一．方法綜述數列的求和問題是數列高考中的熱點問題，數列的求和問題會滲透多種數學思想，會跟其他知識進行結合進行考查.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數列求和中的新定義問題、子數列中的求和問題、奇偶性在數列求和中的應用、周期性在數列求和中的應用、數列求和的綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數列求和中的新定義問題【例1】【湖南師范大學附屬中學2019屆高三上學期月考（四)】對于數列，定義為的“優值”，現已知某數列的“優值”，記數列的前項和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．1010【答案】B【解析】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故選B.【指點迷津】1.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.2.解決此類問題的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特點，找到突破口；（2）盡管此類題目與傳統的數列“求通項，求和”的風格不同，但其根基也是我們所學的一些基礎知識與方法.所以在考慮問題時也要向一些基本知識點靠攏，弄清本問所考察的與哪個知識點有關，以便找到一些線索.（3）在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程中會發現復雜情況與該情況的聯系，或者發現一些通用的做法與思路，使得復雜情況也有章可循.【舉一反三】已知數列的前項和為，定義為數列前項的疊加和，若2016項數列的疊加和為2017，則2017項數列的疊加和為()A.2017B.2018C.D.【答案】A故選A．類型二子數列中的求和問題【例2】已知有窮數列中，，且，從數列中依次取出構成新數列，容易發現數列是以-3為首項，-3為公比的等比數列，記數列的所有項的和為，數列的所有項的和為，則（）A.B.C.D.與的大小關系不確定【答案】A【解析】因為，，所以，當時，是中第365項，符合題意，所以,所以，選A.學科*網【指點迷津】一個數列中某些項的求和問題，關鍵在于弄清楚新的數列的形式，了解其求和方法.【舉一反三】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數的值為（）A.B.C.D.【答案】B∴=S1+S2+S3+…+Sn=+則的最小正整數為13故選B.類型三奇偶性在數列求和中的應用【例3】【福建省2019屆高三模擬】已知數列滿足，，且，，設數列的前項和為，則__________（用表示）.【答案】【解析】當是奇數時，，，所以，，，…，，…是首項為1，公差為6的等差數列，因此；當是偶數時，，，所以，，，…，，…是首項為4，公比為3的等比數列，因此.綜上，，所以，即.【指點迷津】數列求和中遇到，，都會用到奇偶性，進行分類討論.再采用分組轉化法求和或者并項求和的方法，即通過兩個一組進行重新組合，將原數列轉化為一個等差數列.分組轉化法求和的常見類型還有分段型（如）及符號型（如）【舉一反三】設數列的前項和為,已知,,則______【答案】240類型四周期性在數列求和中的應用【例4】數列滿足，則數列的前100項和為__________．【答案】5100【指點迷津】本題主要考查數列的周期性，數列是定義域為正整數集或它的子集的函數，因此數列具有函數的部分性質，本題觀察到條件中有，于是考慮到三角函數的周期性，構造，周期為4，于是研究數列中依次4項和的之間的關系，發現規律，從而轉化為熟悉的等差數列求和問題.解決此類問題要求具有觀察、猜想、歸納能力，將抽象數列轉化為等差或等比數列問題.【舉一反三】已知數列2008，2009，1，，若這個數列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2019項之和______．【答案】4018【解析】數列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有數列的最小正周期為6，可得一個周期的和為0，由，可得．故答案為：4018．類型五數列求和的綜合問題【例5】【上海市青浦區2019屆高三二模】等差數列,滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【答案】A【解析】時，滿足條件，所以滿足條件，即最小值為2，舍去B,D.要使得取最大值，則項數為偶數，設，等差數列的公差為，首項為，不妨設，則，且，由可得，所以,因為，所以，所以，而，所以，故.故選A【指點迷津】先根據題意可知中的項有正有負，不妨設，根據題意可求得，根據，去絕對值求和，即可求出結果.【舉一反三】1.【新疆烏魯木齊市2019屆高三一模】已知數列和的前項和分別為和，且，，（），若對任意的，恒成立，則的最小值為_____.【答案】【解析】，，可得，解得，當時，，化為，由，可得，即有，，即有，對任意的，恒成立，可得，即的最小值為.故答案為：.2.【湖北省宜昌市2019屆高三年級元月調考】已知數列是各項均為正數的等比數列，其前項和為，點、均在函數的圖象上，的橫坐標為，的橫坐標為，直線的斜率為.若，，則數列的前項和__________．【答案】【解析】由題意可知：，，，，∴，解得，∴∴∴①②①﹣②得，所以，整理得．故答案為：三．強化訓練1.【山東省日照一中2019屆高三11月統考模擬】已知函數的定義域為，，對任意R都有，則=A．B．C．D．【答案】B【解析】由，且，得，，，，故選B.2.【四川省涼山州2019屆高三二診】我們把叫“費馬數”（費馬是十七世紀法國數學家）.設，，，，表示數列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴，∴，而∴，，即，當n=8時，左邊=，右邊=，顯然不適合；當n=9時，左邊=，右邊=，顯然適合，故最小正整數的值9故選：B3.【安徽省合肥市2019屆高三第二次檢測】“垛積術”（隙積術）是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創，南宋數學家楊輝、元代數學家朱世杰豐富和發展的一類數列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，…，第層貨物總價為萬元，設這堆貨物總價為萬元,則，，兩式相減得，則,解得，故選D.4．己知數列滿足，，，則數列的前2018項的和等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由，即，當n為奇數時，可得，成等比，首項為1，公比為3．當n為偶數時，可得，成等比，首項為3，公比為3．那么：，前2018項中，奇數項和偶數項分別有1009項.故得．故選：B．5.已知等差數列{an}的首項為，公差為d，其前n項和為，若直線y＝x＋m與圓(x－2)＋y＝1的兩個交點關于直線x＋y－d＝0對稱，則數列的前10項和為（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】因為直線y＝x＋m與圓（x﹣2）2+y2＝1的兩個交點關于直線x＋y－d＝0對稱，所以直線x＋y－d＝0經過圓心，則有2＋0－d＝0，d＝2，而直線y＝x＋m與直線x＋y－d＝0垂直，所以＝1，＝2，則Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．＝，所以數列的前10項和為1－＋－＋…＋－＝1－＝.故選：B.6．【山東省濟南市歷城第二中學2019接高三11月月考】定義函數如下表，數列滿足，.若，則（）A．7042B．7058C．7063D．7262【答案】C【解析】由題意，∵a1=2，且對任意自然數均有an+1=f（an），∴a2=f（a1）=f（2）=5，即a2=5，a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，a4=f（a3）=f（1）=3，即a4=3，a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，可知數列{an}：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一個周期性變化的數列，周期為：6．且a1+a2+a3+…+a6=21．故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．故選C7．【吉林省長春市實驗中學2019屆高三期末】設數列中，若，則稱數列為“凸數列”.已知數列為“凸數列”，且，則數列的前2019項和為（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】∵數列{bn}為“凸數列”，∴bn+1＝bn+bn+2，∵b1＝1，b2＝﹣2，∴﹣2＝1+b3，解得b3＝﹣3，同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，∴bn+6＝bn．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，∴數列{bn}的前2019項的和＝b1+b2+b3+336=1-2-3=-4，故選：C．8．【河北省武邑中學2019屆高三（上)期中】數列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行1項，排；第二行2項，從左到右分別排，；第三行排3項，依此類推設數列的前項和為，則滿足的最小正整數n的值為A．20B．21C．26D．27【答案】B【解析】解：根據題意，第一行，為4，其和為4，可以變形為；第二行，為首項為4，公比為3的等比數列，共2項，其和為；第三行，為首項為4，公比為3的等比數列，共3項，其和為；依此類推：第n行的和；則前6行共個數，前6項和為：，滿足，而第六行的第6個數為，則，故滿足的最小正整數n的值21；故選：B．二、填空題9.【寧夏銀川一中2019屆高三一模】已知數列的前n項和為，數列的前n項和為，滿足,且.若對任意恒成立，則實數的最小值為______．【答案】【解析】數列的前n項和為，滿足，當時，，解得，所以當時，，化簡得，所以當時，，當時上式也成立，所以，因為，，所以，若對于任意恒成立，則實數的最小值為.10．在如圖所示數表中，已知每行、每列中的數都構成等差數列，設表中第n行第n列的數為，則數列的前100項的和為______．【答案】【解析】由題意可知，第一行的第n個數為；第二行的第n個數為；第三行的第n個數為；第n行的第n個數為；即，，前100項的和為，，故答案為：．11．【湖南省株洲市2019屆高三統一檢測（一)】數列的首項為1，其余各項為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數列的前項和為，則__________．（用數字作答）【答案】3993【解析】第個1為數列第項，當時；當時；所以前2019項有45個1和個2，因此12．【湖南省湘潭市2019屆高三二模】已知函數的圖像在點處的切線與直線垂直，若數列的前項和為，則__________．【答案】【解析】由題意知，則，，故，，故，.故答案為13．【安徽省宣城市2019屆高三第二次調研】數列的前項和為，定義的“優值”為，現已知的“優值”，則_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n?2n，①n≥2時，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）?2n﹣1，②①﹣②得2n﹣1an＝n?2n﹣（n﹣1）?2n﹣1＝（n+1）?2n﹣1，即an＝n+1，對n＝1時，a1＝2也成立，所以.14．【江蘇省常州市2019屆高三上期末】數列滿足，且數列的前項和為，已知數列的前項和為1，那么數列的首項________.【答案】【解析】數列{an﹣n}的前2018項和為1，即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，由數列{bn}的前n項和為n2，可得bn＝2n﹣1，，a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，…，可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案為：．15．【廣東省汕尾市普通高中2019年3月高三檢測】已知數列的首項為數列的前項和若恒成立，則的最小值為______．【答案】【解析】數列的首項，則：常數故數列是以為首項，3為公差的等差數列．則：首項符合通項．