2024屆遼寧省凌源市聯合校高一數學第二學期期末教學質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知為等差數列，為其前項和.若，則（）A． B． C． D．2．已知圓，圓，分別為圓上的點，為軸上的動點，則的最小值為()A． B． C． D．3．已知是圓的一條弦，，則()A． B． C． D．與圓的半徑有關4．設等差數列an的前n項和為Sn，若a1>0，A．S10 B．S11 C．S5．對于數列，定義為數列的“好數”，已知某數列的“好數”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知集合A＝｛x∈N｜0≤x≤3｝，B＝｛x∈R｜－2＜x＜2｝則A∩B()A．{0,1} B．{1} C．[0,1] D．[0,2)7．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．8．已知等差數列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．249．已知角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．10．已知數列滿足，則（）A．2 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若圓與圓的公共弦長為，則________.12．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當其中劣孤最短時直線的方程為_________.13．每年五月最受七中學子期待的學生活動莫過于學生節，在每屆學生節活動中，著七中校服的布偶“七中熊”尤其受同學和老師歡迎.已知學生會將在學生節當天售賣“七中熊”，并且會將所獲得利潤全部捐獻于公益組織.為了讓更多同學知曉，學生會宣傳部需要前期在學校張貼海報宣傳，成本為250元，并且當學生會向廠家訂制只“七中熊”時，需另投入成本，（元），.通過市場分析，學生會訂制的“七中熊”能全部售完.若學生節當天，每只“七中熊”售價為70元，則當銷量為______只時，學生會向公益組織所捐獻的金額會最大.14．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.15．設，為單位向量，其中，，且在方向上的射影數量為2，則與的夾角是___．16．已知3a＝2，則32a＝____，log318﹣a＝_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．數列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數列是等比數列；（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.18．已知函數（1）解不等式；（2）若對一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍．19．從全校參加科技知識競賽初賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數是6.請結合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學生人數；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學中隨機地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.20．如圖，已知點和點，，且，其中為坐標原點.（1）若，設點為線段上的動點，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及對應的的值.21．已知圓與軸交于兩點，且（為圓心），過點且斜率為的直線與圓相交于兩點（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標原點），求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：設等差數列的公差為，由題意得，解得，所以，故答案為D．考點：1、數列的通項公式；2、數列的前項和．2、D【解題分析】

求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【題目詳解】如圖所示，圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為,，半徑為3，由圖象可知，當三點共線時，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑之和，即，故選D．【題目點撥】本題主要考查了圓的對稱圓的方程的求解，以及兩個圓的位置關系的應用，其中解答中合理利用兩個圓的位置關系是解答本題的關鍵，著重考查了數形結合法，以及推理與運算能力，屬于基礎題．3、C【解題分析】

由數量積的幾何意義，利用外心的幾何特征計算即可得解.【題目詳解】是圓的一條弦,易知在方向上的投影恰好為，所以=||||==2.故選C.【題目點撥】本題考查了數量積的運算，利用定義求解要確定模長及夾角，屬于基礎題.4、C【解題分析】分析：利用等差數列的通項公式，化簡求得a20+a詳解：在等差數列an中，a則3(a1+7d)=5(a1所以a20又由a1>0，所以a20>0,a21<0點睛：本題考查了等差數列的通項公式，及等差數列的前n項和Sn的性質，其中解答中根據等差數列的通項公式，化簡求得a20+5、B【解題分析】分析：由題意首先求得的通項公式，然后結合等差數列的性質得到關于k的不等式組，求解不等式組即可求得最終結果.詳解：由題意,，則，很明顯n?2時,，兩式作差可得：，則an=2(n+1),對a1也成立，故an=2(n+1)，則an?kn=(2?k)n+2，則數列{an?kn}為等差數列，故Sn?S6對任意的恒成立可化為：a6?6k?0,a7?7k?0；即，解得：.實數的取值范圍為.本題選擇B選項.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.6、A【解題分析】

可解出集合A，然后進行交集的運算即可．【題目詳解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故選：A．【題目點撥】本題考查交集的運算，是基礎題，注意A中x∈N7、C【解題分析】

由可得,代入求解可得,則,進而利用誘導公式求解即可【題目詳解】由可得,即,所以,因為,所以,則,故選:C【題目點撥】本題考查垂直向量的應用,考查里利用誘導公式求三角函數值8、C【解題分析】

根據等差數列性質得到，再計算得到答案.【題目詳解】已知等差數列中，故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數列的性質，是數列的常考題型.9、C【解題分析】

首先根據題意求出，再根據正弦函數的定義即可求出的值.【題目詳解】，.故選：C【題目點撥】本題主要考查正弦函數的定義，屬于簡單題.10、B【解題分析】

利用數列的遞推關系式，逐步求解數列的即可．【題目詳解】解：數列滿足，，所以，．故選：B．【題目點撥】本題主要考查數列的遞推關系式的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】將兩個方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應填．12、【解題分析】

首先根據圓的幾何性質，可分析出當點是弦的中點時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點連線與直線垂直，可求得直線方程.【題目詳解】當劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當點是弦的中點時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的幾何性質，屬于基礎題型.13、200【解題分析】

由題意求得學生會向公益組織所捐獻的金額的函數解析式，再由對勾函數的性質求得取最大值時的值即可.【題目詳解】由題意，設學生會向公益組織所捐獻的金額為，，由對勾函數的性質知，在時取得最小值，所以時，取得最大值.故答案為：200【題目點撥】本題主要考查利用函數解決實際問題和對勾函數的性質，屬于基礎題.14、【解題分析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【題目詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【題目點撥】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.15、【解題分析】

利用在方向上的射影數量為2可得：，即可整理得：，問題得解.【題目詳解】因為在方向上的射影數量為2，所以，整理得：又，為單位向量，所以.設與的夾角，則所以與的夾角是【題目點撥】本題主要考查了向量射影的概念及方程思想，還考查了平面向量夾角公式應用，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題.16、42.【解題分析】

由已知結合指數式的運算性質求解，把化為對數式得到，代入，再由對數的運算性質求解.【題目詳解】∵，∴，由，得，∴.故答案為：，.【題目點撥】本題考查指數式與對數式的互化，考查對數的運算性質，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數,此時的取值集合為.【解題分析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數【題目詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數列.（3）由,,又是等比數列,,,①當時,依次為,.②當時,,,,要使取整數,需為整數,令,,,要么都為整數,要么都不是整數,又所以當且僅當為奇數時,為整數,即的取值集合為時,取整數.【題目點撥】本題主要考查利用遞推公式結合,為判斷等比數列,考查數列前項和的比的問題的轉化與化歸思想的綜合性解題能力.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）將問題轉化為恒成立的問題，通過基本不等式求得的最小值，則.【題目詳解】（1）或所求不等式解集為：（2）當時，可化為：又（當且僅當，即時取等號）即的取值范圍為：【題目點撥】本題考查一元二次不等式的求解、恒成立問題的求解問題.解決恒成立問題的關鍵是通過分離變量的方式，將問題轉化為所求參數與函數最值之間的比較問題.19、（1）48；（2）30；（3）【解題分析】

（1）設樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據比例列式求解即可；（3）根據比例得成績在90.5分以上的同學有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個數，根據概率公式可得結果.【題目詳解】解：（1）設樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學生人數為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學有人，設這6名同學分別為，其中就是甲，從這6名同學中隨機地抽取2人參加決賽有：共15個基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【題目點撥】本題考查頻率，頻數，樣本容量間的關系，考查古典概型的概率公式，重點是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎題.20、（1）；（2），或.【解題分析】

（1）設，求出，把表示成關于的二次函數；（2）利用向量的坐標運算得，令把表示成關于的二次函數，再求最小值.【題目詳解】（1）設，又，所以，，所以當時，取得最小值.（2）由題意得，，，則=，令，因為，所以，又，所以，，所以當時，取得最小值，即，解得或，所以當或時，取得最小值.【題目點撥】本題考查利用向量的坐標運算求向量的模和數量積，在求解過程中用到知一求二的思想方法，即已知三個中的一個，另外兩個均可求出.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標和；根據、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結果；（Ⅱ）設直線方程為；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構造不等式求得結果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯立，根據直線與圓有兩個交點可根據得到的取值范圍；設，，利用韋達定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關于的方程，解方程求得滿足取值范圍的