江蘇省南通市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

一.整式的混合運算一化簡求值（共1小題）

1.（2021?南通）（1）化簡求值：（2x-l）2+（x+6）（x-2）,其中x=-向；

（2）解方程旦=0.

x-3x

二.分式的混合運算（共2小題）

2.（2022?南通）（1）計算：

aa+2

（2）解不等式組：（2x-l>x+l.

（4xT》x+8

3.（2020?南通）計算：

（1）（2/n+3/i）2-（2m+n）（2m-力；

22xy

（2）"+（x+y-）.

XX

三.兩條直線相交或平行問題（共1小題）

4.（2020?南通）如圖，直線dy=x+3與過點A（3,0）的直線，2交于點C（1,m）,與x

軸交于點B.

（1）求直線/2的解析式；

（2）點M在直線4上，MN〃y軸，交直線/2于點M若MN=AB,求點M的坐標.

四.一次函數的應用（共2小題）

5.（2022?南通）某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/依、12元/奴，這兩種蘋

果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：儂）之間的關系如圖所示.

（1）寫出圖中點B表示的實際意義；

（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：/）之間的函數

解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為成g時.，它們的利潤和為1500

元，求〃的值.

6.（2021?南通）A,8兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進

行促銷活動，促銷方式如下：

A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；

8超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折.

例如，一次購物的商品原價為500元，

去A超市的購物金額為：300X0.9+（500-300）X0.7=410（元）；

去8超市的購物金額為：100+（500-100）X0.8=420（元）.

（1）設商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關于x的

函數解析式；

（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請

說明理由.

五.拋物線與x軸的交點（共1小題）

7.（2020?南通）已知拋物線>=蘇+法+。經過A（2,0）,B（3/2-4,yi）,C（5〃+6,”）

三點，對稱軸是直線x=l.關于x的方程/+區+。=》有兩個相等的實數根.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若"05,試比較yi與”的大小；

（3）若B,C兩點在直線x=l的兩側，且川>”，求〃的取值范圍.

六.二次函數綜合題（共2小題）

8.（2022?南通）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（“NO）的點叫做這個函

數圖象的階方點”.例如，點（上，.1）是函數y=x圖象的階方點”；點（2,1）

332

是函數y=2圖象的“2階方點”.

⑴在①（-2,-1）；②（-1,-1）；③（1,1）三點中，是反比例函數尸上圖象

2x

的“1階方點”的有（填序號）；

（2）若y關于x的一次函數y=ox-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，求。的值;

（3）若y關于x的二次函數y=-（x-〃）2-2〃+1圖象的“”階方點”一定存在，請直

接寫出〃的取值范圍.

9.（2021?南通）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數

圖象的“等值點例如，點（1,1）是函數的圖象的“等值點

22

（1）分別判斷函數y=x+2,y=7-x的圖象上是否存在''等值點”？如果存在，求出”等

值點”的坐標；如果不存在，說明理由；

（2）設函數y=W.（x>0）,y=-x+人的圖象的“等值點”分別為點A,B,過點8作BC

_Lx軸，垂足為C.當△回（：的面積為3時，求b的值；

（3）若函數y=?-2）的圖象記為Wi,將其沿直線x=m翻折后的圖象記為IV2.當

Wi，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出機的取值范圍.

七.四邊形綜合題（共3小題）

10.（2022?南通）如圖，矩形ABC。中，AB=4,AO=3,點E在折線8CC上運動，將AE

繞點4順時針旋轉得到AF,旋轉角等于NBAC,連接C尸.

（1）當點E在BC上時，作尸例J_AC,垂足為M,求證：AM=AB；

（2）當AE=3A/5時，求CF的長；

（3）連接。凡點E從點8運動到點。的過程中，試探究。尸的最小值.

-----------------------1s---------------------iB

11.(2021?南通)如圖，正方形ABCD中，點E在邊AO上(不與端點A,。重合)，點4

(1)求N8CF的大小(用含a的式子表示)；

(2)過點C作CGL直線AF,垂足為G,連接。G.判斷力G與C尸的位置關系，并說

明理由；

(3)將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBH,點E的對應點為點H,連接BF,HF.當

△BF”為等腰三角形時，求sina的值.

12.(2020?南通)【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

(1)如圖①，對余四邊形A8CD中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC.若4C=AB,

求sin/。。的值；

(2)如圖②，凸四邊形A8C。中，AD^BD,ADLBD,2CD2+CB2=CA2判斷四

邊形4BC。是否為對余四邊形.證明你的結論；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標系中，點A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四邊形ABCO是對

余四邊形，點E在對余線8。上，且位于△ABC內部，ZAEC=90°+ZABC.設笆?=〃,

BE

點D的縱坐標為t,請直接寫出u關于/的函數解析式.

八.圓周角定理(共1小題)

13.(2022?南通)如圖，四邊形48co內接于BD為。。的直徑，AC平分/BAD,CD

=2&,點E在BC的延長線上，連接。E.

(1)求直徑80的長:

14.(2021?南通)如圖，A8為的直徑，C為。。上一點，弦AE的延長線與過點C的

切線互相垂直，垂足為。，/CAQ=35°,連接BC.

(1)求的度數；

15.(2020?南通)(1)如圖①，點。在AB上，點E在AC上，AD=AE,NB=NC.求證:

AB^AC.

(2)如圖②，A為。。上一點，按以下步驟作圖：

①連接0A-.

②以點A為圓心，A0長為半徑作弧，交。0于點8；

③在射線0B上截取BC=OA；

④連接AC.

若AC=3,求。。的半徑.

圖②

一十一.作圖一復雜作圖（共1小題）

16.（2022?南通）【閱讀材料】

老師的問題：小明的作法：

已知：如圖，AE//BF.（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交

求作：菱形A8C￡>,使點C,。分別在BRAE于點。；

4E上.（2）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交

BF于點C；

（3）連接CD.

四邊形ABCD就是所求作的菱形.

【解答問題】

請根據材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形.

一十二.翻折變換（折疊問題）（共1小題）

17.（2020?南通）矩形A8CO中，A8=8,>40=12.將矩形折疊，使點A落在點尸處，折

痕為DE.

（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP,求空的值；

DE

（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交8c于點凡求BF的長.

B

圖②

一十三.相似三角形的應用（共1小題）

18.（2021?南通）如圖，利用標桿。E測量樓高，點A,D,8在同一直線上，DELAC,BC

若測得AE=lm,DE=l.5m,CE=5m,樓高8c是多少？

一十四.條形統計圖（共1小題）

19.（2020?南通）為了解全校學生對“垃圾分類”知識的掌握情況，某初級中學的兩個興趣

小組分別抽樣調查了100名學生.為方便制作統計圖表，對“垃圾分類”知識的掌握情

況分成四個等級：4表示‘‘優秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，。表示“不合格”.第

一小組認為，八年級學生對“垃圾分類”知識的掌握不如九年級學生，但好于七年級學

生，所以他們隨機調查了100名八年級學生.

第二小組隨機調查了全校三個年級中的100名學生，但只收集到90名學生的有效問卷調

查表.

兩個小組的調查結果如圖的圖表所示:

第二小組統計表

等級人數百分比

A1718.9%

B3842.2%

C2831.1%

D77.8%

合計90100%

若該校共有1000名學生，試根據以上信息解答下列問題：

(1)第小組的調查結果比較合理，用這個結果估計該校學生對“垃圾分類”知

識掌握情況達到合格以上(含合格)的共約人；

(2)對這兩個小組的調查統計方法各提一條改進建議.

第一小組統計圖

20.(2022?南通)為了了解八年級學生本學期參加社會實踐活動的天數情況，A,B兩個縣

區分別隨機抽查了200名八年級學生，根據調查結果繪制了統計圖表，部分圖表如下：

4,8兩個縣區的統計表

平均數眾數中位數

A縣區3.8533

B縣區3.8542.5

(1)若A縣區八年級共有約5000名學生，估計該縣區八年級學生參加社會實踐活動不

少于3天的學生約為名；

(2)請對A,8兩個縣區八年級學生參加社會實踐活動的天數情況進行比較，作出判斷,

并說明理由.

一十六.方差（共1小題）

21.（2021?南通）某農業科技部門為了解甲、乙兩種新品西瓜的品質（大小、甜度等），進

行了抽樣調查.在相同條件下，隨機抽取了兩種西瓜各7份樣品，對西瓜的品質進行評

分（百分制），并對數據進行收集、整理，下面給出兩種西瓜得分的統計圖表.

甲、乙兩種西瓜得分表

序號1234567

甲種西瓜75858688909696

（分）

乙種西瓜80838790909294

（分）

甲、乙兩種西瓜得分折線統計圖

f分數

——甲種西瓜------乙種西瓜

100-------------------------------------------------------------------

01234567序號

甲、乙兩種西瓜得分統計表

平均數中位數眾數

甲種西瓜88a96

乙種西瓜8890b

（1）a=,b=；

（2）從方差的角度看，種西瓜的得分較穩定（填“甲"或"乙”）；

（3）小明認為甲種西瓜的品質較好些，小軍認為乙種西瓜的品質較好些.請結合統計圖

表中的信息分別寫出他們的理由.

一十七.列表法與樹狀圖法（共3小題）

22.（2022?南通）不透明的袋子中裝有紅球、黃球、藍球各一個，這些球除顏色外無其他差

別.

(1)從袋子中隨機摸出一個球，摸到藍球的概率是;

(2)從袋子中隨機摸出一個球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個球.求兩次摸到的球的

顏色為“一紅一黃”的概率.

23.(2021?南通)一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,

4.

(1)隨機摸取一個小球的標號是奇數，該事件的概率為;

(2)隨機摸取一個小球后放回，再隨機摸取一個小球.求兩次取出小球標號的和等于5

的概率.

24.(2020?南通)某公司有甲、乙、丙三輛車去南京，它們出發的先后順序隨機.張先生和

李先生乘坐該公司的車去南京出差，但有不同的需求.

巫i:我咽李先生：我要早點出發，只坐第

(靠瀉—出發的)一個出發的那蹄.

請用所學概率知識解決下列問題：

(1)寫出這三輛車按先后順序出發的所有可能結果；

(2)兩人中，誰乘坐到甲車的可能性大？請說明理由.

江蘇省南通市三年(2020-2022)中考數學真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

整式的混合運算一化簡求值(共1小題)

1.(2021?南通)(1)化簡求值：(2x-1)2+(x+6)(%-2),其中

(2)解方程2=0.

x-3x

【解答】解：(1)原式=4/-以+1+/+4工-12

=57-11,

當冗=-F時，

原式=5X3-11

=15-11

=4.

(2)_2_._3=0,

x-3x

2=3

x-3x

2x=3x-9,

元=9,

檢驗：將x=9代入%(%-3)K0,

???x=9是原方程的解.

二.分式的混合運算(共2小題)

2.(2022?南通)(1)計算：三2+■上-；

a2_4aa+2

(2)解不等式組：j2x-1>X+1.

14x-l》x+8

［解答］解：(l)原式一皂__.^2

(a+2)(a-2)aa+2

—2a

初+1+2

=a+2

a+2

=1；

(2)不等式2x-l>x+l的解集為：x>2,

不等式4x-12x+8的解集為：x23,

它們的解集在數軸上表示為:

-------i_i----:_I_jh—*—i—>

-5-4-3-2-1011345

不等式組的解集為：x23.

3.(2020?南通)計算：

(1)(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)；

2

(2)紅+(x+y-2xy),

XX

【解答】解：(1)原式=4〃，+12〃?〃+9〃2-(4川-〃2)

=4序+12〃?〃+9〃2-4m2+rr

=12wn+10n2；

22n2x

(2)原式:紅+(x_+y-y)

XXX

22

=x-y工x-2xy+y

XX

_x-y.x

x(x-y)2

=1

x-y

三.兩條直線相交或平行問題(共1小題)

4.(2020?南通)如圖，直線八：y=x+3與過點A(3,0)的直線/2交于點C(1,m),與x

軸交于點8.

(1)求直線12的解析式；

(2)點M在直線人上，MN〃y軸，交直線/2于點N,若MN=AB,求點M的坐標.

【解答】解：（1）把x=l代入y=x+3得y=4,

：.C（1,4）,

設直線/2的解析式為>=也+6，

.*+b=4,解得尸2.

l3k+b=0Ib=6

...直線/2的解析式為y=-2r+6；

（2）在y=x+3中，令y=0,得x=-3,

：.B（-3,0）,

：.AB=3-（-3）=6,

設M（a,?+3）,由MV〃y軸，得N（a,-2a+6）,

MN=|<r/+3-（-2a+6）\=AB=6,

解得a=3或a=-1,

：.M（3,6）或（-1,2）.

四.一次函數的應用（共2小題）

5.（2022?南通）某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/依、12元/依，這兩種蘋

果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：依）之間的關系如圖所示.

（1）寫出圖中點B表示的實際意義：

（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：儂）之間的函數

解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為a版時，它們的利潤和為1500

【解答】解：（1）圖中點3表示的實際意義為當銷量為60姑時，甲、乙兩種蘋果的銷售

額均為1200元；

（2）設甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：四）之間的函數解析式為y甲

—kx（A#0）,

把（60,1200）代入解析式得：1200=60鼠

解得&=20,

...甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：依）之間的函數解析式為y甲=20x

（0WxW120）；

當0WxW30時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：依）之間的函數

解析式為y乙=A'x#0）,

把（30,750）代入解析式得：750=30/,

解得：k'=25,

?'?y乙=25x；

當304W120時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函

數解析式為y乙=〃忒+〃（〃?W0）,

則[30m+n=750

160m+n=1200

解得：,m=15,

ln=300

??.）2=15x+300?

綜上，乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：依）之間的函數解析式為y乙

=r25x（0<x<30）

[15x+300（30<x<120）'

（3）①當0WaW30時,

根據題意得：（20-8）a+（25-12）a=1500,

解得：a=60>30,不合題意；

②當30<aW120時，

根據題意得:（20-8）a+（15-12）a+300=1500,

解得：a=80,

綜上，a的值為80.

6.（2021?南通）43兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進

行促銷活動，促銷方式如下：

A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；

8超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折.

例如，一次購物的商品原價為500元，

去A超市的購物金額為：300X0.9+(500-300)X0.7=410(元)；

去8超市的購物金額為：100+(500-100)X0.8=420(元去

(1)設商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關于x的

函數解析式；

(2)促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請

說明理由.

【解答】解：(1)由題意可得，當xW300時，劃=0.9x；當x>300時，^=0.9X300+0.7

(x-300)=0.7x+60,

故fO.9x(x<300)

YA-IO.7X+60(X>300)：

當x>100時，yB=100+0.8(x-100)=0.8x+20;

_(x(x4100)

yB-(0.8x+20(x>100)'

(2)由題意，得0.9x>0.8x+20,解得x>200,

.?.200<xW300時，到B超市更省錢；

0.7x+60>0.8x+20,解得x<400,

...300cxV400,到B超市更省錢；

0.7x+60=0.8x+20,解得x=400,

...當x=400時，兩家超市一樣；

0.7x+60V0.8x+20,解得x>400,

.,.當x>400時，到A超市更省錢；

綜上所述，當200cx<400到8超市更省錢；當x=400時，兩家超市一樣；當x>400

時，到A超市更省錢.

五.拋物線與x軸的交點(共1小題)

7.(2020?南通)已知拋物線y=ar2+/jx+c經過A(2,0),B(3〃-4,力)，C(5"+6,”)

三點，對稱軸是直線x=l.關于x的方程辦2+云+°=》有兩個相等的實數根.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若"<-5,試比較yi與”的大小；

(3)若8,C兩點在直線x=l的兩側，且求〃的取值范圍.

【解答】解：(1):拋物線丫=4/+公+。經過A(2,0),

.,.0=4a+28+c①，

；對稱軸是直線x=l,

/.--L=i②，

2a

?.?關于x的方程ax1+bx+c=x有兩個相等的實數根，

；.△=(/>-1)2-4ac=0@,

'_1

a--T

由①②③可得：，

b=l

c=0

???拋物線的解析式為y=-"+羽

2

(2)9：n<-5,

A3n-4<-19,5〃+6V-19

??.點8,點。在對稱軸直線冗=1的左側，

,拋物線y=-工7+x,

2

???-1<0,即y隨X的增大而增大，

2

?/⑶-4)-(5什6)=-2〃-10=-2(〃+5)>0,

/.3n-4>5九+6,

?』》”；

方法二'

(3〃-4,yi),C(5〃+6,”)在拋物線y=-上，

2

Ayi=-—(3n-4)2+(3〃-4)=--/?2+15n-12,

22

V2=-A(5〃+6)2+(5〃+6)=-^-n2-25n-12,

22

Ayi-(n+5),

Vn<-5,

/.8H<0,n+5<0,

?5-"=8〃(〃+5)>0,

(3)若點B在對稱軸直線x=l的左側，點C在對稱軸直線x=l的右側時,

3n-4<1

由題意可得，5n+6>1，

1-（3n-4）<5n+6-l

3

若點C在對稱軸直線x=l的左側，點8在對稱軸直線x=l的右側時，

3n-4>1

由題意可得：?5n+6<1,

3n-4T<1-（5n+6）

...不等式組無解，

綜上所述：

3

六.二次函數綜合題（共2小題）

8.（2022?南通）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（〃N0）的點叫做這個函

數圖象的“〃階方點”.例如，點（上，-1）是函數y=x圖象的“上階方點”；點（2,1）

332

是函數y=2圖象的“2階方點

X

⑴在①（-2,-2）；②（-1,-1）；③（1,1）三點中，是反比例函數、=工圖象

2x

的“1階方點”的有②③（填序號）；

（2）若y關于x的一次函數尸以-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，求a的值;

（3）若〉關于x的二次函數y=-（x-〃）2-2a+1圖象的，階方點”一定存在，請直

接寫出〃的取值范圍.

【解答】解：（1）①（-2,-1）到兩坐標軸的距離分別是2>1,1<1,

22

.?.（-2,-1）不是反比例函數>=上圖象的“I階方點”；

2x

②（-1,-1）到兩坐標軸的距離分別是1W1,1<1,

...（-1,-1）是反比例函數丫=」圖象的“1階方點”；

X

③（1,1）到兩坐標軸的距離分別是1<1,1W1,

...（L1）是反比例函數》=上圖象的“1階方點”；

X

故答案為：②③；

(2)-3a+l=a(x-3)+1,

，函數經過定點(3,1),

在以0為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區域只有唯一交點時，圖

象的“2階方點”有且只有一個，

由圖可知，C(2,-2),D(2,2),

；一次函數y=or-3“+l圖象的“2階方點”有且只有一個，

當直線經過點C時，a=-1,此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

當直線經過點。時，a=3,此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

綜上所述：”的值為3或4=-1；

(3)在以。為中心，邊長為2〃的正方形ABC。中，當拋物線與正方形區域有公共部分

時，二次函數y=-2-2〃+1圖象的“〃階方點”一定存在，

如圖2,當n>0時，4(〃，/)，8(",-n),C(,-n,-〃)，￡)(-〃，")，

當拋物線經過點。時，〃=-1(舍)或〃=工；

4

當拋物線經過點8時，〃=1；

時，二次函數>=-(x-n)2-2?+1圖象有“”階方點”；

4

綜上所述：工W〃W1時，二次函數丫=-(x-〃)2-2〃+1圖象的“”階方點”一定存在.

9.（2021?南通）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數

圖象的“等值點”.例如，點（1,1）是函數>=工+工的圖象的“等值點”.

22

（1）分別判斷函數y=x+2,的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出”等

值點”的坐標；如果不存在，說明理由；

（2）設函數y=3（x>0）,y=-x+6的圖象的“等值點”分別為點A,B,過點B作BC

x

_Lx軸，垂足為C.當△ABC的面積為3時，求〃的值；

（3）若函數y=7-2（x2,"）的圖象記為將其沿直線翻折后的圖象記為明.當

Wi，印2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍.

【解答】解：（1）在y=x+2中，令x=x+2,得0=2不成立，

二函數y=x+2的圖象上不存在“等值點”；

在尸/-犬中，4'X2-x=x,

解得：XI=0,X2=2,

二函數的圖象上有兩個“等值點”（0,0）或（2,2）；

（2）在函數y=3（JC>0）中，令彳=旦，

XX

解得：x=M，

：.A（V3>愿），

在函數y=-x+6中，令x=-x+b,

解得：x—^-b,

2

：.B（皂,%,

22

WC"軸，

：.C（工，0）,

2

r.BC=^b\,

2

：△ABC的面積為3,

：.lxl]b\X\43-lj^\=3,

222

當〃VO時，層-2Mb-24=0,

解得b--2A/3>

當0Wb<2舊時，b1-273b+24=0,

A=（-2我）2-4X1X24=-84<0,

方程序-2Mb+24=0沒有實數根，

當后2禽時，-273b-24=0,

解得：b=4\[3,

綜上所述，匕的值為-2近或4立；

（3）令x=d-2,

解得：XI=_1,X2=2,

???函數y=7-2的圖象上有兩個“等值點”（-1,-1）或（2,2）,

①當機<7時，Wi，卬2兩部分組成的圖象上必有2個“等值點”（-1,-1）或（2,

2）,

W\：y—j?~2（x2〃z）,

W2：y—（X-2/H）2-2

令x=（x-2m）2-2,

整理得：x2-（4m+l）x+4/n2-2=0,

???卬2的圖象上不存在“等值點”，

???△<0,

:.（4m+1）2-4（4病-2）<0,

.".m<-—>

8

②當機=-1時.，有3個“等值點”（-2,-2）、（-l,-1）,（2,2）,

③當-l<m<2時，W”W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”，

④當m=2時，媯，卬2兩部分組成的圖象上恰有1個“等值點”（2,2）,

⑤當,”>2時，Wi,卬2兩部分組成的圖象上沒有'’等值點”，

綜上所述，當Wi，牝兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，機V-9或-\<m

8

<2.

七.四邊形綜合題（共3小題）

10.（2022?南通）如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,AO=3,點E在折線BCD上運動，將AE

繞點A順時針旋轉得到A凡旋轉角等于/BAC,連接CE

（1）當點E在BC上時，作月WJ_AC,垂足為M,求證：AM=AB；

（2）當AE=3加時，求CF的長；

（3）連接QF,點E從點8運動到點。的過程中，試探究。尸的最小值.

F

【解答】（1）證明：如圖1中,作FM_L4C,垂足為

1

F

圖1

；四邊形ABC3是矩形,

AZB=90°,

'：FMLAC,

：.ZB=ZAMF=90°,

'：ZBAC^ZEAF,

：.ZBAE=ZMAF,

在△ABE和△AMF中，

，ZB=ZAMF

<NBAE=NMAF，

AE=AF

：./\ABE^/\AMF(4AS),

：.AB=AM；

(2)解：當點E在8c上，在RtZSABE中，A8=4,AE=3近,

B￡"VAE2-AB2=V(3V2)2-42=^2,

；.AB=AM=4,FM=BE=五,

在RtZ\A8C中，AB=4,BC=3,

?'?^C=VAB2+BC2=V42+32=5,

；.CM=4C-AM=5-4=1,

VZCMF=90°,

CF^VCM2+FM2=V12+(V2)2=a-

當點E在CO上時，可得CF=A/M§.

綜上所述，CF的值為M或行；

(3)解：當點E在8c上時，如圖2中，過點。作Oa_LFM于點”.

?、而

/圖2

：.AM=AB=4,

'：ZAMF=90°,

二點尸在射線尸M上運動，當點尸與K重合時，。，的值最小，

"：ZCMJ=ZADC=90°,ZMCJ=ZACD,

:ACMJs^CDA,

.-.CM=1L=CJ,

CDADAC

..1=MJ=￡J；

435

CJ=5,

44

：.DJ=CD-CJ=4-5=11,

44

；NCMJ=NDHJ=90°,/CJM=NDJH,

△CM-△￡)〃/,

?CM=CJ

..而DT'

5

?A=i

DHIk

4

：.DH=H,

5

.?.OF的最小值為旦.

5

當點E在線段CC上時，如圖3中，將線段AO繞點A順時針旋轉，旋轉角為/BAC,

得到線段AR,連接尸R,過點。作。QJ_AR于點。，DKLFR于點K.

■:/EAF=NBAC,ZDAR=ZBAC,

：.NDAE=NRAF,

*:AE=AF9AD=AR,

：./\ADE^/\ARF（SAS）,

AZADE=ZARF=90°,

??.點尸在直線R尸上運動，當點。與K重合時，。產的值最小，

?.,￡）QJ_AR,DK1,RF,

：.ZR=ZDQR=ZDKR=90°,

???四邊形DKRQ是矩形，

:.DK=QR,

.?MQ=AD*COSZBAC=3XA=12,

55

"：AR=AD=3,

：.DK=QR=AR-A。'，

二。尸的最小值為3,

5

??3<11

55

二。尸的最小值為3.

5

11.（2021?南通）如圖，正方形ABCD中，點E在邊4）上（不與端點A,。重合），點A

關于直線BE的對稱點為點F,連接CF,設/A8E=a.

（1）求NBC尸的大小（用含a的式子表示）；

（2）過點C作CG，直線AF,垂足為G,連接。G.判斷。G與CF的位置關系，并說

明理由：

（3）將448后繞點B順時針旋轉90°得到△C8”,點E的對應點為點H,連接BF,HF.當

△89為等腰三角形時，求sina的值.

【解答】解：（1）如圖1,連接BF,

點A關于直線BE的對稱點為點F,

：.AB=BF,BELAF,

：.NABE=NEBF=ot,

；.NCBF=90°-2a,

?/四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC,

：.BF=BC,

zgCF=180°-(90°-2a)=45o+&

2

(2)DG//CF,

理由如下：如圖2,連接AC,

圖2

四邊形ABCD是正方形，

AZACD=45°,Z^DC=90°,

".'CGLAF,

：.ZCGA=ZADC=90Q,

.,.點A,點。，點G,點C四點共圓,

.?./AGO=/ACC=45°,

"：AB=BF,ZABF=2a,

：.ZAFB=1800~2a=90°-a

2

AZAFC=135°,

/.ZCFG=45°=NDGA,

：.DG//CF；

(3):BE>AB,

:.BH￥BF；

如圖3,當8"=尸”時，過點〃作HN_LBF于M

VWAABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBH,

.?.△ABE安/\CBH,NEBH=90°=/A8C,

：.AE=CH,BE=BH,NABE=NCBH=a=NFBE,AB=BC,

：.NHBF=90°-a,

"：BH=FH,HNLBF,

:.BN=NF=LBF=LB,NBNH=90°=NBAE,

22

：.ZBHN=a,

：.NABE=NBHN,

:AABE@ANHB(ASA),

:.BN=AE=1AB,

2

B￡=22

\/AE+AB=爬AE,

sina=-^=^L5_,

BE5

當/時，

：.NFBH=NFHB=90°-a,

：.ZBFH=2a=ZABF,

J.AB//FH,

即點F與點C重合，則點E與點。重合，

?.?點E在邊A。上(不與端點A,。重合)，

二8尸=尸”不成立，

綜上所述：sina的值為近■.

5

12.(2020?南通)【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

【理解運用】

(1)如圖①，對余四邊形A3C。中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC.若AC=A8,

求sin/CA￡＞的值；

(2)如圖②，凸四邊形ABCC中，AD=BD,ADLBD,2CD1+CB2=CA2,判斷四

邊形ABCD是否為對余四邊形.證明你的結論；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標系中，點A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四邊形ABCQ是對

余四邊形，點E在對余線8。上，且位于△A8C內部，N4EC=90°+ZAHC.設膽=“,

BE

點D的縱坐標為t,請直接寫出u關于t的函數解析式.

【解答】解：(1)過點A作AELBC于E,過點C作CFJLA。于尺

圖①

"：AC=AB,

:.BE=CE=3,

在RtZ\AEB中，AE=JAB2_BE2={52_：?2=4,

'CCFVAD,

.,.ZD+ZFCD=90°,

；NB+ND=90°,

：.NB=ZDCF,

VZAEB=ZCFD=90Q,

△XEBSXDFC、

?EB=AB(

,,CFCD，

?3=5

"'CFT

r.CF=￡

5

12

.'.sinZC/lD=—=^-=—,

AC525

(2)如圖②中，結論：四邊形A8C￡＞是對余四邊形.

11、

理由：過點。作及M_L拉C,使得OM=OC,連接CM.

;四邊形A8C。中，AD=BD,ADLBD,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

VZDCM=ZDMC=45°,

：.ZCDM=ZADB=90°,

???/ADC=NBDM,

?；AD=DB,CD=DM,

：./\ADC^ABDM(SAS),

：.AC=BM,

V2CD2+CB2=C42,CM2=DM1+CD1=2Cb1,

222

：.CM+CB=BM[9

：.ZBCM=90°,

：.ZDCB=45°,

：.ZDAB+ZDCB=90°,

???四邊形ABCD是對余四邊形.

：.OA=\,0B=3,AB=4,AC=BC=2近,

.'.AC^BC^^AB2,

：.ZACB=90°,

；./C84=/C4B=45°,

?；四邊形48C￡>是對余四邊形，

AZADC+ZABC=90°,

.?./AZ)C=45°,

VZAEC=90°+ZABC=135°,

AZADC+ZAEC=180a,

AA,D,C,E四點共圓，

NACE=ZADE,

VZCA￡+ZACE=ZC4￡+Z￡AB=45°,

：.ZEAB=ZACE,

：.NEAB=NADB,

:NABE=NDBA,

：.AABE^/SDBA,

.BE=AE

"ABAD'

AAE=ADt

**BEAB'

?,y-AD

4

設D(x,t),

?.,四邊形ABCO是對余四邊形，

可得BD2=2CD2+AD2,

：.(x-3)2+?=2[(x-1)2+(/-2)2J+(x+1)2+r,

整理得(x+1)2=4Z-t2,

在中，^=7AH2+DH2=A/(x+1)2+t2=2Vt.

，“=坦=￡(0<Z<4),

42

即〃=￡(0<r<4).

2

八.圓周角定理(共1小題)

13.（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內接于O。，8。為的直