江蘇省南京市2021中考數學試卷

注意事項

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上，首在

本試卷上無效.

2.請認真核對監考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自

己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑.如需改動，請用像皮擦干凈后，

再選涂其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其

他位置答題一律無效

4.作圖必須用28鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有

一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.截至2021年6月8日，31個省（自治區，直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗超過

800000000次，用科學記數法表示800000000是（）

A.8xl08B.0.8xlO9C.8xl09D.0.8x10'°

【答案】A

【解析】

【分析】先確定原數的整數位數，再將原數的整數位數減去1得到10的指數，最后按照科學記數法的書寫

規則確定即可.

【詳解】解：800000000=8xlO8:

故選：A.

【點睛】本題考查了科學記數法，解決本題的關鍵是牢記科學記數法的表示方法，本題是基礎題，考查了

學生對書本概念的理解與掌握.

2.計算的結果是（）

A.a2B.a3C.a5D."

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用嘉的乘方和同底數累的乘法法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=。6.d3=/；

故選:B.

【點睛】本題考查了幕的乘方和同底數幕的運算法則，其中涉及到了負整數指數基等知識，解決本題的關

鍵是牢記相應法則，并能夠按照正確的運算順序進行計算即可，本題較為基礎，考查了學生的基本功.

3.下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

【答案】D

【解析】

【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成.

【詳解】A、1+1+1<5,即這三條線段的和小于5,根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

B、1+1+5<8,即這三條線段的和小于8,根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

C、1+2+2=5,即這三條線段的和等于5,根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

D、2+2+2>5,即這三條線段的和大于5,根據兩點間距離最短即知，此選項正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而

較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三

條線段的和大于最長的線段即可.

4.北京與莫斯科時差為5小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的莫斯科時間是8：00,小麗和小紅

分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當地時間9：00~17：00之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以

是北京時間（）

A.10：00B.12：00C.15：00D.18：00

【答案】C

【解析】

【分析】根據北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00-17：00,逐項判斷出莫斯科時間，即

可求解.

【詳解】解：由北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00-17：00,

所以A.當北京時間是10：00時，莫斯科時間是5:00,不合題意；

B.當北京時間是12：00時，莫斯科時間是7:00,不合題意；

C.當北京時間是15：00時,莫斯科時間是10:00,符合題意;

D.當北京時間是18：00時,不合題意.

故選：C

【點睛】本題考查了有理數減法的應用，根據北京時間推斷出莫斯科時間是解題關鍵.

5.一般地，如果x"=a（"為正整數，且〃>1）,那么x叫做”的〃次方根，下列結論中正確的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.當〃為奇數時，2的〃次方根隨〃的增大而減小D.當"為奇數時，2的〃次方根隨〃的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意〃次方根，列舉出選項中的〃次方根，然后逐項分析即可得出答案.

【詳解】A...24=16（—2）4=16,?..16的4次方根是±2,故不符合題意；

B.2'=32，（-2）5=-32,二32的5次方根是2,故不符合題意;

。設》=次,y=蚯，

155

則%=2=32,嚴=23=8,

x15>y'5,且

:.x>y,

二當〃為奇數時，2的〃次方根隨〃的增大而減小，故符合題意：

D.由C的判斷可得：。錯誤，故不符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查了新概念問題，”次方根根據題意逐項分析，得出正確的結論，在分析的過程中注意x是

否為負數，通過簡單舉例驗證選項是解題關鍵.

6.如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面

垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

A.B.

【答案】D

【解析】

【分析】因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到

符合題意的選項

【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，

則有影子的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，

故選D

【點睛】本題考查了中心投影的概念，應用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例

是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應位置上）

【答案】①.2②.-2

【解析】

【分析】根據相反數的意義和絕對值的意義即可得解.

【詳解】解：一（一2）=2；

+2|=2

故答案為2,-2.

【點睛】本題考查了相反數和絕對值.掌握相反數的意義和絕對值的意義是解題的關鍵.

8.若式子后在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件得到5x20,解不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得5x20,

解得x20.

故答案為：xNO

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件“被開方數為非負數”是解題關

鍵.

9.計算際-工的結果是

【答案】克

2

【解析】

【分析】分別化簡我和卡,再利用法則計算即可.

【詳解】解：原式=2啦—』血=走；

22

故答案為：也.

2

【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，涉及到二次根式的化簡等知識，解決本題的關鍵是牢記二次根

式的性質和計算法則等.

10.設是關于x的方程%2-3%+々=0的兩個根，且玉=2%，則％=.

【答案】2

【解析】

【分析】先利用根與系數的關系中兩根之和等于3,求出該方程的兩個根，再利用兩根之積得到k的值即可.

【詳解】解：由根與系數的關系可得：玉+々=3,xt-x2=k,

,：X]=2X2,

3X2=3,

%2=],

xt=2,

k=1x2=2;

故答案為:2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數之間的關系，解決本題的關鍵是牢記公式，即對于一元二次方

AC

程辦-+/?x+c=O(aH0),其兩根之和為—，兩根之積為一.

aa

11.如圖，在平面直角坐標系中，的邊的中點C,。的橫坐標分別是1,4,則點8的橫坐

標是.

【答案】6

【解析】

【分析】根據中點的性質，先求出點A的橫坐標，再根據4、。求出8點橫坐標.

【詳解】設點A的橫坐標為“，點B的橫坐標是仇

O點的橫坐標是0,C的橫坐標是1,C,。是AO,A3的中點

.」(a+0)=l得a=2

2

，（2+。）=4得6=6

2

二點B的橫坐標是6.

故答案為6.

【點睛】本題考查了中點的性質，平面直角坐標系，三角形中線的性質，正確的使用中點坐標公式并正確

的計算是解題的關鍵.

12.如圖，A3是的弦，C是AB的中點，OC交AB于點、D.若AB=8cm,CD=2cm,則的半

徑為________cm.

C

【答案】5

【解析】

【分析】連接。A,由垂徑定理得A￡>=4cm,設圓的半徑為R,根據勾股定理得到方程R2=42+（R-2）2,

求解即可

【詳解】解：連接。4

?

C

是A8的中點，

OC1AB

：.AO」A3=4cm

2

設（。的半徑為R，

*.*CD=2cm

/.OD-OC-CD=(R-2)cm

在中，QA2=Ar>2+O￡>2，即R2=42+（R—2>,

解得，R=5

即。的半徑為5cm

故答案為：5

【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據垂徑定理判斷出0C是A8的垂直平分線是解答此題的關

鍵.

13.如圖，正比例函數y與函數y=9的圖像交于4,8兩點，8C〃x軸，AC7/y軸，則

X

S.ABC=-------------

【答案】12

【解析】

【分析】先設出A點坐標，再依次表示出8、C兩點坐標，求出線段BC和AC的表達式，最后利用三角形

面積公式即可求解.

【詳解】解：設A（r,-）,

t

?.?正比例函數>=丘與函數y=9的圖像交于4,B兩點，

X

6、

B（一/,—）,

t

???3C〃x軸，AC//y軸，

6

：.C（6--）,

；?S"C=g3CAC=；［f_（T）］3-（一3）=J?=12；

故答案為：12.

【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數的圖像與性質、用平面直角坐標系內點的坐標表示線段長、

三角形面積公式等內容，解決本題的關鍵是抓住反比例函數和正比例函數都是中心對稱圖形，它們關于原

點對稱，能正確表示平面內的點的坐標，能通過坐標計算出線段長等.

14.如圖，是五邊形A8CDE的外接圓的切線，貝U

ZBAF+ZCBG+ZDCH+ZEDI+ZAEJ=

【答案】180°

【解析】

【分析】由切線性質可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內角和的一

半.

【詳解】如圖：過圓心連接五邊形ABCDE的各頂點，

則ZOAB+ZOBC+4OCD+NODE+ZOEA

=4OBA+ZOCB+ZODC+NOED+ZOAE

=3（5—2“180。=270°

ZBAF+ZCBG+ZDCH+ZEDI+ZAEJ

=5x90°-（NOA8+NOBC+ZOCD+NODE+ZOEA）

=450°—270°

=180°.

故答案為：180。.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質，多邊形的內角和公式（〃-2）x180。（〃為多邊形的邊數），由半徑相

等可得“等邊對等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關鍵.

15.如圖，在四邊形ABCO中，AB=BC=BD.設NABC=e,則=（用含a的代數式

表示）.

【答案】180°--a

2

【解析】

【分析】由等腰的性質可得：ZADB=90O--ZABD,ZBDC=90°--ZCBD,兩角相加即可得到結論.

22

【詳解】解：在△ABO中，AB=BD

ZA=ZADB=-(180°-NABD)=90°--ZABD

22

在中，BC=BD

：.ZC=ZBDC=-(180°-NCBD)=90°--NCBD

22

ZABC=ZABD+ZCBD=a

ZADC=ZADB+ZCBD

=90。」ZABD+90°--ZCBD

22

=180。—^(ZABD+ZCBD)

-180°--ZABC

2

=180。」。

2

故答案為：180。—,。.

2

【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理，分別求出/ADB=90。-!乙48。，

2

NBDC=90°—L/C8D是解答本題的關鍵.

2

16.如圖，將，ABC。繞點4逆時針旋轉到oAB'C'D的位置，使點8'落在8C上，BC'與CD交于點、E,

若48=3,8。=4,88'=1,則CE的長為.

【解析】

【分析】過點C作CM"CD'交B'C’于點、M,證明AABB'sAAD。'求得C'D=g，根據A4s證明

△ABB'=ABCM可求出CM=\,再由CM〃C'。'證明△CMEsM)CE，由相似三角形的性質查得結論.

【詳解】解：過點C作CM〃C'D'交B'C’于點M,

???平行四邊形ABCD繞點4逆時針旋轉得到平行四邊形ABCD

/.AB=AB'，AD=AD,ABZAB'C=ADAD',ZBAD^ZB'AL>

?""ZBAB'=ZDAD-NB=NZ>

^ABB^^ADD

.BB_AB_AB_3

??訪一而一拓;

??,BB'=1

/.DD=-

3

CD=CD-DD

=CD-DD

=AB-DD

=3--

3

_5

-3

ZABC=ZABC+ZCBM=ZABC+NBAB

，ZCBM=NBAB

BC^BC-BB=4-1=3

BC=AB

?/AB^AB'

/.ZABB=ZABB=ZABC

VABIIC'D-CD//CM

???AB//CM

/.ZABC=ZBMC

???NAEiB=NBMC

在AAB8'和AB'MC中，

'NBAB，=NCB'M

<NAB'B=ZB'MC

AB=B'C

BB=CM=1

,/CM!IC'D

△CMEs^DCE

cMc￡13

--

=一=

-一-

。c

。E55

E3

a-3

-D--3

8-

a

3339

EcD3

---=X=

c￡88-AB8-8-

9

故答案為：一.

8

【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判

定與性質，正確作出輔助線構造全等三角形和相似三角形是解答本題的關鍵.

三、解答題（本大題共U小題，共88分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟）

17.解不等式l+2（x-l）<3,并在數軸上表示解集.

【答案】x<2,數軸上表示解集見解析

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式的一般步驟，直接求解即可.

詳解】l+2（x-1）<3

去括號：l+2x-2<3

移項：2%<3-1+2

合并同類項：2x<4

化系數為1：x<2

解集表示在數軸上：

iIiiiiIIIId

-5-4-3-2-1012345

【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，數軸上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和

一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系數為1的時候，不等號是否要改變方向；正確的計算和在數

軸上表示出解集是解題關鍵.

2x

18.解方程——+1=——.

x+1X-1

【答案】x=3

【解析】

【分析】先將方程兩邊同時乘以(x+l)(x-l),化為整式方程后解整式方程再檢驗即可.

【詳解】解：—+1=—,

x+1x-1

2(x-l)+(x+l)(x-l)=X(X4-1),

2x—2+—1=%24-x,

x=3,

檢驗：將x=3代入(x+l)(x—1)中得，(x+l)(x—1)/0,

???x=3是該分式方程的解.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，解決本題的關鍵是牢記解分式方程的基本步驟，即要先將分式方程

化為整式方程，再利用“去括號、移項、合并同類項、系數化為1”等方式解整式方程，最后不能忘記檢驗

等.

、…Ja2bya-b

19.計算-----------+-----+——?

\b~+aba+ba+ab)ab

a-b

【答案】

a-\-b

【解析】

【分析】先對括號里的分式進行通分，將通分后的分式進行合并，將合并后的結果與最后一項分式相除，

將除法運算轉化為乘法運算，最后約分化簡后即可得到計算結果.

【詳解】解：原式=[r"、一一L-+?,

bya-\-b)a+b+Ja-b

'a22abb21ab

--------------------1--------------

ab^a-vb^+Ja-b

a1-2ab+b2ab

ab(a+b)a-b

ab

ab(a+b)a-b

_a-b

a+b

【點睛】本題考查了分式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是找到最簡公分母，能正確進行分式之間的通

分，同時應牢記相應計算法則，并能靈活運用等.

20.如圖，AC與交于點O,。4=。。,/480=/0。0,后為8。延長線上一點，過點6作律//。￡),

交8D的延長線于點F.

(1)求證ZXAO的△DOC；

(2)若AB=2,8C=3,CE=1,求取的長.

Q

【答案】(1)證明見解析；(2)EF=-

3

【解析】

【分析】(1)直接利用“AA5”判定兩三角形全等即可；

(2)先分別求出8E和。C的長，再利用相似三角形的判定與性質進行計算即可.

【詳解】解：(1)OA=OD,ZABO=ZDCO,

又,:ZAOB=ZDOC,

△AQB=^\D0C(AAS)；

(2)V^AOB^^DOC(AAS),AB=2,BC=3,CE=1

：.AB=DC=2,BE=BC+CE=3+1=4,

EF//CD,

匕BEFs一BCD,

.EFBE

,?---=----,

CDBC

.EF4

??----=-f

23

Q

/.EF的長為一.

3

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質等,

解決本題的關鍵是牢記相關概念與公式，能結合圖形建立線段之間的關聯等，本題較基礎，考查了學生的

幾何語言表達和對基礎知識的掌握與應用等.

21.某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調查，通過簡單隨機抽樣，獲得了100個

家庭去年的月均用水量數據，將這組數據按從小到大的順序排列，其中部分數據如下表：

序號1225265051757699100

月均用水量/t1.31.34.54.56.46.8111325.628

（1）求這組數據的中位數.已知這組數據的平均數為9.2t,你對它與中位數的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使75%

的家庭水費支出不受影響，你覺得這個標準應該定為多少？

【答案】（1）6.6t；差異看法見解析；（2）ll<fl<13（其中。為標準用水量，單位：t）

【解析】

【分析】（1）從中位數和平均數的定義和計算公式的角度分析它們的特點即可找出它們差異的原因；

（2）從表中找到第75和第76戶家庭的用水量，即可得到應制定的用水量標準數據.

【詳解】解：（1）由表格數據可知，位于最中間的兩個數分別是6.4和6.8,

.64+6.8,,

中位數為：--------=6.6（t）,

2

而這組數據的平均數為9.2f,

它們之間差異較大，主要是因為它們各自的特點決定的，主要原因如下：

①因為平均數與每一個數據都有關,其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動；主要缺點是易受極端

值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數，當出現偏大數時，平均數將會被抬高，當出現偏小數時，平

均數會降低。

②中位數將數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據個數是奇數，則處于最中間位置的數就是

這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數是這組數據的中位數，它的求出不

需或只需簡單的計算，它不受極端值的影響；

這100個數據中，最大的數據是28,最小的是1.3,因此平均數受到極端值的影響，造成與中位數差異較

大；

（2）因為第75戶用數量為1H,第76戶用數量為13t,因此標準應定為UWa<13（其中。為標準用水

量，單位：f).

【點睛】本題考查了學生對中位數和平均數的概念的理解以及如何利用數據作出決斷等，解決本題的關鍵

是能讀懂題意，正確利用表格中的數據特點進行分析，本題較基礎，答案較開放，因此考查了學生的語言

組織與應用的能力.

22.不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別.

(1)從袋子中隨機摸出I個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球.求兩次摸出的球都是紅球的概率.

(2)從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回再隨機換出1個球；如果是白球，放回并搖勻，再隨

機摸出1個球.兩次摸出的球都是白球的概率是_______.

41

【答案】(1)(2)

97

【解析】

【分析】(1)根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖得出所有等可能的結果數與兩次摸出的球都是紅球的結

果數，再利用概率公式即可求得答案；

(2)方法同(1),注意第一次摸到白球要放回，其余顏色球不放回.

【詳解】解：(1)畫樹狀圖得，

開始

紅紅白紅紅白紅紅白

，共有9種等可能的結果數，兩次摸出的球都是紅球的結果數為4次,

4

，兩次摸出的球都是紅球的概率為：一；

9

(2)畫樹狀圖得，

共有7種等可能的結果數，兩次摸出的球都是白球的結果數為1次,

，兩次摸出的球都是白球的概率為：

7

故答案為：-

7

【點睛】此題考查了畫樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

23.如圖，為了測量河對岸兩點A,B之間的距離，在河岸這邊取點C,D.測得C￡>=80m，ZACD=9Q°,

ZBCD=45°,ZADC=19°17,ZBDC=56°19',設A,B,C,。在同一平面內，求A,B兩點之間

的距離.（參考數據：tan19°17'=0.35,tan56°19'h1.50.）

【答案】52m

【解析】

【分析】作BELCQ于￡,作BFLCA交C4延長線于F.先證明四邊形CE8F是正方形，設CE=BE=xm,

根據三角函數表示出QE,根據CD=80m列方程求出CE=BE=48m,進而求出CF=BF=48m,解直角三角

形4CO求出AC,得到A凡根據勾股定理即可求出48,問題得解.

【詳解】解：如圖，作BE_LC￡>于E,作交C4延長線于F.

ZFCD=90°,

...四邊形CEBF是矩形，

,JBEA.CD,NBCD=45。,

，NBCE=NCBE=45°,

CE=BE,

矩形CEB尸是正方形.

設CE=BE=xm,

在RtZXBOE'中，

“BEX2

DE=---------------=---------------=-xm,

tanZBDEtan56。19'3

CO=80m,

?*.x4—x—80，

3

解得x=48,

Z.CE=BE=48m,

???四邊形CEB尸是正方形,

：.CF=BF=4Smf

???在Rt^ACD中，AC=CD.tanZADC=80xtan19°17,WOx0.35=28m,

AF=CF-AC=20m,

在Rt/XABF中，A8=ylAF2+BF2=>/202+482=52m，

?''A,B兩點之間的距離是52m.

【點睛】本題考查了解直角三角形應用，理解題意，添加輔助線構造正方形和直角三角形是解題關鍵.

24.甲、乙兩人沿同一直道從A地去B地，甲比乙早1min出發，乙的速度是甲的2倍.在整個行程中，甲

離4地的距離必（單位：m）與時間x（單位：min）之間的函數關系如圖所示.

（1）在圖中畫出乙離A地的距離內（單位：m）與時間x之間的函數圖；

（2）若甲比乙晚5min到達8地，求甲整個行程所用的時間.

【答案】（1）圖像見解析；（2）12min

【解析】

【分析】（1）根據甲乙的速度關系和甲比乙提前一分鐘出發即可確定乙的函數圖像；

（2）設甲整個行程所用的時間為xmin，甲的速度為vm/min,利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即

可.

【詳解】解：（1）作圖如圖所示:

(2)設甲整個行程所用的時間為xmin，甲的速度為vm/min,

xv=2v(x-l-5),

解得：x=n,

二甲整個行程所用的時間為12min.

【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，要求學生能根據問題情境繪制出函數圖像，能建立相等關系,

列出方程等.

25.如圖，已知尸是:。外一點.用兩種不同的方法過點尸作的一條切線.要求：

(1)用直尺和圓規作圖；

(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

【解析】

【分析】方法一：作出0P的垂直平分線，交。P于點A,再以點A為圓心，出長為半徑畫弧，交O。于點

Q，連結PQ，PQ即為所求.

方法二：作出以0尸為底邊的等腰三角形BPO,再作出NOBP的角平分線交0P于點4,再以點A為圓心，

以長為半徑畫弧，交：。于點Q,連結PQ,P。即為所求.

作法：連結P0,分別以尸、。為圓心，大于!PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結兩點交P。于點A；

2

以點A為圓心，出長為半徑畫弧，交，。于點Q,連結PQ,PQ即為所求.

作法：連結P。，分別以P、。為圓心，以大于的長度為半徑畫弧交P。上方于點8,連結8P、B0；

以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BP、BO于C、D兩點，分別以于C、。兩點為圓心，大于gC。的長

度為半徑畫弧交于一點，連結該點與8點，并將其反向延長交PQ于點A,以點A為圓心，出長為半徑畫

弧，交。0于點。，連結P。，P。即為所求.

【點睛】本題考查了作圖一一復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，

圓的作法等知識點.復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖.解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質，結合基本幾何圖形的性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

26.已知二次函數丁=如2+Zzx+c的圖像經過(一2,1),(2,—3)兩點.

(1)求6的值.

(2)當c>-1時，該函數的圖像的頂點的縱坐標的最小值是

(3)設(機0)是該函數的圖像與x軸的一個公共點，當-1<m<3時，結合函數的圖像，直接寫出a的取值

范圍.

4

【答案】(1)b=-\x(2)1；(3)。<0或a>§.

【解析】

【分析】(1)將點(—2,1),(2,—3)代入求解即可得；

(2)先求出二次函數的頂點的縱坐標，再利用完全平方公式、不等式的性質求解即可得；

(3)分。<0和。>()兩種情況，再畫出函數圖象，結合圖象建立不等式組，解不等式組即可得.

【詳解】解：(1)將點(一2,1),(2,—3)代入y=a?+"得：J4a+2b+c__3，

兩式相減得：-4b=4,

解得人=一1；

(2)由題意得：。。0,

O11

由(1)得：V=QX~—X+C=CI(X----)~7+C----1

2a4。

則此函數的頂點的縱坐標為C-」-,

4a

將點(2,—3)代入y=4*2—x+c得：4Q-2+C=-3,

解得—4a=c+l,

11

則nlc----=c+----,

4ac+1

下面證明對于任意的兩個正數x()，X),都有x0+y0>,

-=%+%-2\lx°y。-°，

.,?天+為22，藐(當且僅當天=%時，等號成立)，

當。>一1時，c+l>0,

則c+—L=c+1+」——l>2j(c+l)--^--l=l(當且僅當C+1=」一，即c=0時，等號成立),

c+1c+1Vc+1c+1

即c--->1,

4a

故當c>-l時，該函數的圖像的頂點的縱坐標的最小值是1；

(3)由4a—2+c=—3得：c-—1,

則二次函數解析式為丁=辦2-彳一4”—1370),

由題意，分以下兩種情況:

①如圖，當。<0時、則當x=-1時，y>0；當％=3時，y<0,

。+1—4。-1>0

即《

9。一3-4。一1<0

解得avO；

②如圖，當。>0時，

.當工=_］時，y=々+1_4〃_1=_3々<0,

?二當x=3時，y=9。-3—4。一1>0,

4

解得a>g,

4

綜上，。的取值范圍為a<0或。〉w.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質等知識點，較難的是題(3),熟練掌握函數圖象法是解題關鍵.

27.在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

(1)如圖①，圓錐的母線長為12cm,8為母線。。的中點，點A在底面圓周上，AC的長為4;rcm.在

圖②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點3的最短路徑，并標出它的長(結果保留根號).

0

（2）圖③中的幾何體由