河北省衡水市中學·2024屆數學高一第二學期期末統考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，成等差數列，成等比數列，則的最小值是A．0 B．1 C．2 D．42．在等比數列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，則a4?a7的值為（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣63．如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為4，且側棱垂直于底面，正視圖是邊長為4的正方形，則三棱柱的左視圖面積為（）A． B． C． D．4．袋中共有完全相同的4只小球，編號為1，2，3，4，現從中任取2只小球，則取出的2只球編號之和是偶數的概率為（）A． B． C． D．5．已知分別為的三邊長，且，則=（）A． B． C． D．36．甲、乙、丙、丁四名運動員參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示，從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是（）人數據甲乙丙丁平均數8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲1000個點，己知恰有400個點落在陰影部分，據此可估計陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．158．如圖，中，，，用表示，正確的是()A． B．C． D．9．向正方形ABCD內任投一點P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．10．設等差數列{an}的前n項的和Sn，若a2+a8＝6，則S9＝（）A．3 B．6 C．27 D．54二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖是一個三角形數表，記，，…，分別表示第行從左向右數的第1個數，第2個數，…，第個數，則當，時，______.12．在我國古代數學著作《孫子算經》中，卷下第二十六題是：今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？滿足題意的答案可以用數列表示，該數列的通項公式可以表示為________13．已知3a＝2，則32a＝____，log318﹣a＝_____14．如圖，已知，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，則向量_______（用，表示向量）15．已知函數，關于此函數的說法：①為周期函數；②有對稱軸；③為的對稱中心；④；正確的序號是_________.16．在等比數列中，，公比，若，則的值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，其中．（1）當時，求的最小值；（2）設函數恰有兩個零點，且，求的取值范圍．18．已知等比數列的前項和為，公比，，．（1）求等比數列的通項公式；（2）設，求的前項和．19．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．20．已知在直角三角形ABC中，，（如右圖所示）（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉一周，試說明所得幾何體的結構特征并求所得幾何體的表面積.（Ⅱ）一只螞蟻在問題（Ⅰ）形成的幾何體上從點B繞著幾何體的側面爬行一周回到點B，求螞蟻爬行的最短距離.21．已知是第三象限角，．（1）化簡；（2）若，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】解：∵x，a，b，y成等差數列，x，c，d，y成等比數列根據等差數列和等比數列的性質可知：a+b=x+y，cd=xy，當且僅當x=y時取“=”，2、D【解題分析】

由題意利用韋達定理，等比數列的性質，求得a4?a7的值．【題目詳解】∵等比數列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，∴a2?a9＝﹣6，則a4?a7＝a2?a9＝﹣6，故選：D．【題目點撥】本題主要考查等比數列的性質及二次方程中韋達定理的應用，考查了分析問題的能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】

根據題意，得出該幾何體左視圖的高和寬的長度，求出它的面積，即可求解.【題目詳解】根據題意，該幾何體左視圖的高是正視圖的高，所以左視圖的高為，又由左視圖的寬是俯視圖三角形的底邊上的高，所以左視圖的寬為，所以該幾何體的左視圖的面積為，故選A.【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.4、C【解題分析】

先求出在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球編號之和是偶數的不同取法，然后求概率即可得解.【題目詳解】解：在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球，則有共6種取法，則取出的2只球編號之和是偶數的有共2種取法，即取出的2只球編號之和是偶數的概率為，故選：C.【題目點撥】本題考查了古典型概率公式，屬基礎題.5、B【解題分析】

由已知直接利用正弦定理求解．【題目詳解】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，由正弦定理得．故選B．【題目點撥】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．6、C【解題分析】

甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩定，得到丙是最佳人選．【題目詳解】甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩定，綜合平均數和方差兩個方面說明丙成績即高又穩定，丙是最佳人選，故選：C．【題目點撥】本題考查平均數和方差的實際應用，考查數據處理能力，求解時注意方差越小數據越穩定.7、C【解題分析】

根據古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計算概率，解方程可得結果.【題目詳解】設陰影部分的面積是s，由題意得4001000【題目點撥】(1)當試驗的結果構成的區域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域．8、C【解題分析】

由平面向量基本定理和三角形法則求解即可【題目詳解】由，可得，則，即.故選C.【題目點撥】本題考查平面向量基本定理和三角形法則,熟記定理和性質是解題關鍵,是基礎題9、C【解題分析】

由題意，求出滿足題意的點所在區域的面積，利用面積比求概率.【題目詳解】由題意，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點所在區域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關鍵是明確概率模型，屬于基礎題.10、C【解題分析】

利用等差數列的性質和求和公式，即可求得的值，得到答案．【題目詳解】由題意，等差數列的前n項的和，由，根據等差數列的性質，可得，所以，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的性質，以及等差數列的前n項和公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圖表，利用歸納法，得出，再利用疊加法，即可求解數列的通項公式.【題目詳解】由圖表，可得，，，，，可歸納為，利用疊加法可得：，故答案為.【題目點撥】本題主要考查了歸納推理的應用，以及數列的疊加法的應用，其中解答中根據圖表，利用歸納法，求得數列的遞推關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12、【解題分析】

根據題意結合整除中的余數問題、最小公倍數問題，進行分析求解即可．【題目詳解】由題意得：一個數用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數21除也余2，而用21除余2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除余3，即最小的一個數為23，同時這個數相差又是3，5，7的最小公倍數，即，即數列的通項公式可以表示為，故答案為：.【題目點撥】本題以數學文化為背景，利用數列中的整除、最小公倍數進行求解，考查邏輯推理能力和運算求解能力.13、42.【解題分析】

由已知結合指數式的運算性質求解，把化為對數式得到，代入，再由對數的運算性質求解.【題目詳解】∵，∴，由，得，∴.故答案為：，.【題目點撥】本題考查指數式與對數式的互化，考查對數的運算性質，屬于基礎題.14、【解題分析】

先求得，然后根據中位線的性質，求得.【題目詳解】依題意，由于分別是線段的中點，故.【題目點撥】本小題主要考查平面向量減法運算，考查三角形中位線，屬于基礎題.15、①②④【解題分析】

由三角函數的性質及，分別對各選項進行驗證，即可得出結論.【題目詳解】解：由函數，可得①，可得為周期函數，故①正確；②由，，故，是偶函數，故有對稱軸正確，故②正確；③為偶數時，，為奇數時,故不為的對稱中心，故③不正確；④由，可得正確，故④正確.故答案為：①②④.【題目點撥】本題主要考查三角函數的值域、周期性、對稱性等相關知識，綜合性大，屬于中檔題.16、1【解題分析】

因為，，故答案為1．考點：等比數列的通項公式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）當時，利用指數函數和二次函數的圖象與性質，得到函數的單調性，即可求得函數的最小值；（2）分段討論討論函數在相應的區間內的根的個數，函數在時，至多有一個零點，函數在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【題目詳解】（1）當時，函數，當時，，由指數函數的性質，可得函數在上為增函數，且；當時，，由二次函數的性質，可得函數在上為減函數，在上為增函數，又由函數，當時，函數取得最小值為；故當時，最小值為．（2）因為函數恰有兩個零點，所以（ⅰ）當時，函數有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數有一個零點，設零點為且，此時需函數在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設，，因為，所以，，，當時，，所以，即，所以在上單調遞增；當時，，所以，即，所以在上單調遞減；而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數恰有兩個零點，且，設在時的零點為，則需，而當時，，所以當時，函數恰有兩個零點，并且滿足；（ⅱ）若當時，函數沒有零點，函數在恰有兩個零點，且滿足，也符合題意，而由（ⅰ）可得，要使當時，函數沒有零點，則，要使函數在恰有兩個零點，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當時，函數沒有零點，函數在恰有兩個零點，且滿足，綜上可得：實數的取值范圍為．故得解.【題目點撥】本題主要考查了指數函數與二次函數的圖象與性質的應用，以及函數與方程，函數的零點問題的綜合應用，屬于難度題，關鍵在于分析分段函數在相應的區間內的單調性，以及其圖像趨勢，可運用數形結合方便求解，注意在討論二次函數的根的情況時的定義域對其的影響．18、（1）（2）【解題分析】

（1）將已知兩式作差，利用等比數列的通項公式，可得公比，由等比數列的求和可得首項，進而得到所求通項公式；（2）求得bn＝n，，由裂項相消求和可得答案．【題目詳解】（1）等比數列的前項和為，公比，①，②．②﹣①，得，則，又，所以，因為，所以，所以，所以；（2），所以前項和．【題目點撥】裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和，還有一類隔一項的裂項求和，如或.19、（1）（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【題目詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【題目點撥】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.20、（Ⅰ）幾何體為以為半徑，高的圓錐，（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）若以為軸，直角三角形旋轉一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結果．（Ⅱ）利用側面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，代入數值，即可求出結果．【題目詳解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由即