第1章連續時間信號分析連續時間信號的時域分析周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜連續時間信號的復頻率分析1.1連續時間信號的時域分析連續時間信號的分析方法有三種時域分析法頻域分析法復頻域分析法 時域分析：將信號分解為具有不同延時的簡單沖激信號分量的疊加，并通過卷積的方法進行系統的時域分析1.1.1連續信號的時域描述

時域描述：用一個時間函數式表示信號隨時間而變化的特性1.連續時間信號的定義：在所討論的時間內，對于除了若干個不連續點以外的任意時刻值都有定義的信號，用x(t)表示例如：1.1.1連續信號的時域描述2.基本的連續信號（5）單位階躍信號（1）指數信號（2）正弦信號（3）復指數信號(表達具有普遍意義)（4）

抽樣信號(SamplingSignal)函數表達式函數表達式信號的表示波形函數表達式（6）單位沖激信號重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數形式。（1）指數信號單邊指數信號通常把稱為指數信號的時間常數，記作

,代表信號衰減速度，具有時間的量綱。l

指數衰減,l

指數增長l

直流(常數),KO（2）正弦信號振幅：K

周期：頻率：f

角頻率：初相：衰減正弦信號：

（2）正弦信號正弦信號的性質：兩個振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號相加后，結果仍是原頻率的正弦信號；若一個正弦信號的頻率是另一個正弦頻率的整數倍，則它們的合成信號是另一個非正弦周期信號，其周期等于基波的周期正弦信號對時間的微分和積分仍然是同頻率的正弦信號（3）復指數信號討論（4）抽樣信號(SamplingSignal)

性質①②③④⑤⑥（5）單位階躍信號（6）單位沖激信號（6）單位沖激信號性質：抽樣特性加權特性（6）單位沖激信號單位沖激信號為偶函數尺度變換特性單位沖激信號的導數（又叫沖激偶）是一個奇函數復指數信號和單位沖激信號是信號中用的最多的1.1.2連續信號的基本運算例子：1.信號的相加與相乘信號相加和相乘是指兩個信號在任一時刻函數值之和或積。公式見教科書p142.信號的微分與積分例如3.信號的時移與翻褶4.信號的尺度變換可見教科書P16例題例題解:驗證：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函數值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30計算特殊點X時移標度變換標度變換時移1.1.3連續信號的時域分解

可將一個復雜信號分解為具有不同延時的沖激信號序列此窄脈沖可表示為任意信號可分解為出現在不同時刻的，不同強度的沖激函數的和。1.1.4連續信號的卷積1.卷積的定義：利用卷積可以求解系統的零狀態響應。將上式改為1.1.4連續信號的卷積y(t)就是信號x(t)的沖激信號序列的分解形式。卷積反應了線性系統輸入與輸出之間的關系，因此研究信號的卷積有十分重要的意義。圖解過程2.卷積的圖解1.1.4連續信號的卷積卷積的解析法：1.1.4連續信號的卷積3.卷積性質1.1.4連續信號的卷積3.卷積性質見P21例1.2周期信號的頻率分解1.2.1周期信號的描述

在時域中信號可分解為加權沖激信號之和，信號還可以分解為頻率信號。例如：周期信號可用傅立葉級數來表示，實質就是把信號分解為了一系列不同頻率的諧波分量之和。

一個連續信號在(-∞,∞)區間，以T0為周期重復，表達式：

x(t)=x(t+T0)＝x(t+2T0)….＝x(t+nT0)T0為周期，頻率f0＝1/T0或角頻率Ω0=2π/T0，f0或Ω0稱為基本頻率或基本角頻率1.2.1周期信號的描述具有Ω0的時間函數叫基波，2Ω0、3Ω0稱為二次諧波、三次諧波等。兩個周期信號相加后是否是周期信號？如果在T1和T2之間存在一個最小公倍數T0，則

n1T1＝n2T2

T1/T2=n1/

n2=有理數，n1，n2均為整數

1.2.2傅里葉級數任何一個滿足狄里赫利條件的周期為T的函數x(t)都可以用三角函數集中各函數分量的線性組合來表示，即1.2.2傅里葉級數條件3:在一周期內，信號絕對可積。條件2：在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。條件1：在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個。狄利克雷（Dirichlet）條件例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周期內它的面積不會超過8，但不連續點的數目是無窮多個。例2不滿足條件2的一個函數是對此函數，其周期為1，有在一周期內，信號是絕對可積的(T1為周期)

說明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數Fn都是有限值，因為例3周期信號，周期為1，不滿足此條件。

1.三角型傅里葉級數滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的周期信號都可以展開為三角型傅里葉級數表達式：1.三角型傅里葉級數（1）式中，是常數，表示直流分量；當n=1時，為基波；當n=2時，為2次諧波；表示n次諧波。1.三角型傅里葉級數問題：如何求出各諧波分量的大小，即（1）式中各常系數？1.三角型傅里葉級數

是一個完備的正交函數集t在一個周期內，n=0,1,...

由積分可知三角函數集（1）（2）（3）（4）（5）直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度1.三角型傅里葉級數根據上述正交三角函數集，可以計算（1）式中的常數項例1-2-1求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級數展開式。周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為直流基波諧波2.指數型傅里葉級數三角函數與復指數函數有密切的關系，由歐拉公式：三角型和指數型傅里葉級數實質上是同一種級數的兩種不同表現形式。2.指數型傅里葉級數將上述歐拉公式代入三角型傅里葉級數公式：令復系數當x(t)為實信號時，有，則2.指數型傅里葉級數或將和代入x(t)的級數表達式，得上式即指數型傅里葉級數表達式。2.指數型傅里葉級數說明：上式表明一個周期信號可以由無限多個復指數信號組成，是基波頻率，是n次諧波頻率。振幅和相位由決定，且有例1.2.2求下圖所示的矩形脈沖信號的指數型傅里葉級數展開式。解：由題意，矩形脈沖信號表達式如下：例1.2.2（續）求得復系數為

故得x(t)的指數型傅里葉級數表達式為1.2.3周期信號的頻率分析通過上述對周期信號的時域分析表明，一個周期信號可以利用正弦型信號或復指數信號來準確描述。不同波形的周期信號的區別僅在于基頻以及各組成諧波分量的幅度和相位不同。1.2.3周期信號的頻率分析由于是離散頻率的復函數，有其中：模反映了組成周期信號的不同頻率諧波分量的幅度隨頻率變化的特性，簡稱幅頻特性；相角反映了不同頻率分量的初相角隨頻率變化的特性，簡稱相頻特性。1.2.3周期信號的頻率分析由上述分析知，任意波形的周期信號x(t)可以由反映信號頻率特性的復指數來描述。二者存在一一對應的關系，即：從信號x(t)的傅里葉級數表達式中，提取了反映信號全貌的三個基本特征，即基頻、各諧波的幅度和相位。這種用頻率函數來描述或表征任意周期信號的方法稱為周期信號的頻率分析。1.2.3周期信號的頻率分析信號的頻譜圖：即用線條的長短表示的幅頻、相頻變化規律。頻譜圖與時域波形變化規律的關系：頻率的高低表示時域波形變化的快慢；諧波幅度的大小反映時域波形取值的大小相位的變化對應到波形在時域出現的不同時刻。請畫出其幅度譜和相位譜。例1.2.3化為余弦形式三角函數形式的頻譜圖三角函數形式的傅里葉級數的譜系數

X化為指數形式整理指數形式的傅里葉級數的系數譜線指數形式的頻譜圖三角形式與指數形式的頻譜圖對比三角函數形式的頻譜圖指數形式的頻譜圖這兩種頻譜表示方法是指是一樣的，不同之處在于：三角函數形式的頻譜圖每條譜線代表一個分量的幅度；指數形式的頻譜圖把每個分量的幅度一份為二，在正負頻率相對應的位置一分為二。需要指出的是負頻率的引入是由于在進行歐拉公式變換是自然生成的，只是數學運算的結果，沒有任何物理意義。1.2.3周期信號的頻率分析由上述例題，周期連續信號頻譜具有如下特點：離散性：頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成，每個譜線代表一個諧波分量；諧波性：頻譜中的譜線只在基波頻率的整數倍處出現；收斂性：頻譜中個譜線的幅度隨著諧波次數的增加而逐漸衰減。1.2.4傅里葉級數的性質1.線性性質兩個周期信號x1(t)，x2(t)的頻譜分別為：（1）若，則有

（2）若，但的周期與的周期存在最小公倍數，即：則有：2．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜:3．尺度變換性質

周期信號x(t)經時間尺度變換后，其各次諧波的傅里葉系數仍然保持不變，但基波頻率變為4.

對稱性質信號為實函數實函數的頻譜信號具有一定的對稱關系，即當周期信號x(t)為實函數時，其相應的幅度頻譜關于偶對稱，相位譜關于奇對稱。在計算時只需要求出單邊頻譜。4.

對稱性質（2）信號為實偶函數(偶對稱)

于是有則即：周期信號為實偶函數式，傅里葉級數展開式只含直流分量和余弦分量，而不存在正弦項。是奇函數，在一個周期內積分為0。4.

對稱性質（3）信號為實奇函數

于是有

則即：周期信號為實奇函數式，傅里葉級數展開式只含正弦項，而不存在直流分量和余弦分量。4.

對稱性質（4）半周期對稱半周期偶對稱（半周期重疊）半周期偶對稱：即信號沿時間軸前后平移半周期仍等于原信號，滿足周期信號x(t)的周期為，而基本周期為，因此，其傅里葉級數表達式除了直流分量只有余弦偶次諧波分量。半周期奇對稱（半周期鏡像）半周期奇對稱：即信號沿時間軸前后平移半周期等于原信號的鏡像，滿足周期信號x(t)的周期為。其傅里葉級數表達式只有正弦奇次諧波分量。4.

對稱性質（4）半周期對稱雙重對稱信號除了具有半周期鏡像對稱外，同時還是時間的偶函數或奇函數，則前者的傅里葉級數表達式只有余弦奇次諧波分量，后者只有正弦奇次諧波分量。由上三類信號的不同對稱關系，可以迅速判斷在傅里葉級數展開式中哪些分量存在，從而減少不必要的計算。5.時域微積分性質如果x(t)是周期的周期信號，那么它的導數也是周期為的周期信號，且它們的頻譜有如下關系：上述結論也可以推廣到高階導數和函數積分的情況，即1.3非周期信號的頻譜除了周期信號外，在自然界和實際工程領域中還存在著一些非周期信號，如語音信號、爆炸產生的沖擊信號燈，這些非周期信號能否分解為三角函數或復指數函數這樣的周期信號？如果能，應該怎么分解呢？1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換引出任何周期信號都可以看成是一個非周期信號周期延拓而成的，而周期信號則可以看成是周期信號當期周期趨于無窮大時的極限情況。假設是周期為T的周期信號，中每個周期信號波形都相同，記為，二者的關系為：1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換周期信號可以分解為傅里葉級數，有其中將其代入上式，得到當時，1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換，即相鄰的兩根譜線間隔趨于無窮??；，即離散變量趨于連續變量；，即求和趨于積分。則：，稱為非周期信號的頻譜密度函數。1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換頻譜密度函數是連續頻率變量的復函數，即

模稱為幅度頻譜，幅角稱為相位頻譜。1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換傅里葉變換對1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換非周期信號x(t)存在傅里葉變換的條件：滿足狄利克雷（Dirichlet）條件。條件3:在一周期內，信號絕對可積。條件2：在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。條件1：在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個。1.3.1從傅里葉級數到傅里葉變換小結：：周期信號非周期信號連續譜，幅度無限小。離散譜例1.3.1

求矩形脈沖信號的頻譜密度，并繪制出幅度頻譜和相位頻譜解：由矩形脈沖信號圖，根據信號密度的定義是得例1.3.1幅度頻譜：相位頻譜：例1.3.1頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：意義

傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯系。討論傅里葉變換的性質，目的在于：了解特性的內在聯系；用性質求x(

)；1.3.2傅里葉變換的性質1．奇偶虛實性(1)偶信號的頻譜為偶函數，奇信號的頻譜為奇函數(2)實信號的頻譜是共軛對稱函數，即其幅度頻譜和實部為偶函數，相位頻譜和虛部位奇函數2．線性性質上述性質說明，傅里葉變換時一種具有齊次性和疊加性的線性運算，即（1）若信號增加a倍，頻譜也相應增大a倍；（2）多個信號相加的頻譜等于各單獨信號頻譜的疊加。3．對偶性1．性質2．

意義例1例2相移全通網絡4．時移特性上式表明，時域的時移對應頻域的相移。5．頻移特性上式表明，信號頻譜沿頻率軸左移或右移，則在時域上，信號乘或。頻移特性又稱為調制特性，在實際應用中，通常將信號x(t)乘正弦或者余弦信號，則在時域上用x(t)（調制信號）改變正弦或余弦（載波信號）的幅度，形成調幅信號，而在頻域上使產生左右平移。例1-3-3已知矩形調幅信號

解：因為頻譜圖6．尺度變換性質意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。

7．卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統和信號處理研究領域中得到大量應用。例1.3.3X8．微分特性推廣（1）時域微分特性（2）頻域微分特性9．時域積分性質時域積分性質證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換續…………續1.4連續時間信號的復頻域分析傅里葉變換要求信號應滿足狄利克雷（Dirichlet）條件，即描述信號的函數x(t)在上有定義，且絕對可積。但一些重要的信號并不滿足這個條件，如：指數增長型信號、功率非周期信號等，難以用傅里葉分析法對它們進行分析。于是，將傅里葉分析從頻域推廣到復頻域，構造一種新變換，即拉普拉斯變換。1．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換3．拉氏變換對2．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；例1.4.1討論下列雙邊信號的拉普拉斯變換及其收斂域(1)(2)解:(1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得式中第一項積分的收斂域為，第二項積分的收斂域為，則整個積分的收斂域是它們的公共部分，即，因此(1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得式中第一項積分的收斂域為，第