2024屆遼寧省阜新二中數學高一第二學期期末學業質量監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．3．已知數列是等比數列，若，且公比，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．P是直線x+y+2=0上任意一點，點Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+25．設,則()A． B．C． D．6．下列說法中正確的是(

)A．棱柱的側面可以是三角形B．正方體和長方體都是特殊的四棱柱C．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形D．棱柱的各條棱都相等7．有一個內角為120°的三角形的三邊長分別是m，m+1，m+2，則實數m的值為（）A．1 B． C．2 D．8．已知向量滿足：，，，則（）A． B． C． D．9．一個學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應從高三學生中抽取的人數為：A．100 B．80 C．60 D．4010．已知函數，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設集合，它共有個二元子集，如、、等等．記這個二元子集為、、、、，設，定義，則_____．（結果用數字作答）12．數列滿足：（且為常數），，當時，則數列的前項的和為________.13．我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”，即的，其中分別為內角的對邊.若，且則的面積的最大值為____．14．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.15．從原點向直線作垂線，垂足為點，則的方程為_______.16．已知數列滿足，若對任意都有，則實數的取值范圍是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，且，.（1）求函數和的解析式；（2）求函數的遞增區間；（3）若函數的最小值為，求λ值.18．已知數列為等差數列，是數列的前n項和，且，．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和．19．已知數列，.(1)記，證明:是等比數列；(2)當是奇數時，證明:；(3)證明:.20．如圖，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援？（角度精確到1°，參考數據：，）21．已知圓的半徑是2，圓心為.（1）求圓的方程；（2）若點是圓上的動點，點在軸上，的最大值等于7，求點的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

首先根據降冪公式把等式右邊降冪你，再根據把換成與的關系，進一步化簡即可．【題目詳解】，，,選A.【題目點撥】本題主要考查了二倍角，兩角和與差的余弦等，需熟記兩角和與差的正弦余弦等相關公式，以及特殊三角函數的值是解決本題的關鍵，屬于基礎題．2、C【解題分析】

由可得,代入求解可得,則,進而利用誘導公式求解即可【題目詳解】由可得,即,所以,因為,所以,則,故選:C【題目點撥】本題考查垂直向量的應用,考查里利用誘導公式求三角函數值3、C【解題分析】

由可得，結合可得結果.【題目詳解】，，，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數列的通項公式，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.4、D【解題分析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據圓上的點到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結果.【題目詳解】因為圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【題目點撥】該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，圓上的點到直線的距離的最小值問題，屬于簡單題目.5、C【解題分析】

函數，函數且，求出【題目詳解】因為且且所以故選：C【題目點撥】本題考查的是與反三角函數有關的定義域問題，較簡單.6、B【解題分析】試題分析：棱柱的側面是平行四邊形，不可能是三角形，所以A不正確；球的表面就不能展成平面圖形，所以C不正確；棱柱的側棱與底面邊長不一定相等，所以D不正確.考點：本小題主要考查空間幾何體的性質.點評：解決此類問題的主要依據是空間幾何體的性質，需要學生有較強的空間想象能力.7、B【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.【題目詳解】在三角形中，由余弦定理得：，化簡可得：，解得或（舍）.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了方程思想，屬于基礎題.8、D【解題分析】

首先根據題中條件求出與的數量積，然后求解即可.【題目詳解】由題有，即，，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了向量的模，屬于基礎題.9、A【解題分析】

根據分層抽樣的方法，得到高三學生抽取的人數為，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學生抽取的人數為人，故選A．【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的應用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、D【解題分析】

根據正弦函數的性質，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應的點是最值點，然后再對應圖象取值.【題目詳解】，因為正弦函數對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【題目點撥】本題主要考查正弦函數的圖象，還考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1835028【解題分析】

分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時，對應的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結合數列求和思想求出結果.【題目詳解】當二元子集較大的數為，則較小的數為；當二元子集較大的數為，則較小的數為、；當二元子集較大的數為，則較小的數為、、；當二元子集較大的數為，則較小的數為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡得，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查新定義，同時也考查了數列求和，解題的關鍵就是找出相應的規律，列出代數式進行計算，考查運算求解能力，屬于難題.12、【解題分析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數列的和.【題目詳解】數列滿足：（且為常數），，當時，則，所以（常數），故，所以數列的前項為首項為，公差為的等差數列.從項開始，由于，所以奇數項為、偶數項為，所以，故答案為：【題目點撥】本題考查了由遞推關系式求數列的性質、等差數列的前項和公式，需熟記公式，同時也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.13、【解題分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【題目詳解】因為，所以整理可得，由正弦定理得因為，所以所以當時，的面積的最大值為【題目點撥】本題用到的知識點有同角三角函數的基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學生分析問題的能力和計算整理能力．14、【解題分析】

根據，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【題目詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.15、.【解題分析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時的斜率關系可求得直線的斜率.再根據點斜式即可求得直線的方程.【題目詳解】從原點向直線作垂線,垂足為點則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關系可知根據點斜式可得直線的方程為化簡得故答案為:【題目點撥】本題考查了直線垂直時的斜率關系,點斜式方程的應用,屬于基礎題.16、【解題分析】

由題若對于任意的都有，可得解出即可得出．【題目詳解】∵，若對任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案為．【題目點撥】本題考查了數列與函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）遞增區間為，（3）【解題分析】

（1）根據向量的數量積坐標運算，以及模長的求解公式，即可求得兩個函數的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡后，將其轉化為余弦型三角函數，再求單調區間即可；（3）求得的解析式，用換元法，將函數轉化為二次函數，討論二次函數的最小值，從而求得參數的值.【題目詳解】（1），.（2）令，得的遞增區間為，.（3）∵，∴..當時，時，取最小值為－1，這與題設矛盾.當時，時，取最小值，因此，，解得.當時，時，取最小值，由，解得，與題設矛盾.綜上所述，.【題目點撥】本題主要考查余弦型三角函數的單調區間的求解，含的二次型函數的最值問題，涉及向量數量積的運算，模長的求解，以及二次函數動軸定區間問題，屬綜合基礎題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由等差數列可得,求得,即可求得通項公式；（2）由（1）,則利用裂項相消法求數列的和即可【題目詳解】解:（1）因為數列是等差數列,且,,則,解得,所以（2）由（1）,,所以【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式,考查裂項相消法求數列的和19、(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解題分析】

（1）對遞推關系進行變形得，從而證明是等比數列；（2）由(1)得，代入所證式子，再利用放縮法進行證明；（3）由(2)可知，對分偶數和奇數計論，放縮法和等比數列求和，即可證明結論.【題目詳解】(1)∵，∴，且所以，數列是首項為，公比為3的等比數列.(2)由(1)可知當k是奇數時，(3)由(2)可知，當為偶數時，當為奇數時，所以.【題目點撥】本題考查等比數列的定義證明、等比數列前項和、不等式的放縮法證明，考查轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的突破口.20、乙船應朝北偏東約的方向沿直線前往處救援.【解題分析】

根據題意，求得，利用余弦定理求得的長，在中利用正弦定理求得，根據題目所給參考數據求得乙船行駛方向.【題目詳解】解：由已知，則，在中，