【贏在高考?黃金8卷】備戰2023年高考數學模擬卷（江蘇專用）

黃金卷04

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.（5分）（2022?全國?高三專題練習）已知集合M={x|-l<x<2）,N={x\y=Inx1則MnN=（）

A.[-1,2]B.（-1,2]C.（0,2]D.（-oo,-l）u[2,+oo）

【解題思路】先化簡集合N,再去求MCN即可解決

【解答過程】N={x\y=In%]={x\x>0},

則MA/V={x|—1<%<2}A{x\x>0}={x|0<%<2]

故選：C.

2.（5分）（2022?浙江?統考高考真題）己知口”￡/?,。+31=3+）（1為虛數單位），則（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

【解題思路】利用復數相等的條件可求a”.

【解答過程】a+3i=—l+bi,而a,b為實數，

故Q=-l,b=3,

故選：B.

3.（5分）（2022?全國?統考高考真題）己知向量五=（3,4）范=（1,0）1=2+正，若〈立元>=V石則亡=

（）

A.-6B.-5C.5D.6

【解題思路】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化筒即可求得

【解答過程】解：5=（3+t,4）,cos<3">=cos<b,Z>,即二誓，

51cl\C\

解得t=5,

故選：C.

4.（5分）（2022秋.黑龍江.高三階段練習）2022年4月16B,神舟十三號載人飛船返回艙在著陸場預定區

域成功著陸，三名航天員安全出艙.神舟十三號返回艙外形呈鐘形鈍頭體，若將其近似地看作圓臺，其高為

2.5m,下底面圓的直徑為2.8m,上底面圓的直徑為1m,則可估算其體積約為（）（兀。3.14）

A.3.6m3B.7.6m3C.22.8m3D.34.4m3

【解題思路】利用圓臺的體積公式V=1九(戶+療，+r'2)可求得結果.

【解答過程】因為圓臺的上底面圓的半徑是0.5m,高是2.5m,下底面圓的半徑是1.4m,

所以V=)以產+rr'+產)?1x3.14x2.5x(0.52+0.5X1.4+1.42)?7.6(m3).

故選：B.

5.(5分)(2022?全國?統考高考真題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在

兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【解題思路】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解

【解答過程】因為內丁要在?起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排

列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方

式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，

故安排這5名同學共有：3!x2X2=24種不同的排列方式，

故選：B.

6.(5分)(2022秋?四川宜賓?高三階段練習)設(1=61】一2b，h=VL4-1,c=21nl.l,貝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】利用幕函數和指數函數的性質判斷的范圍，a利用基本不等式判斷b的范圍，構造新函數并利

用導數討論函數的單調性求出c的范圍，進而得出結果.

【解答過程】由e3<28,得岸<"/麗，即而<2夕，所以e「i<eLS=8，

所以eii<2/，貝ije】i-2/<0,即a<0；

I----------------—+12

由-1=x1.2-1<-1<0.184,即b<0.184；

設f(x)=Inx-華>0),則/'(x)=--1在=牛%>0,

J、JX+1、77v7X(x+l)2x(x+l)2

所以/(%)在(0,+8)上單調遞增，且/(1)=0,

所以當%6(1,+">)時/(X)>0,即In%>,

當為6(0,1)時/(%)<0,即Inx<沔一”,

又1.1>1,則lnl.1>弋詈,*0.095,

所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

綜上，Qvb<c.

故選：A.

7.(5分)(2022?天津?統考高考真題)已知/Q)=]in2x,關于該函數有下列四個說法：

①f(x)的最小正周期為2兀：

②f(x)在[一％3上單調遞增；

③當x6[—昌時，/⑸的取值范圍為卜今卦

④f(x)的圖象可由g(x)=；sin(2x+?的圖象向左平移g個單位長度得到.

以上四個說法中，正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據三角函數的圖象與性質，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

【解答過程】因為〃x)=]in2x,所以〃工)的最小正周期為7=弓=兀，①不正確；

令t=2無e卜/，而y=]int在卜得上遞增，所以f(x)在[―曙]上單調遞增，②正確；因為t=2xe

sinte[—y,lj,所以/'(x)e[―￥，小③不正確；

由于g(x)=1sin(2x+；)=[sin]2(x+；)],所以/(x)的圖象可由g(x)=|sin(2x+；)的圖象向右平移;個單

位長度得到，④不正確.

故選：A.

8.(5分)(2023?全國?高三專題練習)對任意aeR,存在b€(0,+8),使得ea-lnb=l,則b-a的最小

值為()

A.-B.—C.1D.e

22

【解題思路】令ea=lnb+l=t(￡>0),把b—Q用t表示，然后引入新函數，利用導數求得函數的最小值

即得.

(解答過程】由題e。=Info+1,令e。=Inh+1=t(t>0),則。=\nt,b=et-1,

所以b—a—et-1—Int,

令/Q)=et-1—lnt(t>0),貝=e*T—

令〃(%)=f'(t)-et-1—p

則if(%)=>0,

則〃⑺即尸⑴在(0,+oo)時單調遞增，

又/(1)=0,則0<t<1時/(t)<0,t>1時((t)>0,

所以t=1時取得極小值也即為最小值，最小值=即b-a的最小值為1.

故選：c.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.（5分）（2022?全國?統考高考真題）已知正方體力BCD-4181GD1，則（）

A.直線BQ與。&所成的角為90。B.直線BQ與C&所成的角為90。

C.直線8cl與平面所成的角為45。D.直線BG與平面ABC。所成的角為45。

【解題思路】數形結合，依次對所給選項進行判斷即可.

【解答過程】如圖，連接8道、B￡,因為/MJ/81C,所以直線8cl與所成的角即為直線8cl與所成

的角，

因為四邊形BBiQC為正方形，則8［C_L8G，故直線與所成的角為90。，A正確；

連接&C,因為4祖_L平面BBiQC,BQu平面8B1GC,則建祖工垢,

因為&C_LBCi，=所以BC】_L平面48傳，

又為Cu平面4&C,所以8G_LC4，故B正確；

連接&G，設&G=0,連接B。，

因為1平面4$iGDi，GOu平面4B1GD1，則

因為6。1當。1，當劣C=當，所以C］。1平面

所以“18。為直線EC1與平面88也。所成的角，

設正方體棱長為1，則G。=立，BC、=立,sin4C［B0==］，

2BCi2

所以，直線BCi與平面所成的角為30。，故C錯誤；

因為GCL平面4BCD,所以4GBe為直線BQ與平面48C。所成的角，易得4GBe=45。，故D正確.

故選：ABD.

10.（5分）（2022春.江蘇南通?高三階段練習）已知函數f（x）=（/+。幻爐，則下列說法正確的是（）

A.當a=-2時，f（x）在［-14上單調遞減

B.當a=-2時，函數f（x）沒有最值

C.對任意aeR,函數f（x）恒有兩個極值點

D.對任意a6R,過原點且與/'（X）相切的直線恒有兩條

【解題思路】利用導數求函數的單調性、最值、極值，從而判斷選項A,B,C；利用導數的兒何意義求切

線的方程，分析切線的斜率，從而判斷選項D.

【解答過程】對于A選項，當a=—2時，/(%)=(x2—2x)ex,則/''(x)=(x?—2)eX,當xe[—1,1]時，恒

有f'(x)<0,因此f(x)在上單調遞減，故A正確；

對于選項B,/'(%)=一2)留，令/''(x)=0,可得x=±&,所以f(x)在(一8,-e)上單調遞增，在

(一企,夜)上單調遞減，在(金,+8)上單調遞增，當XT+8時，/(X)T+00,故/(X)無最大值，又當X<0時，

/(%)>0,且/(&)<0,故必乃有最小值，且最小值在x=近處取得，故B錯誤；

對于選項C,由題可得/''(X)=[x2+(a+2)x+a]ex,令/''(x)=0,因為e*>0,所以/+(a+2)x+a=0,

4=(a+2)2-4a=a2+4>0,即/''(x)=0存在兩個不同的根，所以/(x)恒有兩個極值點，故C正確；

z

對于選項D,設切點為(xo，y。),則切線方程為y-y0=/(x0)(x-x0),因為該切線過原點，所以y。=xof\xo),

xx

即(以+ax0)e°=xo(%o+ax0+2x0+a)e°,即詔+(a+l)x0=0,當a=—1時，方程有唯一解，即與=0,

所以當a=-l時，過原點且與f(x)相切的直線只有一條，故D錯誤.

故選：AC.

11.(5分)(2022?全國?統考高考真題)已知。為坐標原點，過拋物線。。2=22％(2>0)焦點廠的直線與。

交于A,B兩點,其中A在第一象限，點M(p,0),若|4F|=|AM|,則()

A.直線4B的斜率為2乃B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.AOAM+Z.OBM<180°

【解題思路】由|4F|=|4M|及拋物線方程求得4(日，字)，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線AB的

方程，聯立拋物線求得8(；,-亨)，即可求出|OB|判斷B選項；由拋物線的定義求出|4B|=誓即可判斷C

選項；由市?礪<0,蘇?麗<0求得乙408,乙4MB為鈍角即可判斷D選項.

【解答過程】對于A,易得Fg,0),由|4F|=|4M|可得點4在FM的垂直平分線上，貝U點橫坐標為器=爭

代入拋物線可得y2=2p?普=|p2,則4(%學)，則直線的斜率為擊=2后A正確；

42

對于B,由斜率為2通可得直線4B的方程為x=6y+與聯立拋物線方程得y2一靠py一p2=0,

2

設8即%)，則當P+%=%，則％=-字,代入拋物線得(一等)=2p-X1,解得/=多則照,-?)，

則|OB|=胞丫+(-亨I=野手I。用=導B錯誤；

對于C,由拋物線定義知：|48|=乎+：+D=誓>2p=4|。?|,C正確；

對于D,市.麗=(冬鳥)嗎一字)=去"亨.(一字)=_乎<0,則208為鈍角,

又加.麗=(小學)?(一g,—亨)=_『(_g)+烏.(一字)=_誓<°，則〃MB為鈍角，

5L/.AOB+^LAMB+/.OAM+^OBM=360°,則4。4M+4OBM<180°,D正確.

故選：ACD.

12.(5分)(2023?全國?高三專題練習)已知定義在R上的單調遞增的函數/(x)滿足：任意xGR,有/(I一x)+

/(1+x)=2,/'(2+尤)+/(2-x)=4,則()

A.當x6Z時，/(x)=x

B.任意x￡R,/(-X)=-/(%)

C.存在非零實數T,使得任意x&R,/(x+7)=/(%)

D.存在非零實數c,使得任意X6R,|/(x)-cx|<1

【解題思路】令x=1-何推導得/(x+2)=/(X)+2,結合/⑴)(2)的值可知A正確；令x=1+t可推

導得=f(2-x)-2,結合f(x)+/(2-%)=2可推導知B正確;根據/(x)單調性可知C錯誤；當c=1

時，根據“X)的對稱中心及其在[0,1]時的值域可確定c=l時滿足1/(%)-cx|Wl,知D正確.

【解答過程】對于A,令x=1-3則/'(t)+f(2-t)=2,即/(x)+f(2-x)=2,

又/'(24-x)+/(2-x)=4,/(x+2)=4-/(2-x)=4-(2-/(x))=/(%)+2；

令x=0得:/(l)+/(1)=2,f(2)+*2)=4,=f(2)=2,

則由/(x+2)=f(x)+2可知:當久eZ時，/(x)=x,A正確;

對于B,令x=l+t,則/'(-t)+/(2+t)=2,即/(-%)+/(2+x)=2,

???/(-x)=2-f(2+x)=2-(4-/(2-x))=f(2—x)-2,

由A的推導過程知：/(2-x)=2-f(x),f(-x)=2-/(x)-2=-/(%).B正確；

對于C,,??/(>)為R上的增函數，

二當T>0時，x+T>X,則/'(x+T)>/(x)；當7<0時，x+T<x,貝療(％+7)<f(x),

二不存在非零實數7,使得任意XeR，f(x+T)=f(x),C錯誤；

對于D,當c=>時,\f[x)—cx\=|/(x)-x|；

由/(l-x)+f(l+x)=2,/(2+x)+/(2-x)=4^0：f(x)關于(1,1),(2,2)成中心對稱，則當aCZ時,

(a,a)為f(x)的對稱中心；

當xe[0,1]時，???/(x)為R上的增函數，/(0)=0,/(1)=1,.?./-(%)G[0,1],

???iy(x)-%i<1；

由圖象對稱性可知：此時對任意尤GR,|/(x)-cx\<1,D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（2022春?河北唐山?高二期末）（x+（X—：）展開式中的常數項為40.

【解題思路】先求出卜一，的展開式通項為Tr+1=（—2）rC，H,分析（無十號1一/展開式中的常數

項的構成，即可求解.

【解答過程】[一的展開式通項為7>+1=C梟5T（-|）r=（_2）『C"5-2r

要求（x+§（x—展開式中的常數項，只需5—2r=—l和5-2r=1,

分別解得：r=3或r=2.

因此所求常數項為（一2）3武+3x（-2）2第=-80+120=40.

故答案為：40.

14.（5分）（2023?江西景德鎮?統考模擬預測）已知數列｛aj為等差數列，數列｛%｝為等比數列且公比q=2.

數列5｝和數列｛%｝的前幾和分別為S3%,且滿足72n+2=52”，則等差數列｛冊｝的通項公式為

4n-2.

【解題思路】分別令n=1,2,3,得至1」4+2=$4,設｛%｝的公差為d,化簡得到:廿1一譽=涎，解方程

7_s134Q]-/Q=4U

組可得答案.

+2￡

=（T=S-2

+2=22

【解答過程】由已知得，令得，<=54T=S-2,根據等比數列求和公式，得到&=

71=1,2,3+244

58=Sg-2

(3瓦=S-2

2S4-2=5(S-2)

3瓦,7；=15仄,丁6=63灰，故15bl=54-2=>2

“-2=21(S-2)'

(63瓦=S8-22

4。1+6d-2=10。1+5d—10

設｛5｝的公差為d,則

8QI+28d-2=42%+21d-42'

42al—7d=56(a=2

化簡得,4c={jr，a=4An-2o,

34%—7d=40Id=4n

故答案為：an=4n—2.

15.（5分）（2022.浙江.統考高考真題）已知雙曲線及一，=l（a>0,b>0）的左焦點為F,過產且斜率為螢

的直線交雙曲線于點交雙曲線的漸近線于點8（工2，72）且V0V%2.若|/8|=3|凡4|,則雙曲線

的離心率是乎.

【解題思路】聯立直線AB和漸近線，2：y=?x方程，可求出點8,再根據|FB|=3|凡4|可求得點A,最后根據

點4在雙曲線上，即可解出離心率.

【解答過程】過F且斜率為菖的直線4B:y=V（x+c）,漸近線，2：丫=N

y/o+c)

，得B8?，由|尸即=3伊川,得“一寶）,

聯立b

y=aX

而點4在雙曲線上，于是怒-黑=1,解得：捺=另所以離心率e=學.

16.(5分)(2023?湖北?校聯考模擬預測)設a>0且a*1,若對VxG(一8,0)都有戲+a?<評成立，則實

數a的取值范圍為(1,2].

【解題思路】由原不等式結合基本不等式可得/+：Sa-,再由尤<o可得x+2,則得a>l,然后由

X

謨+/結合指數的運算可得a42,再通過構造函數利用導數證明在l<aW2,xe(—8,0),有〃+工+

a1442即可.

【解答過程】因為a>0且a=1,因為a*+a；>2/嗎,當且僅當初=/時取等號，

故2/*行，所以

又x<0,所以％+：=_[(_%)+4—2,當且僅當%=：時取等號,

所以Q>1.

又a*4-<-,所以Q*<--dx=2~axy顯然謨>0,

aaa

所以有2-1+3>0,即1+(<Ioga2恒成立，

乂X<0,所以故loga221=loga。，所以a42.

當a>2時，1+：<Ioga2恒成立，即x>恒成立，與Vx6(一8,0)矛盾.

下面證明：在1<aW2,%€(-8,0),有〃+%+a1+x<2,

1+x

令t=a6(0,a),x=loga(：)

要使儲+三W2-a1+x,即i+：wioga(2-t)

即1+i一4-bga(2-t)

由1<aS2知《=a1+x6(0,a),得:e(0,1),logaQ)<0

從而需證：loga+1>(log5-1)-loga(2-t)

即需證明：普+華蟲一4.華色20,記Ina=b€(0,ln2]

InaInaInaInaJ

從而只需證：h(t)=h[lnt+ln(2—t)]—Int-ln(2—t)>0①

而九'(t)=8(：一六)—Qln(2-t)+lnt-)=i[6-ln(2-t)]+六[Int-b]t=0,

令W(t)=-[/?—ln(2—t)]+--[Int—b],則

t2—t

d(t)=同吟+/-1+(ln2-b)]+小屋+、1+(ln2叫,

令t(x)=Inx+^—l(x>0).則t<x)=：一點=妥，

當0cx<1時，t'(x)<0,當x>l時，t'(x)>0,

所以t(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

所以t(x)2t(l)=0,即lnx+3-120,

因為ln2—b20,所以，(t)>0

.?.??)在(0,a)上遞增，又九”)=0,

二在0<t<<"⑴=遞減，ft(t)>九⑴,

1<t<a,h'(t)>"⑴=0,/i(t)遞增，h(t)>

而MD=0,從而在1<t<a時總有/i(t)>h(l)=0

...①式恒成立，不等式涼+x+a1+3<2得證.

綜上所述，aG(1,2].

故答案為：(1,2].

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2022?全國?統考高考真題)記立為數列｛an｝的前〃項和.已知智+n=2%+1.

(1)證明：｛%｝是等差數列；

(2)若。3a7lag成等比數列，求上的最小值.

2

【解題思路】(1)依題意可得2S”+n=2nan+n,根據即=L$>"=1作差即可得到即_01,

-bn_],n>L

從而得證；

(2)法一：由(1)及等比中項的性質求出％,即可得到的通項公式與前幾項和，再根據二次函數的性

質計算可得.

【解答過程】(1)因為守+n=2an+l,即2Sn+n2=2nan+n①，

2

當n>2時，2Sn_i+("一I)=2(n—l)an_1+(n-1)②，

22

①一②得，2s7?4-n-2Sn_i—(7i—l)—2nan+n—2(n—l)an-i—(n-1),

=

B|J2un+2n-12,Tiun—2(n—l)dn_1+1,

即2(n—l)a九一2(九一1)@八_1=2(九一1),所以an-an_i=L幾N2且n€N*,

所以｛Qj是以1為公差的等差數列.

(2)［方法一］:二次函數的性質

由(1)可得@4=+3,@7=+6，。9=+8'

2

又。4，。7，。9成等比數列，所以=-a9,

即(%+6/=(%+3)?(%+8),解得由=—12,

22

所以即=n-13,所以Sn=-12n+=|n-yn=|(n-y)一等，

所以，當n=12或n=13時，(Sn)min=-78.

［方法二］:【最優解】鄰項變號法

由(1)可得。4=。1+3,。7=%+6，。9=%+8，

又。4，。7,成等比數列，所以。72=口4，的，

即31+6)2=31+3)?(4+8),解得出=-12,

所以Qn=n—13,即有由<a2<…<012<0,@13=0.

貝|J當九=12或71=13時，(Sn)min=-78.

18.(12分)(2022?安徽滁州?校考模擬預測)在△4BC中，角4B,。所對的邊分別為Q,b,c,滿足

a(tan?l+tanC)+b=btanA?tanC,且角4為鈍角.

(I)求4—B的值；

(II)若b=3,cosB=孚,求^ABC的面積.

【解題思路】(I)整理可得:必+:叱=一2即tanB=3利用正弦定理可得當=注，即sinA=cosB=

l-tani4tanCaacosBsin/l

sin仔+B),即可求解;

(U)由(I)分別求得sinA,sinB,cosB,利用正弦定理求得a,再根據和角公式求得sinC,進而代入三角形面積

公式中求解即可.

【解答過程】(I)由題，整理可得半第=一之

1-tan/ltanCa

.*.tan(i4+C)=—即tanB=

二由正弦定理可得當=若，

cosBsin力

:.sinZ=cosB=sinQ+B),

???A為鈍角，

A=-4~B,

???4一B=今

(H)由(I),A=、+B,cosB=孚

???sinA=sin(巳+3)=cosB=—,sinB=~,cos>l=——.

由正弦定理號=號，即9=2解得Q=3V2,

sinAsmBv6號

33

:.sinC=sin(A+B)=sin4cosB+cosAsinB=

二三角形面積S=jabsinC=苧.

19.(12分)(2022.全國?高三專題練習)兩會期間國家對學生學業與未來發展以及身體素質的重要性的闡述

引起了全社會的共鳴.某中學體育組對高三的800名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所示的頻率

分布直方圖(引體向上個數只記整數).體育組為進一步了解情況，組織了兩個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1-15個引體向上的男生中，按照分層抽樣抽取22人進行全面的體能測試.

①在單次完成6-10個引體向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這22人中抽取3人進行個別訪談，記抽到“單次完成引體向上1-5個”的人數為隨機變量X,

求X的分布列和數學期望；

(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關性角度進行研究，得到了這800人的學業成績與體育成績之

間的2x2列聯表.

學業優秀學業不優秀總計

體育成績不優秀200400600

體育成績優秀100100200

總計300500800

請你根據列聯表判斷是否有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關？

參考公式：獨立性檢驗統計量摑=二%阮)：其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的臨界值表供參考：

20.150.100.050.0250.0100.0050.001

P（JC>XO）

&2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解題思路】(1)①先按照分層抽樣求出1-5個、6-10個、11-15個分別抽取的人數，再由古典概型計算甲

被抽中的概率即可；

②直接計算X為0、1、2,3的概率，列出分布列計算期望即可;

（2）直接計算％2進行判斷即可.

【解答過程】（1）

①單次完成1-5個引體向上的人有0.02x5x800=80人

單次完成6-10個引體向上的人有0.03x5x800=120人

單次完成11-15個引體向上的人有0.06x5x800=240人

單次完成1-15個的引體向上的男生共440人，按照分層抽樣抽取22人,

設分別抽取a,b,c人，則有2=*=喜=急

所以a=4,b=6,c=12

即從1-5中選4人，6-10個中選6人，11-15個中選12人，

又因為單次完成6-10個引體向上的人共有120人，

記”單次完成6-10個引體向上的學生中甲同學被抽中”為事件A,

則「（4）=攀=/

L120NU

②X的所有可能取值有0、1、2、3

P（X=°）*黑,P（x=D=甯=崇

P(X=2)=警=急P(X=3)=簪=+

所以X的分布列如下:

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(X)=0x型+1X理+2x牝+3x-i-=^=2

''38538538538538511

(2)

因為2=——隙叱-----

I，以(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

_800x(20000-40000)2

-600x200x300x500

=—?17.77>7.879,

9

所以有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關.

20.(12分)(2022?全國?統考高考真題)如圖，P。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是PB的

中點.

p

（1）證明：OE〃平面P4C；

（2）若NAB。=NCB。=30。，PO=3,PA=5,求二面角C--B的正弦值.

【解題思路】（1）連接BO并延長交4c于點。，連接04、PD,根據三角形全等得到CM=0B,再根據直角

三角形的性質得到4。=DO,即可得到。為BD的中點從而得到OE//PD,即可得證；

（2）建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據同角三角函數的基

本關系計算可得.

【解答過程】（1）證明：連接B0并延長交4c于點。，連接。A、PD,

因為P。是三棱錐P-48c的高，所以P01平面4BC,4。,80<=平面48。，

所以PO_L4。、PO1B0,

乂PA=PB,所以△PtMmAPOS,即。4=。8,所以=N0B4,

5LAB1AC,即NB4c=90°,所以N04B+=90°,^OBA+WDA=90°,

所以NODA=LOAD

所以40=。。，BP/40=DO=OB,所以。為的中點，又E為PB的中點，所以OE//PD,

又OEC平面PAC,PDu平面PAC,

所以0￡7/平面P4C

AB

C2）解：過點力作4z〃0P,如圖建立空間直角坐標系,

因為P0=3,AP=5,所以。。=7AP2-P02=4,

又4OBA=40BC=30°,所以8。=204=8,則4。=4,AB=4>/3,

所以4C=12,所以。(2次,2,0),B(4V3,0,0),P(2V3,2,3),C(0,12,0),

所以E(3百

則屈=(3遮,1,|),AB=(4V3,0,0),AC=(0,12,0),

設平面的法向量為元=(x,y,z),則3V3x+y+-z。，令z=2,則y=-3,x=0,所以元=

(n-AB=4>/3x=0

(0,-3,2)；

設平面4EC的法向量為沅=3瓦c),則『'AE=^a+b+lC

(m-AC=12b=0

令Q=8，則c=-6,b=0,所以布=0,—6)；

而?沅_-124>/3

所以cos〈元，沆）=

同|沆|V13Xx^39131

設二面角C-AE-8的大小為。，則|cos8|=|cos（n,m）|=^,

所以sin。=V1-cos26=募，即二面角C-4E-B的正弦值為裝.

21.（2022秋?遼寧大連?高三期末）已知雙曲線Q:^-y2=1的離心率為圣經過坐標原點。的直線/與雙

曲線。交于A,B兩點，點4（Xi，yJ位于第一象限,C（X2，y2）是雙曲線。右支上一點,ABJ.AC,設D（乙，一等）

（1）求雙曲線Q的標準方程；

⑵求證：C,D,8三點共線；

（3）若△4BC面積為T，求直線/的方程.

【解題思路】（1）根據離心率即可求解a=2,

（2）利用坐標運算，結合點差法以及向量共線的坐標表示即可求解，

（3）根據三角形面積公式，利用聯立方程，韋達定理，代入化簡即可得到關于k的方程，

【解答過程】⑴由雙曲線Q：5—y2=i的離心率為當，所以6=等=字解得a2,

所以雙曲線。的標準方程為9一y2=1

(2)由4(X[))得-y)又C(%2，y2)，所以

0A=01，%),而=(x2-x1,y2-9),

由瓦？1而得X]（X2-Xi）+%（丁2一%）=0①，

22

由于401，%），C（>2，y2）在雙曲線上，所以“z-----為=1,^------y2=1>

相減得多2:22=2_2n?=3也②

4”,zVi+yzxt-x2

由①?得?=一當⑨，

Ji+yzy\

BC=（久2+X1/2+y。前=（2/，-]yj,

由于%>0,%>0,所以紅出一平=2+也3,

2%i一/12%i%

將③代入得衛士a-空1='"+"）?黃）+生竺3=o,

2%[-尹12尤1%

所以就〃而，因此C,D,B三點共線:

(3)設直線/的方程為y=kx(k>0),

y=kx

/=>（l-4fc2）%2=4,

{--y=1

故l—4i>ono<k.

所以看2=f,

直線AC的方程為y-%=-

聯立‘；/'0（1-表）/+之償+月）》-4件+力丫一4=0,

------y=i

I4,

所以/+“2=-誓誓泊>0

由于4D//y軸，%>0,所以|4D|=|y/

10(F2+k3412)_10(*+/3)%12_10(k+k3)^^2_40(k+爐)

由于%=X］2=工工位代入得S—BC

4-k24-17H+4心

4喉+k),

?表+△)-"'

令(+/c=t>0,則SAABC=JM=T，化簡得24t2-35t-150=0,由于t>0,

所以t=￥

因此q+k=￡,解得k=3或k=[,

由于0<k<；,所以k=±

故直線(方程為y=；x.

22.(12分)(2022?天津?統考高考真題)已知a,b￡R,函數/(