第四章數列知識點總結

4.1數列的概念.............................................................-1-

第1課時數列的概念及簡單表示法.......................................-1-

第2課時數列的遞推公式與外和8的關系................................-7-

4.2等差數列..............................................................-14-

4.2.1等差數列的概念...................................................-14-

4.2.2等差數列的前。項和公式..........................................-24-

4.3等比數列..............................................................-35-

4.3.1等比數列的概念...................................................-35-

4.3.2等比數列的前n項和公式..........................................-44-

4.4*數學歸納法.........................................................-53-

4.1數列的概念

第1課時數列的概念及簡單表示法

1.數列的概念及一般形式

思考：(1)數列的項和它的項數是否相同？

⑵數列1,2,3,4,5,數列5,3,2,4,1與｛1,2,3,4,5｝有什么區別？

提示］(1)數列的項與它的項數是不同的概念.數列的項是指這個數列中的某一個確定

的數，是一個函數值，而項數是指該數列中的項的總數.

(2)數列1,2,3,4,5和數列5,3,2,4,1為兩個不同的數列，因為二者的元素順序

不同，而集合｛1,2,3,4,5｝與這兩個數列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集

合中的元素具有無序性.

2.數列的分類

類別含義

按項的個有窮數列項數有限的數列

數無窮數列項數無限的數列

遞增數列從第2項起，每一項都大王它的前一項的數列

遞減數列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列

按項的變

常數列各項都相等的數列

化趨勢

從第2項起，有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項

擺動數列

的數列

3.數列的通項公式

如果數列｛a,,｝的第〃項a,,與它的序號〃之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這

個式子叫做這個數列的通項公式.

4.數列與函數的關系

從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如下表:

定義域正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)

解析式數列的通項公式

自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時,對應的一列函數值構

值域

成

表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法;(3)圖象法

思考：數歹!的通項公式a=F(〃)與函數解析式尸F(x)有什么異同？

［提示］如圖，數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,…，力)為定義域的

函數，a〃=f(〃)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值.不同之處是定

義域，數列中的〃必須是從1開始且連續的正整數，函數的定義域可以是任意非空數集.

類型一數列的概念與分類

【例1】(1)下列四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是()

JI2n3n

B.sin—,sin^-,sin-y,

1_1

2'~4f~8

D.1,蜴木,…，^21

(2)(一題多空)已知下列數列：

①2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020；

111

②1,2>7■">2^'

忘rm

④1,0,—1,???,sin-y-,???；

⑤2,4,8,16,32,…；

@-1,-1,-1,-1.

其中，有窮數列是,無窮數列是,遞增數列是,遞減數列是

，常數列是__擺動數列是(填序號).

(DC[ABC為無窮數列，其中A是遞減數列，B是擺動數列，C是遞增數列，故選C.]

(2)①@②(⑨④⑤①⑤②⑥③④[①為有窮數列且為遞增數列；②為無窮、

遞減數列；③為無窮、擺動數列；④是擺動數列，也是無窮數列；⑤為遞增數列，也是無窮

數列；⑥為有窮數列，也是常數列.]

廠.......規律c方法..........一

1.有窮數列與無窮數列：判斷給出的數列是有窮數列還是無窮數列，只需觀察數列是有

限項還是無限項.若數列是有限項，則是有窮數列，否則為無窮數列.

2.數列｛a,,｝的單調性：若滿足&<&+”則｛aj是遞增數列;若滿足品>a+“則｛a,,｝是

遞減數列：若滿足a“=a〃+i,則｛&｝是常數列；若當與a,5的大小不確定，則｛a〃｝是擺動數列.

類型二由數列的前幾項求通項公式

【例2】已知數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式.

(1)1,3,7,15,31,…；

(2)4,44,444,4444,???；

4工_±2

5"2'T

(5)1,2,1,2,1,2,

思路探究]觀察數列前后項之間的規律，規律不明顯的需將個別項進行調整，再看是

否與對應的序號有規律的聯系.

[解](D觀察發現各項分別加上1后，數列變為2,4,8,16,32,新數列的通項

為2",故原數列的通項公式為&=2"—1.

9

(2)各項乘彳，變為9,99,999,…，各項加上1后，數列變為10,100,1000,…，新

4

數列的通項為10”,故原數列的通項公式為a,=1(10n-l).

(3)所給數列有這樣幾個特點：

①符號正、負相間；

②整數部分構成奇數列；

③分數部分的分母為從2開始的自然數的平方；

④分數部分的分子依次大L

綜合這些特點寫出表達式，再化簡即可.由所給的幾項可得數列的通項公式為

a?—(—1)/2/7—1+—,

,、?2〃'+3〃'+〃-]

所以a,=(-1)-——,.".

〃十1

4444

(4)數列的符號規律是正、負相間，使各項分子為4,數列變為5,

25o11

44444X—1"+1

再把各分母分別加上1，數列又變為可，-7.汗，一々，…，所以&=---:—.

3o912377—1

(5)法一：可寫成分段函數形式：

_(1,〃為奇數，

a"[2,〃為偶數，"WN*.

一一1+2+-1-1-2

法—?：&=2

_3+TeT

=2

3—1"

即%=]+-------.

廠.......規律c方法........--

1.常見數列的通項公式歸納

⑴數列1,2,3,4,…的一個通項公式為a=〃；

(2)數列1,3,5,7,…的一個通項公式為a“=2"-1；

(3)數列2,4,6,8,…的一個通項公式為a=2〃；

(4)數歹ijl,2,4,8,…的一個通項公式為a”=2'i；

(5)數列1,4,9,16,…的一個通項公式為a,,="l

(6)數列一1,1,一1,1,…的一個通項公式為a,,=(-1)"；

(7)數列1,…的一個通項公式為&=±

234n

2.復雜數列的通項公式的歸納方法

①考察各項的結構；②觀察各項中的“變”與“不變”；③觀察“變”的規律是什么;

④每項符號的變化規律如何；⑤得出通項公式.

類型三通項公式的應用

［探究問題］

1.根據通項公式如何求數列中的第幾項？怎么確定某項是否是數列的項？若是，是第幾

項？

［提示］根據&,求第幾項，采用的是代入法，如第5項就是令〃=5,求as.判斷某項

是否是數列中的項，就是解方程.令a“等于該項，解得〃GN*即是，否則不是.

2.已知數列｛&｝的通項公式為a=—//+2〃+1,該數列的圖象有何特點？試利用圖象說

明該數列的單調性及所有的正數項.

：提示］由數列與函數的關系可知，數列｛a｝的圖象是分布在二次函數y=—f+2x+l

圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數列是一個遞減數列，且前兩項為正數

項，從第3項往后各項為負數項.

【例3】已知數列｛&｝的通項公式為a“=3方28〃.

(1)寫出此數列的第4項和第6項；

(2)—49是否是該數列的一項？如果是，應是哪一項？68是否是該數列的一項呢？

［思路探究］(1)將〃=4,〃=6分別代入&求出數值即可；

⑵令Bz?。-28〃=—49和3rf—28/?=68,求得〃是否為正整數并判斷.

［解］(l)a,=3X42-28X4=-64,

2

a6=3X6-28X6=-60.

7

(2)令3//—28〃=—49,解得〃=7或〃=§(舍去)，

所以一49是該數列的第7項；

34

令3仔一28〃=68,解得〃=-2或刀=彳，均不合題意，所以68不是該數列的項.

「母題探究1

1.(變結論)若本例中的條件不變，

(1)試寫出該數列的第3項和第8項；

(2)20是不是該數列的一項？若是，是哪一項？

［解］(1)因為&=33—28",

所以a=3X32-28X3=-57,a=3X82-28X8=-32.

2

⑵令3爐一28〃=20,解得〃=10或〃=—耳(舍去),

所以20是該數列的第10項.

2.(變條件，變結論)若將例題中的“a=3——28〃”變為“a尸葉2n—5"，試判斷數

列｛a“｝的單調性.

［解］Va?—n+2/7—5,

a?+i—a,=(〃+1)"+2(〃+1)—5—｛n-\-2n—5)

=//+2〃+1+2〃+2—5—ri—2〃+5=2〃+3.

Vz?GN*?；.2〃+3>0,a?+v>an.

二數列｛a“｝是遞增數列.

廠.......?規律c方法.......一

1.由通項公式寫出數列的指定項，主要是對〃進行取值，然后代入通項公式，相當于函

數中，已知函數解析式和自變量的值求函數值.

2.判斷一個數是否為該數列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數求方程的根，根

據方程有無正整數根便可確定這個數是否為數列中的項.

3.在用函數的有關知識解決數列問題時，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集｛1,2,

3,〃｝)這一約束條件.

第2課時數列的遞推公式與%和5”的關系

1.數列的遞推公式

(1)兩個條件：

①已知數列的第1項(或前幾項)；

②從第2項(或某一項)開始的任一項與它的前一項a-(或前幾項)間的關系可以用一

個公式來表示.

(2)結論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數列的遞推公式.

思考：所有數列都有遞推公式嗎？

［提示］不一定.例如也精確到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列數:

1,1.4,1.41,1.414,…沒有遞推公式.

2.數列遞推公式與通項公式的關系

遞推公式通項公式

表示a,,與它的前一項2二(或前幾項)之間的

區別表示必與&之間的關系

關系

(1)都是表示數列的一種方法；

聯系

(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式

思考：僅由數列｛aj的關系式&=ai+2522,〃GN*)就能確定這個數列嗎？

［提示］不能.數列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞

推關系而無初始值，那么這個數列是不能確定的.

3.數列｛a“｝的前〃項和

(1)數列｛&,｝從第L項起到第&項止的各項之和稱為數列｛&,｝的前〃項和，記作S”即S,

(2)如果數列｛4｝的前〃項和S與它的生之間的對應關系可以用一個式子來表示，那

么這個式子叫做這個數列的前〃項和公式.

(3)數列｛a｝的通項為與前n項和S之間的關系為

S,n=1,

an=\、

SLSn-\,〃>2.

類型一由遞推公式求數列中的項

［例1］已知數列｛a｝中，句=1,改=2,以后各項由a=&-1+&一2(刀23)給出.

⑴寫出此數列的前5項；

(2)通過公式4=三構造一個新的數列｛4｝,寫出數列⑦,｝的前4項.

&?+1

［解］(1):金=81+a-2(〃23),

且a=1,4=2,

；?續=/+d=3,國=4+己2=3+2=5,

&=&+a=5+3=8.

故數列｛4｝的前5項依次為品=1,52=2,53=3,8=5,55=8.

(2)Vbn——'—，且a=l,4=2,a=3,&=5,2=8,

&?+1

1235

故伉｝的前4項依次為方=5，&=-,.=￡,61=-

Z3□o

［■???????????彳平???????????■、

由遞推公式寫出數列的項的方法

1根據遞推公式寫出數列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計

算即可.

2若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如a”

=2&-1+1.

3若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如

a，L1

=2?

類型二數列的單調性

【例2］已知數列｛a,｝的通項公式是a尸5+2）X。（力右N*）,試問數列｛a,,｝是否有最

大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由.

［思路探究］判斷數列的單調性，尋求數列最大項，或假設a,是數列的最大項，解不等

式.

［解］法一：作差比較am與a,的大小,判斷｛aj的單調性.

〃+1n

a+1一&=（〃+3）X。一（〃+2）義。=0x5Z

當〃V5時，a+i—%>0,即a+i>a；

當〃=5時，a?+1-Qn=0,即&+1=a〃；

當〃>5時，品+i—a”VO,即an+i<ari.

故a〈&〈8〈&<冼=曲>勿>色>…，

76

所以數列｛a｝有最大項，且最大項為位或ae,且as=&尸史

法二：作商比較a,,+i與a,的大小，判斷｛a｝的單調性.

〃+1

〃+3X(-|

a+1____________________W7-+3

①〃、"8n+2，

〃+2X㈤

又a>0,

令史±1>1,解得〃V5；令生二=1,解得刀=5；令且匚'VL解得〃>5.

&i3n

故aVa2VH3V…，

76

所以數列｛4｝有最大項，且最大項為全或加，且續=a=下.

法三：假設｛a｝中有最大項，且最大項為第〃項，則

n+1

〃+3

〃W6,

解得即5W〃W6.

〃25,

76

故數歹U｛a｝有最大項或戊,且35=<36=75.

廠......??規律c方法......一

求數列｛a｝的最大小項的方法

一是利用判斷函數增減性的方法，先判斷數列的增減情況，再求數列的最大項或最小項;

如本題利用差值比較法來探討數列的單調性，以此求解最大項.

3，k—1,

二是設國是最大項，則有、對任意的AWN*且AN2都成立，解不等式組即可.

自學&+1,

"S,77=1,

類型三利用a〃="求通項

Sc

［例3］根據下列數列的前〃項和S求通項4.

=

(1)Sn2n—n+1；

(2)S=2?3〃-2.

［思路探究先寫出時，a〃=S—S1表達式，再求出〃=1時&=S,驗證是否適

[Si,n=l,

合時表達式.如果適合則a,,=S—S-i(〃eN*),否則a〃="j

(S-Si,〃22.

[解](1)由$=2方一〃+1,

當時，a尸SLSC

—(,2n~n+1)—[2(n—I)2—(/?—1)+1]

=4/7—3.

當〃=1時，ai=S=2W4X1—3.

2,n—\,

4/?—3,〃22.

(2)由&=2?3”-2,

當"22時，

a.SnSn-\

=2?3"-2-(2-3n-1-2)

=4?3”T.

當〃=1時，a=S=2X3'-2=4=4-31-1,

.'.a?—4?3"'(〃WN").

1........規律C方法..........一

用a0與￡的關系求a〃的步驟

1先確定“22時a,,=S,—ST的表達式；

2再利用S求出&a產S；

3驗證所的值是否適合&,=SLS“-\的表達式；

4寫出數列的通項公式.

類型四根據遞推公式求通項

［探究問題］

1.某劇場有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數構成一個數列｛a｝,滿足d=

20,a“+】=a“+2,你能歸納出數列｛a〃｝的通項公式嗎？

［提示］由4=20,a〃+i=a,,+2得&=4+2=22,

a3=az+2=24,a=a：i+2=26,備=a(+2=28,…，

由以上各項歸納可知a,=20+(n-l)-2=2/?+18.

即&=2〃+18(〃eN*,〃W30).

2.對于任意數列｛a,,｝,等式a+(例一a)+(a-&)+…+(a〃-a"T)=a"都成立嗎？若數

列｛&｝滿足：劭=1,a?+\—an=2,你能求出它的通項a〃嗎？

[提刁＜]等式ai+(a?-a)+(且3-a?)+…+(a“-a"-i)=a“成一、/一，a〃=ai+(a2-a)+(。3

2+2+,?,+2

-az)H---F(&-*)=1+K------v------/=1+2(Z7-1)=2/2—1.

(n-1)個2

3.若數列｛4｝中的各項均不為0,等式&?名?竺....2=a“成立嗎？若數列｛&｝滿

5132Qn-\

足：科=3,吧=2,則它的通項&是什么？

an

［提示］等式ai?—?-....-^-=為成立.

51&Qn-1

按照%=2可得色=2,-=2,生=2,…，—=2(/7>2),將這些式子兩邊分別相乘可

451/d3Qn-\

/口32&Hiacc_

得一?一?一........=2?2....2.

ai&續a—

則史=2"-)所以a,,=3?2-'(/7SN*).

31

【例4】(1)已知數列｛a｝滿足d=-1,&+1=&+----匕一，,求通項公式為；

n〃十1

(2)設數列｛a｝中，4=1,a=(1—力a-1(〃22),求通項公式4.

［思路探窕］(1)先將a+i=a,+——變形為——三「，照此遞推關系寫

nn+1nn+1

出前〃項中任意相鄰兩項間的關系，這些式子兩邊分別相加即可求解.

(2)先將為=11-32-(〃22)變形為2=口，按此遞推關系，寫出所有前后兩項滿足

tnJan-\n

的關系，兩邊分別相乘即可求解.

［解］⑴?.,&/+La=T-i-'

nn+1

.___1

..a2-ai=1X2；

1

&一.=2義3；

1

aLa=3X4；

1

Qn-3/i-1=J.

n—1n

以上各式累加得，a,—a\

n

又時;ai=-1,符合上式,

n

(2)ai=l,an=1(〃22)，

桀

.a〃〃一1anan-1an-2an—1/?—2〃—321

，9an=------X------X------X???X-X-Xa\=--------X-------X------X???X-X-X1

an-\nan-\an-2&-33-2a\nn—1n—z3z

1

ri

又.."=堀,&=1,符合上式，"=36).

「母題探究1

1.(變條件)將例題⑴中的條件。=-1,&+產&+——?一，變為

n〃十1幺

w

anan-1=a,.-1—an(z?^2),求數列｛4｝的通項公式.

［解］aa-\=an-i—a

/｝fl/)fQn3n-1

5-1)個1

?,.a=—(〃N2).又:〃=1時，符合上式，，&=_7(〃￡N*).

an〃+12n-r1

2.(變條件)將例題⑵中的條件“a,=l,變為“4=2,a“+i=

3a寫出數列的前5項，猜想&并加以證明.

［解］由功=2,&+i=3a,”得：

a=3a=3義2,

2

a3=352=3X3X2=3X2,

A=38=3X3~X2=33X2,

55=3^=3X33X2=34X2,

猜想：a=2X3"f,

證明如下：由&+】=3&得’==3.

&

eit—rzra愚,、a3c的八&>八

因此可得一=3,—=3,-=3,…，---=3.

Q\@2續Qn-\

將上面的n-\個式子相乘可得

&a3-\3n-\

—?—??^―?????-3n

3\32&5/7-1

即4=3"T,所以&=a?3"，又a=2,故&=2?3"T.

a

廠.......規律c方法..........................

由數列的遞推公式求通項公式時，若遞推關系為加H=&+Fn或a+1=g〃?品，

則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：

1累加法：當a〃=a-i+fn時，常用&=an—an-\+國1―加2H---F4

—a\+a求通項公式；

2累乘法：-當=gn時，常用為=*~?幺-....色,功求通項公式.

a?—14一1一2431

4.2等差數列

4.2.1等差數列的概念

第1課時等差數列的概念及簡單表示

1.等差數列的概念

如果一個數列從第工項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,

文字語言那么這個數列就叫做等差數列，這個賞數叫做等差數列的公差，公差通常

用字母4表示

符號語言a+i—2=〃(d為常數，

2.等差中項

(1)條件：如果a,A,6成等差數列.

(2)結論：那么/叫做a與8的等差中項.

(3)滿足的關系式是a+6=2/.

思考：觀察所給的兩個數之間，插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列：

(1)2,4；(2)-1,5；(3)a,b；(4)0,0.

h

［提示］插入的數分別為3,2,守，0.

3.等差數列的通項公式

以&為首項，d為公差的等差數列｛&｝的通項公式a=&+(〃-1)月

思考：教材上推導等差數列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操

作？

［提示］還可以用累加法，過程如下：

?&3,\~~d,

也一出=d,

-=d(〃力2),

將上述(〃-1)個式子相加得

an—ai=(/?—1)d(〃22),

.?.a〃=a+(/?—1)d(〃22),

當〃=1時，^i=5i+(1—1)d,符合上式,

.\an=a\+(/?—1)d(z?￡N*).

4.從函數角度認識等差數列｛a,,｝

若數列｛a｝是等差數列，首項為&,公差為d,則a〃=F(/?)=ai+(〃-1)d=nd+(2-仍.

⑴點(〃,a)落在直線尸發+(國一中上;

(2)這些點的橫坐標每增加1,函數值增加4

思考：由等差數列的通項公式可以看出，要求為,需要哪幾個條件？

［提示］只要求出等差數列的首項團和公差4代入公式為=為+(〃-l)d即可.

類型一等差數列的通項公式

【例1】已知數列｛a｝為等差數列，ai5=8,a?=20,求a5.

'ai+14d=8,

［解］法一：設等差數列｛a｝的首項為a“公差為4則由題意得”解得

a,+59</=20,

64

a尸法,

皿,64.4

故國5=4+74〃=77+74X77=24.

1515

20—844

法二:Va6o=ai5+(60—15)d,/.d=~~~——T7，?*-575=^60+(75—60)rf=20+15X—=

60—151515

24.

15A+b=8,

法三：已知數列｛4｝是等差數列，可設a=k?+b.由&5=8,的=20得，

l60A+Z?=20,

4

k=—,4

解得彳15/.a5=75X—+4=24.

15

.8=4.

廠.......規律<方法........--

等差數列通項公式的妙用

1等差數列｛&｝的通項公式&=a+n-\"中含有四個量，即a,a,n,d,如果

知道了其中的任意三個量，就可以由通項公式求出第四個量，這一求未知量的過程我們通常

稱之為“知三求一”.

2從函數的角度看等差數列的通項公式.由等差數列的通項公式為=a+/;-1d

可得&=而+a\—d,當"#0時，2是關于刀的一次函數.

3由兩點確定一條直線的性質可以得出，等差數列的任意兩項可以確定這個等差數列.

若已知等差數列的通項公式，可以寫出數列中的任意一項.

類型二等差中項的應用

【例2】(1)已知力和2〃的等差中項是8,2必和力的等差中項是10,則/〃和，的等差

中項是

_|_h

⑵已知%等差數列,求證:b+ca+c9

T,I,工也是等差數列.

ab

［思路探究］(1)|列方程組|一|求解例

求加，〃的等差中項

⑵

加+2〃=8X2=16,

⑴6［由題意得

2/〃+刀=10X2=20,

3(/n+ri)=20+16=36,：?m+n=12,^.—^—=6.]

(2)［證明］?.一，［,：成等差數歹U,

911

.??廠工+/即2ac=b(a+c).

b+c1a+bb+c+aa+ba+c+ba+c才+/+2ac2a+c~

acacacacba+c

2a+c

=~

夕T-h

b+ca+c七成等差數列?

ab

....規律c方法....、

等差中項應用策略

1求兩個數X,y的等差中項，即根據等差中項的定義得力=率

2證三項成等差數列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a,b,。成

等差數列，則有a+c=26；反之，若a+c=26,則a,b,c成等差數列.

類型三等差數列的判定與證明

［探究問題］

1.在數列｛&｝中，若a"一a-=d(常數)(〃22且〃eN*),則｛&｝是等差數列嗎？為什么？

［提示］由等差數列的定義可知滿足@,,一3^=力常數)(〃22)是等差數列.

2.在數列｛&｝中，若有2%=&-+&+|(〃22,成立，則｛&｝是等差數列嗎？為什

么？

；提示］是，由等差中項的定義可知.

3.若｛&｝是公差為d的等差數列，那么｛&+&+J是等差數列嗎？若是，公差是多少？

一提小］?(a+1+&+3)-(a+a〃+2)=(4+i-&)+(a”+3-a”+2)=d+d=2d.

｛a+a+2｝是公差為2d的等差數列.

24g

【例3】已知數列｛4｝滿足囪=2,.

為十2

(1)數列是否為等差數列？說明理由；

(2)求&.

［解］(1)數列是等差數列，理由如下：

.._2a,.J__a,+21,1

?a—乙0&+L-~-

CinILtHn^1Lian乙Cln

111

-

a2

即是首項為工公差為d=4的等差數列.

(2)由(1)可知,=，"+(/?—1)d=三,：.an=-.

ana\2n

［母題探究］

9o

1.(變條件，變結論)將例題中的條件"8=2,換為“8=4,品=4

為十2

(刀〉1)，i己bn-g.

at—2

(1)試證明數列｛bG為等差數列；

(2)求數列｛&｝的通項公式.

［解］(D證明：“I一4=」^一一」

品+i-2an—Z

11________dn]

a—22a—2a~2

(Tkn1}t

an—21

=2a-2=2'

又打=卷=看

，數列｛4｝是首項為看公差為勺等差數歹！J.

⑵由⑴知勿=；+(〃-1)X2=2/L

2

數列｛a｝的通項公式為5n=-+2.

2.(變條件)將本例中條件“a=2,&+尸缶”換成“a=:，心2時有—=牛詈(〃

&十25a,,1-24

>1,"GN*)"，結論如何？

［解］(1)證法一：==2誓『(">1,

an1-2an

2a)=2(2&LI+1)(〃>1,〃￡N"),

即&LI=&(4&T+1)(z?>L〃￡N")，

.______3〃-1

,?&=4-+1(77>1,〃￡N*),

14品-i+l,1.小

:.—=------=4+(/?>1,〃￡N),

3n-l

11小

-------=4(/?>1,

3n3/t—I

二數列［十］是等差數列且公差為4,首項為5.

a-\2a-1+11—2a2&-1+11,111

證法二：當〃>1,時,nn2=2+---=-----

為

=4,且」*=5.

a\

.?.［5］是等差數列，且公差為4,首項為5.

(2)由(1)及等差數列的通項公式得

--=5+（n—1）X4=4/?+La?=.,..

an4〃+1

廠.......?規律c方法.......一

等差數列的三種判定方法

1定義法：a.+1—a.=d常數〃GN*o｛a,,｝為等差數列；

2等差中項法：2&+尸a“+a用Q?｝為等差數列；

3通項公式法：a.=an+ba,6是常數，=｛a,｝為等差數列.

但如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法.

第2課時等差數列的性質

1.等差數列的圖象

等差數列的通項公式為=d+（〃-1）4當d=0時;a”是一個固定常數；當￡0時，&

相應的函數是一次函數；點（"，&）分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的

點.

思考：由&=&+（〃-1）"可得"=色三，"=生二生，你能聯系直線的斜率解釋一下這

兩個式子的幾何意義嗎？

［提示］等差數列的通項公式可以變形為是關于〃的一次函數，d為

斜率，故過兩點（1,a）,（〃，&）直線的斜率〃=生二當兩點為（〃，a）,E,a.）時有"="也.

??—1n—m

2.等差數列的性質

（1）｛&｝是公差為d的等差數列，若正整數如n,p,q滿足m+n=p+q,則4+&=2

+a?.

①特別地，當m+n=2k（m,n,4GN"）時，a.+&=2&.

②對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的現，即句+a=

+a0-1=…=a*+a”-i：+1—

（2）從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為等差數列.

（3）若｛a,,｝是公差為d的等差數列，則

①｛c+a,,｝（c為任一常數）是公差為旦的等差數列；

②｛，為｝（c為任一常數）是公差為次的等差數列；

③｛a〃+a+J（A為常數，％eN,）是公差為次的等差數列.

⑷若｛a｝,優｝分別是公差為d,4的等差數列，則數列｛pa“+q6,,｝（p,0是常數）是公差

為pd、+qck的等差數列.

(5)｛&｝的公差為d,則冷Oo｛&｝為遞增數列;

d〈OQ｛a,,｝為遞減數