y-=6種方式，

所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三個小區開展工作，每個小區至少分配一名志愿者共有

C1A；=6x3x2x1=36種方式.

故選：A

【點睛】

本題考查了組合與排列的應用，屬于基礎題.

4.攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式.宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.依其平面有圓形攢尖、三角

試卷第2頁，總31頁

攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑.如圖所示，某園林建筑為六角

攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，若此正六棱錐的側面等腰三角形的底角為a,則側

棱與底面外接圓半徑的比為（）

【答案】A

【分析】

根據正六棱錐的底面為正六邊形計算可得結果.

【詳解】

正六棱錐的底面為正六邊形，設其外接圓半徑為R，則底面正邊形的邊長為R,

因為正六棱錐的側面等腰三角形的底角為a,

R

所以側棱長為3二R,

cosa2cosa

R

所以側棱與底面外接圓半徑的比為2cosa「L

R2cosa

故選：A

【點睛】

關鍵點點睛：掌握正六棱錐的結構特征是解題關鍵.

5.新冠肺炎期間某商場開通三種平臺銷售商品，收集一月內的數據如圖1;為了解消費者對各平臺銷售方

式的滿意程度，該商場用分層抽樣的方法抽取4%的顧客進行滿意度調查，得到的數據如圖2.下列說法錯

誤的是（）

A.樣本容量為240

B.若樣本中對平臺三滿意的人數為40,則利=40%

C.總體中對平臺二滿意的消費者人數約為300

D.樣本中對平臺一滿意的人數為24人

【答案】B

【分析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.求出樣本容量為240判斷選項A的正誤;求出相=40判斷選項B的正誤；

計算出總體中對平臺二滿意的消費者人數約為300判斷選項C的正誤；計算出樣本中對平臺一滿意的人數

為24人判斷選項D的正誤.

【詳解】

選項A,樣本容量為6000x4%=240,該選項正確；

40

選項B,根據題意得平臺三的滿意率——--=40%,加=40,不是加=40%,該選項錯誤；

2500x4%

選項C,樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對平臺二滿意人數約為1500x20%=300,該選

項正確；

選項D,總體中對平臺一滿意人數約為2000x4%x30%=24,該選項正確.

試卷第4頁，總31頁

故選:B.

【點睛】

本題主要考查分層抽樣，考查用樣本估計總體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

6.若log“g<2,則。的取值范圍是()

A.(^^,1)(1,+oo)B.(0,2^1)C.D.(0,"^)u(l,+°°)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據對數函數對底數的要求，及對數的單調性特征，分段討論a的取值情況，分別解不等式即可求得a的范

圍。

【詳解】

因為log。g<2

1,

所以log“5<log?a-

i/n

當0va<l時，對數函數為減函數，所以二>。2,可得0<&〈絲

22

當時，對數函數為增函數，所以,<。2,可得

2

綜上所述，。的取值范圍為0,U（l,+oo）

所以選D

【點睛】

本題考查了對數函數大小的判斷，注意對數的底數對單調性的影響，屬于中檔題。

7.若。為八46。所在平面內任意一點，且滿足8c（OB+OC-2Q4）=0,則ASC一定為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【分析】

由向量的線性運算可知08+0。一2。4=AB+AC，所以8c?（AB+AC）=O,作出圖形，結合向量加

法的平行四邊形法則，可得BCJ_AD，進而可得/3=AC，即可得出答案.

【詳解】

由題意，OB^OC-2OA=（OB-OA^+（OC-O/^=AB+AC,

所以BC-（AB+AC）=O,

取BC的中點￡）,連結AO,并延長AD到E,使得|人。=|。耳，連結BE，EC,則四邊形ABEC為

平行四邊形，所以A8+AC=AE.

所以BC-AE=O,即BCLA。，

故AB=AC,A6C是等腰三角形.

故選：C.

試卷第6頁，總31頁

A

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查平面向量的性質，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

8.已知函數/(%)=(/+2x)(/+勿+份,且/(%-3)是偶函數，若函數g(x)=/(%)+用有且只有4個

零點，則實數加的取值范圍為()

A.(-16,9)B.(-9,16)c.(-9,15)D.(-15,9)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數/(X)的圖象對稱性，解得。,力的值，化簡函數的解析式為/(x)=[(x+3)2-5]2-16,令

(X+3)2=?,/>0,把函數g(%)=/(%)+加有且只有4個零點，轉化為g(x)=/z⑺+加在區間。+00)上

有兩個零點，即可求解.

【詳解】

由題意，函數/(x)=(f+2x)(x2+以+。)，且/(%-3)是偶函數，

所以函數7'(x)的圖象關于x=—3對稱，則/(-6)=/(0),/(T)=/(-2),

24x(36—6a+Z?)=0

所以《,解得a=10,8=24,

[8x(16-4a+與=0

此時函數/(x)=(x2+2x)(x2+10x+24)=x(x+2)(x+4)(x+6)=(x2+6x)(x2+6x+8)

22

=(x+6x>+8(%2+6月=[(%+3)2_殲+8[(x+3)-9]

=(x+3)4-10(x+3)2+9=[(x+3>-5F-16,

令(x+3)2=rjN0,則/"(x)=〃(r)=(r—5)2—16,tN0,

因為函數g(%)=/。)+用有且只有4個零點，且/(x)的圖象關于*=—3對稱,

即函數g(x)=/(X)+機的圖象在(-,3+0O)有兩個零點，

所以g(X)=〃⑺+加在區間(0,+00)上有兩個零點，

即y=h(t)與y=一6的圖象在(0,+8)有兩個交點，

當”0時，〃(0)=9,/?(5)=-16,如圖所示，

則—9<—m<16,解得—16v/篦v9,

即實數成的取值范圍是(一16,9),故選A.

【點睛】

試卷第8頁，總31頁

本題主要考查了函數的基本性質的應用，以及函數與方程的綜合應用，其中解答中熟練應用函數的性質，

求得函數的解析式，合理利用換元法和二次函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問

題的能力，屬于中檔試題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.函數/(x)=sin%+gcosx的()

(27T\

A.圖象對稱中心為一—+k兀,。(keZ)

I37

57r

B.增區間為----+2br,—+2%乃(ZEZ)

66

JI

C.圖象對稱軸方程為x=——+k7T,ksZ

3

D.最大值是2,最小值是-2

【答案】ABD

【分析】

化簡函數/(X)=2sin(X+()再利用函數的性質，即可得答案；

【詳解】

(八

/(x)=2sin/+一,

\37

JT7T27r

對A,當1H—=kjr=>x------Fkjv—------卜伏一X)7t,故A正確；

333

對B?-----F<XH—<—F2左%,解得：215-------<x<—F2左乃故B正確；

232669

')ITT)L

對C,當xd—=—I■左萬時，x=—卜k/c,kGZ,故C錯誤；

326

對D,/(初儂=2,/(X)min=一2，故D正確；

故選：ABD.

【點睛】

本題考查三角恒等變換、三角函數的圖象與性質，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解

能力.

10.若過點(-2,1)的圓M與兩坐標軸都相切，則直線3x-4y+10=0與圓M的位置關系可能是()

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【答案】AB

【分析】

圓M與兩坐標軸都相切，且點(-2,1)在該圓上，列方程，可求得圓的方程，得到圓心坐標分別為：(-1,1)

或(-5,5),然后，利用圓心到直線的距離，分情況討論即可

【詳解】

因為圓M與兩坐標軸都相切，且點(-2,1)在該圓上，所以可設圓”的方程為。+“)2+°，/)2="2,所以

(-2+a)2+(l-a)2="2,即”2_6a+5=0,解得a=1或a=5.當圓心坐標為(-1,1)時，圓的半徑為1,所以圓心到

.3

直線3x-4y+10=0的距離為《<1；當圓心坐標為G5,5)時，圓的半徑為5,所以圓心到直線3?4)，+10=0的

25

距蜀為—5.

故選：AB

+丫？

11.已知x〉y>0,xy=l9則---L的最小值和此時x、V應取的值為().

A.最小值為|B.最小值為2拉

「31V6+V2R—V2

C.x=~,y=-D?x=-------------，y=-------------

22272

試卷第10頁，總31頁

【答案】BD

【分析】

v-2,22

根據條件，將——二變形為(％一>)+——，利用基本不等式求解最值，并確定取等條件.

x-yx-y

【詳解】

x2+y2x1+y2-2xy+2xy(x-y)2+2/、2

===*_,)+-------,

x-y------------x-y-----------------x-y-------------------x-y

2r~2

vx>^>0,Ax-y>0,(x-3,)+-——2V2,且當尤-y=-------時等號成立，

x-yx-y

.^6+V2V6—>/2

,?x-，y=，

22

故選：BD

12.已知正方體ABC。-44GA的棱長為2,點。為AQ的中點，若以。為球心，而為半徑的球面與

正方體ABC。—AgG2的棱有四個交點E,F,G,H,則下列結論正確的是()

A.AR〃平面EFGH

B.AC_L平面EPG”

C.4月與平面EFGH所成的角的大小為45°

D.平面￡FGH將正方體分成兩部分的體積的比為1：7

【答案】ACD

【分析】

如圖，計算可得瓦F,G,H分別為所在棱的中點，利用空間中點線面的位置關系的判斷方法可判斷A、B

的正確與否，計算出直線AB與平面所成的角為45。后可得C正確，而幾何體-CG廣為三棱

柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

如圖，連接。4,則=4+1=石,故棱AA，4A，22A。與球面沒有交點.

同理，棱A4,8c1,￡2與球面沒有交點.

因為棱AR與棱BC之間的距離為20＞石，故棱3C與球面沒有交點.

因為正方體的棱長為2,而2＜指，

球面與正方體ABCQ-ABCQI的棱有四個交點E,F,G,H,

所以棱AB,C￡＞,C,C,B】B與球面各有一個交點，如圖各記為E,F,G,H.

因為△OAE為直角三角形，故A￡=JOEZ—8Z=J6—5=］，故E為棱AB的中點.

同理F,G,"分別為棱CO,GCg8的中點.

由正方形A8CZ）、瓦F為所在棱的中點可得E廣〃3C,

同理G”〃bC,WEFIIGH,故瓦￡G,H共面.

由正方體ABC?！?4G口可得ADJ/BC,故A\D\〃EF

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因為A。<Z平面EFG”，EFu平面EFGH,故平面EFG”,故A正確.

因為在直角三角BA|C中，"=2日BC=2,=90°>

4。與3c不垂直，故4。與GH不垂直，故A,C_L平面EFG”不成立，故B錯誤.

由正方體ABCO-ABCQI可得8CL平面而ABu平面A443,

所以8C_LA8,所以

在正方形AAgB中，因為￡H分別為AB,8g的中點，故

因為即EH=E,故4B_L平面瓦'G”，

所以ZBEH為直線AB與平面EFGH所成的角，而ZBEH=45°,

故直線A8與平面EFGH所成的角為45。，

因為AB//A}Bt,故4片與平面EFGH所成的角的大小為45。.故C正確.

因為E,￡G,H分別為所在棱的中點，故兒何體廣為三棱柱，

其體積為，xlxlx2=l,而正方體的體積為8,

2

故平面EFGH將正方體-分成兩部分的體積的比為1：7,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計算和體積的計算，注意根據球的半徑確定哪些棱與球面有交

點，本題屬于中檔題.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在2x（x-Ip展開式中含*3的系數是.（用數字作答）

【答案】-20

【解析】

試題分析：只需求（無一1）’的展開式中含f的系數即可，由于卻「（一1）',令5f=2則廠=3,所

33

以在2x（x-1）'展開式中含/的系數是2C5（-1）=-20,故答案應填—20.

考點：二項式定理.

14.若曲線y=e'在x=0處的切線，也是y=lnx+匕的切線，則。=.

【答案】2.

【分析】

求出y=d的導數，求得切線的斜率，可得切線方程，再設與曲線y=Inx+b相切的切點為（/，%），求

得函數y=lnx+匕的導數，由導數的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得

%,用的值，進而得到〃的值.

【詳解】

由＞=6*,得y'=e*,

曲線y=e"在》=0處的切線斜率為A=1,

則曲線y=e"在x=O的切線方程為y=x+l,

y=lnx+Z?的導數為V=1,

X

設切點為（*0,No），則—二1，

xo

試卷第14頁，總31頁

解得％=1,%=2,

即有2=lnl+Z?,得b=2.

故答案為：2

【點睛】

本題考查了基本初等函數的導數以及導數的幾何意義，屬于基礎題.

15.已知數列｛4｝滿足4=1,用=2"("eN*),S.為數列｛%｝的前〃項和，則S2022=

【答案】3x2'°"-3

【解析】

【分析】

由％==2",令〃=1,求得的的值，=2",得a,",t=2"T,兩式相比，即得—=2,

an-\

從而求得數列｛4｝的前2022項和S2022.

【詳解】

a.

V,a?an+,=2",令〃=1,求得利=2,當〃上2時=2"—,：.^-=2數列｛%｝的奇數項成等

an-\

比數列，偶數項成等比數列;

,0112(1-2叫

1-2\------i=3x2,0"-3.

則52022

1-21-2

【點睛】

考查由遞推公式求數列中的性質，，解決方法，體現了分類討論的思想方法，屬基礎題.

22

16.已知雙曲線'-六=1(。＞0力＞0)的左右焦點分別為6，尸2,過鳥的直線交雙曲線的右支于P，Q

Q

兩點，且忸。|=百伊可|,則雙曲線的離心率為.

【分析】

先根據題意得|。用=2儼用，再根據雙曲線的定義得|。耳|=號，仍用=￡,再在狡。耳月中，利用

勾股定理即可求得e=叵.

4

【詳解】

解：如圖，

Q

可設P,Q為雙曲線右支上一點,由PQ，PK,IPQ|=用，

在直角三角形尸片Q中，|Q用=而布而『=2歸耳|，

由雙曲線的定義可得：2a=|尸周一|P用=也用一|Q閭，

QQ

由1尸0=石1尸周，即有歸段+1。段=辦12用，

17Q

即為|P用-2。+石歸司-2a=石|P周，

??.(1-2+2)|P凰=4%解得上用=當，忱用=|牛|一2a=(

\1313/乙乙

試卷第16頁，總31頁

V26

由勾股定理可得:2c=|耳聞=

可得e=H.

故答案為：叵

4

【點睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,

一般求離心率有以下兒種情況：①直接求出a",從而求出e；②構造&,c的齊次式，求出e；③采用離心率的

定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據圓錐曲線的統一定義求解.本題中，根據雙曲線的定義及勾股定理

可以找出凡c之間的關系，求出離心率e.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

B+c

17.(本小題10分)在條件①cosAcos6+cosC=2sinAcos6,(2)Z?sin------=?sinB,③

--2一

要+csii?"C=中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.

224

在ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，h,C,a=2舊,b=2c,,求A6C的面積.

【答案】選①，S.c=4；選②，S,?c=—；選③，SABC=—

【分析】

根據選擇的條件，利用正余弦定理，求出邊長，再利用面積公式即可求出.

【詳解】

解：選擇①

cosAcosB+cosC=2sinAcosZ?,

cosAcosB—cos(A+=2sinAcosB,

即cosAcosB—cosAcos6+sinAsinB=2sinAcosB，

化簡得：2sinAcosB=sinAsinB,

又sinAw0,

/.tanB=2,

即cosB=—，sinB=，

55

/.a-2>/5，b=2c,

由余弦定理得：(2c『=/+(2百了一2xcx2石xg,

解得：c=2,6=4,

A8c的面積為S='acsinB=4；

2

選擇②

8sin^^=asinB,

2

由正弦定理可得sin5sin史￡=sinAsin5,

2

又sin3K0,

二.sin^=sinA,

2

由A+3+C=180°,

.?.sinXA

=cos—

22

口rAceAA

即cos—=2sin—cos—，

222

COS—7^0,

2

試卷第18頁，總31頁

A1

即sin—=-，A=60°，

22

2l

由余弦定理得（2逐）=C2+（2C）2-2XCX2CX5,

2而,4vB

解得：c=-------，h=--------，

33

A6c的面積為5=!/?05m4;

23

選擇③

由Qsin2'+'+csin2'+。='b及A+B+C=冗,

224

17CoA5,

得：acos~—+ccos—=--b,

224

,1+cosC1+cosA5,

即OIa-----------+c-----------=-b,

224

由正弦定理得：sinA+sin/4cosc+sinC+cosAsinC=—

2

33

/.sinA+sinC=—sinB,即Q+C=一人，

22

b=2c,

Cl—,

由。=2>/5，得：a=h=2后,c=2逐，

_b2+a2-c27

「?cosC=---------------=—

2ah8

.c1V15

sinC=1--=-----，

4Vl8j8

ABC的面積為S=！q〃.「5岳

sinC=--------

24

【點睛】

方法點睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現“邊化角”，二是利用余弦定理實現“角化邊”；

求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求

最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.

18.(本小題12分)設｛%｝是等比數列，公比大于0,其前八項和為S,,(〃wN*),｛2｝是等差數列.已知

4=1,%=4+2,="+瓦,+2b6.

(1)求｛4｝和色“｝的通項公式；

(2)設數列｛S,J的前〃項和為7；(〃eN*),

(i)求T,;

(ii)設數列｛2｝的前n項和為R.(〃wN*),若&+T“=b“+4a”,求正整數〃的值.

n+,

【答案】(1)%=2"-，％=〃；(2)(i)Tn=2-n-2,(ii)4.

【分析】

(1)先根據q=l，%=%+2解出數列｛4｝的通項公式，然后將由，%的值代入求解4和公差,得出

數列｛勿｝的通項公式；

(2)⑴利用等比數列的求和公式先求出等比數列的前〃項和S“，再求解7；；

(ii)利用等差數列的求和公式求出火“，將尺”、北、4和4等代入(+看="+4勺,解方程即可.

【詳解】

(1)設等比數列｛q｝的公比為4.由6=1,%=4+2，

可得^一4一2=0因為q〉0,可得q=2,故凡=2小，

試卷第20頁，總31頁

設等差數列｛2｝的公差為d,由。4=打+用，可得4+34=4,

由的=d+2/可得，34+131=16,從而優=1,d=l,故a=",

所以數列｛4｝的通項公式為%=2小，數列｛a｝的通項公式為

1_2n

(2)⑴由(1)可知4=2"-，則S=----=2"-1，

"1-2

故7；=力(2?_1)=￡2*_〃=2X(1_2")_〃=2"+I_/_2.

4=1*=i1-2

(ii)因為么=",所以凡,由&+7；=仇+44,得〃('；1)+2向-〃—2=“+2向

2

整理得：n-3n-4=0>

解得〃=4或〃=—1(舍)，

所以”的值為4.

【點睛】

本題考查等差數列、等比數列的綜合運用，要熟練運用等差數列等比數列的通項公式、前八項和公式是關

鍵.

19.(本小題12分)紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數V

和平均溫度%有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

平均溫度X/℃21232527293133

平均產卵數y/個711212466115325

z=\ny1.92.43.03.24.24.75.8

產卵數

400-

350-.

300-

250-

200-

150-

100-?

50-.?

*

0認?],]----1-----1-----1---1-----1-----1_＞、目q

202224262830323436溫度

(1)根據散點圖判斷，,="+4與了=。0%'(其中e=2.718…為自然對數的底數)哪一個更適宜作為

平均產卵數y關于平均溫度工的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并由判斷結果及表中數

據，求出，關于X的回歸方程.(計算結果精確到0.01)

(2)根據以往統計，該地每年平均溫度達到28。。以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情

況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28。。以上的概率為“.記該地今后5年中，恰好需要3次

人工防治的概率為/(p),求/(〃)的最大值，并求出相應的概率“。.

附：回歸方程。=法+吉中，b---------------------=-24；-----------二一，%=y一務x.

%)-3”展

/=li=\

參考數據

777

2柘

yZ

/=|/=11=1

52151771371781.33.6

【答案】(1)￥=￡。33-53

試卷第22頁，總31頁

(2)當p=|時,

【分析】

（1）根據散點圖判斷丁=。/〃更適宜作為y關于x的回歸方程類型；對丁=。6'〃兩邊取自然對數，求出回

歸方程，再化為y關于X的回歸方程；

（2）由/（P）對其求對數，利用導數判斷函數單調性，求出函數的最值以及對應的〃值.

【詳解】

解：（1）由散點圖可以判斷，y=ce""適宜作為卵數y關于溫度》的回歸方程類型.

對y=ce"兩邊取自然對數，得lny=lnc+6Zr,

由數據得-7%z=36.6,2卜一%)=Zx；-7)=112,

i=\i=I'f=l

7xz366

所以d=T^=TFr"033，lnc=z-dx=-5.31，

U2

i=\

所以z關于l的線性回歸方程為z=0.33x-5.31，

'關于X的回歸方程為y=*337.31

（2）由〃p）=C；,p3（］_〃）2得/（#=仁./（1_〃）（3_5〃）,

3

因為ovpvi,令.,（，）>0得3P—5>0,WWO<p<-；

所以“〃）在上單調遞減，在R，1］上單調遞增，

\5/\5）

所以,（，）有唯一的極大值為/-，也是最大值；

\57

33216

所以當P=W時，”P)max=/

5625

【點睛】

本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了概率的計算與應用問題，屬于中檔題.

20.（本小題12分）如圖，在四棱錐E--"。中，底面ABCC為正方形，一平面C0E,已知4E=DE=2,

廠為線段班的中點.

（1）求證：BE平面XCF;

（2）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.

【答案】證明：（1）見解析；（2）二面角C—BF—E的平面角的余弦值為一等.

【解析】試題分析：（1）注意做輔助線，連結BD和AC交于0,連結。尸，根據。為助中點，F為DE

中點，得到OFBE,即證得屆，平面KCF；（2）應用已知條件，研究得到CD14D,CD一平面ZUE,

CDIDE,創造建立空間直角坐標系的條件，通過以。為原點，以。E為久軸建立如圖所示的坐標系，應用“向

量法”解題；解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培

養，能從“非規范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標系的條件.

試題解析：證明：（1）連結和4C交于O,連結。尸，

???4BCD為正方形，為她中點，:F為DE中點,

.-.OF!!BE,

試卷第24頁，總31頁

VBE仁平面ACF,OFu平面4CF

平面dC5.

(2)HE一平面CDE，CDu平面CDE，HE_CD,

???ABC。為正方形，CD1AD,

vAEOAD=A,4D,4Eu平面ZUE,

CD一平面DAE，

VDEu平面DAE,CD1DE

???以。為原點，以。石為x軸建立如圖所示的坐標系，

則E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0)

?.?dE，平面CDE,DEu平面CDE,.?.AEIDE

???AE±DE,AD=2V2

「力BCD為正方形，4D=2迎，石=(Xi，%,Zi)

由4BCD為正方形可得：DB=~DA+DC=(2,2>/2,2),AD=2>/2

設平面的法向量為元=(X],y1,Zi)

BE=(0,-2V2,-2)，[AD=272

由白噂UTT烈二k。,令y1,則ZL夜

（九1?FE—0I與一U

???元=(0,1,一。

設平面BEF的法向量為可=（X1,y1,z1'）,

BC=(-2,0,-2),CF=(1,-2V2,0)

,fnj-BC=0(-2X-2Z=0

N22令y1=1,則Z]=—\[2,z=-2V2

(nJ-CF=0=J-2\[2y2=02

.?.芯=(2夜,1,-20

設二面角C-BF-E的平面角的大小為仇則

cos。=cos（7r-<西雨>）=一cos<耳底>=一=一7^=一警

.??二面角C一BF-E的平面角的余弦值為一粵

考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義及計算，空間向量的應用.

八X2V2,.,石

21.（本小題12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓c：/+%?=1（。>人>0）的離心率e,

且橢圓C上的點到其焦點的距離的最大值為2+0,過點M（3,0）的直線交橢圓C于點A、B

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P為橢圓上一點，且滿足。4+O3=/OP（O為坐標原點），當|A@</時，求實數1的取值

范圍.

【答案】（1）9+y2=1；（2）或仆

【解析】

試題分析：（I）利用橢圓性質求最值，求得相應值；（H）先由點P在橢圓上建立實數t與直線4B的斜率k之

間的關系，再由「正卜"求得k的范圍，進而求得實數t的取值范圍.

試卷第26頁，總31頁

試題解析：（I）?:e=±=B（1分）

a2

橢圓C上的點到其焦點的距離的最大值為a+c=2+y/3（2分）

解得”=2,c=g（3分），橢圓方程是二+-=1（4分）

4'

（II）設義與j/P（xj）一四方程為j=Hx-3）,

\=k（x-3）,

由，X22

---+=1.

14.

整理得（1+4二）x：-24Mx+36M-4=0.（5分）

由A=24kzk4-l6（9合一1）（1+4左：）＞0,得kYL

24k2交一（6分）

西+乂=-----

*1+4K1+鏟

?1-QT+08=（再+巧J1+打）=t（x,J）

E1/、2&

則X=一（再+心）=------—,

t1*X1+4t）

11一6”

廣產+川:收+七…+^^.（7分）

由點p在橢圓上’得?山（:，尸

化簡得36M=r（1+4二）①（8分）

又由艮B|=Jl+K|x1-x21〈道\

即(1+K)l(玉+玉)~將再+七，七士代入得

24%4（36合一4）

Q+爐）<3,（9分）

（1+4F71+4好

化簡，W（8Jt:-lX16Jt2+13）X

則8好一1>0.M>1,（10分）

8

85

由①，得『=坐1=9——

1+4左，1+4左一

聯立②，解得3<，;<4,，_2?_6或斥<2.(12分)

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.弦長公式.

22.(本小題12分)已知函數/(x)=e*—Q/-b%(Q>0,bE/?).

(1)若Q=1,b=0,試證明：當％>0時，/(%)>0；

(2)若對任意Q>0,/(%)均有兩個極值點%1，%2(X1<X2)*

①試求b應滿足的條件；

②當a=：時，證明：/(%I)+/(%2)>2.

【答案】(1)見解析(2)①.b>1,②.見解析

【解析】

【分析】

(1)求出導數/'(X),求出其最小值，由最小值大于0,從而證明出結論.

(2)①首先/'(乃=0有兩個不等的實根，再用導數研究f'(x)=g(x)的性質，求導g'Q),利用g'(x)的正負

確定9。)的單調性及最小值點，在b>l時，計算出g(0)<0,9(-*)>0,g(a+Va?+b)>0,由零點存在

試卷第28頁，總31頁

定理可得((x)