2024屆寧夏青吳忠市銅峽高級中學數學高一第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若直線過點，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．90。2．某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用（萬元）

4

2

3

5

銷售額（萬元）

49

26

39

54

根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元3．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為（）A．588 B．480 C．450 D．1204．已知冪函數過點，則的值為()A． B．1 C．3 D．65．函數y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－16．已知函數,若存在，且，使成立，則以下對實數的推述正確的是（）A． B． C． D．7．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．8．如圖所示，在一個長、寬、高分別為2、3、4的密封的長方體裝置中放一個單位正方體禮盒，現以點D為坐標原點，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則正確的是（）A．的坐標為 B．的坐標為C．的長為 D．的長為9．將函數的圖像左移個單位，則所得到的圖象的解析式為A． B．C． D．10．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數列中，若，則__________．12．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結構解決如下問題:若三個正實數，滿足,，，則_______.13．已知角滿足且，則角是第________象限的角．14．若、為單位向量，且，則向量、的夾角為_______.（用反三角函數值表示）15．用數學歸納法證明“”時，由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共__項16．設為虛數單位，復數的模為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求18．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求在區間上的最大值和最小值.19．如圖，以Ox為始邊作角與（），它們終邊分別單位圓相交于點、，已知點的坐標為．（1）若，求角的值；（2）若·，求．20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點，為的中點，過點，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時，求二面角的余弦值.21．從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.(1)設年內(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出的表達式；(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據兩點間斜率公式,可求得斜率.再由斜率與傾斜角關系即可求得直線的傾斜角.【題目詳解】直線過點則直線的斜率設傾斜角為,根據斜率與傾斜角關系可得由直線傾斜角可得故選:A【題目點撥】本題考查了直線斜率的求法,斜率與傾斜角關系,屬于基礎題.2、B【解題分析】

試題分析：，∵數據的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為1.4，∴42=1．4×2．5+a，∴=1．1，∴線性回歸方程是y=1．4x+1．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為1．4×6+1．1=3．5考點：線性回歸方程3、B【解題分析】試題分析：根據頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應的學生人數是600×0.8=480考點：頻率分布直方圖4、C【解題分析】

設，代入點的坐標，求得，然后再求函數值．【題目詳解】設，由題意，，即，∴．故選：C.【題目點撥】本題考查冪函數的解析式，屬于基礎題．5、B【解題分析】

根據余弦函數有界性確定最值.【題目詳解】因為-1≤cosx≤1，所以【題目點撥】本題考查余弦函數有界性以及函數最值，考查基本求解能力，屬基本題.6、A【解題分析】

先根據的圖象性質，推得函數的單調區間，再依據條件分析求解．【題目詳解】解：是把的圖象中軸下方的部分對稱到軸上方，函數在上遞減；在上遞增．函數的圖象可由的圖象向右平移1個單位而得，在，上遞減，在，上遞增，若存在，，，，使成立，故選：．【題目點撥】本題考查單調函數的性質、反正切函數的圖象性質及函數的圖象的平移．圖象可由的圖象向左、向右平移個單位得到，屬于基礎題.7、A【解題分析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【題目詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點撥】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．8、D【解題分析】

根據坐標系寫出各點的坐標分析即可.【題目詳解】由所建坐標系可得：，，，.故選：D.【題目點撥】本題考查空間直角坐標系的應用，考查空間中距離的求法，考查計算能力，屬于基礎題.9、C【解題分析】

由三角函數的圖象變換，將函數的圖像左移個單位，得到，即可得到函數的解析式.【題目詳解】由題意，將函數的圖像左移個單位，可得的圖象，所以得到的函數的解析式為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的圖象變換，其中熟記三角函數的圖象變換的規則是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.10、D【解題分析】

根據三角函數圖象的平移變換可直接得到圖象變換的過程.【題目詳解】因為，所以向右平移個單位即可得到的圖象.故選：D.【題目點撥】本題考查三角函數圖象的平移變換，難度較易.注意左右平移時對應的規律：左加右減.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用等差數列廣義通項公式，將轉化為，從而求出的值，再由廣義通項公式求得．【題目詳解】在等差數列中，由，，得，即．．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等差數列廣義通項公式的運用，考查基本量法求解數列問題，屬于基礎題．12、【解題分析】

設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【題目詳解】設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【題目點撥】本題考查余弦定理的應用，問題的關鍵在于將題中的等式轉化為余弦定理，并轉化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉化思想以及數形結合思想，屬于中等題.13、三【解題分析】

根據三角函數在各個象限的符號，確定所在象限.【題目詳解】由于，所以為第三、第四象限角；由于，所以為第二、第三象限角.故為第三象限角.故答案為：三【題目點撥】本小題主要考查三角函數在各個象限的符號，屬于基礎題.14、.【解題分析】

設向量、的夾角為，利用平面向量數量積的運算律與定義計算出的值，利用反三角函數可求出的值.【題目詳解】設向量、的夾角為，由平面向量數量積的運算律與定義得，，，因此，向量、的夾角為，故答案為.【題目點撥】本題考查利用平面向量的數量積計算平面向量所成的夾角，解題的關鍵就是利用平面向量數量積的定義和運算律，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】

由題意有：由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共項，得解.【題目詳解】解：當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共項，故答案為：.【題目點撥】本題考查了數學歸納法，重點考查了運算能力，屬基礎題.16、5【解題分析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡，然后代入復數模的公式，即可求得答案．【題目詳解】由題意，復數，則復數的模為．故答案為5【題目點撥】本題主要考查了復數的乘法運算，以及復數模的計算，其中熟記復數的運算法則，和復數模的公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）利用等差數列的通項公式，結合，可以得到兩個關于首項和公差的二元一次方程，解這個方程組即可求出首項和公差，最后利用等差數列的通項公式和前項和公式求出及；（2）利用裂項相消法可以求出.【題目詳解】解：（1）設等差數列的公差為d,（2）由（1）知：【題目點撥】本題考查了等差數列的通項公式和前項和公式，考查了裂項相消法求數列前項和，考查了數學運算能力.18、（1）；（2），.【解題分析】

（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用周期公式可計算出函數的最小正周期；（2）由計算出的取值范圍，然后利用正弦函數的性質可得出函數在區間上的最大值和最小值.【題目詳解】（1），因此，函數的最小正周期為；（2），，當時，函數取得最小值；當時，函數取得最大值.【題目點撥】本題考查三角函數周期和最值的計算，同時也考查了利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，在求解三角函數在定區間上的最值問題時，首先應計算出對象角的取值范圍，結合同名三角函數的基本性質來計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19、(1)(2)【解題分析】

(1)由已知利用三角函數的定義可求，利用兩角差的正切公式即可計算得解；(2)由已知可得，進而求出，最后利用兩角和的正弦公式即可計算得解．【題目詳解】（1）由三角函數定義得，因為，所以，因為，所以（2）·，∴∴，所以，所以【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的正切公式，兩角和的正弦公式，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．20、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長交于點，過點作交直線于點，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【題目詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因為平面平面，∴.為中點，為中點，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設，.因為為中點，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因為平面平面∴平面，又，∴平面，則延長交于點，過點作交直線于點，由于平行且等于，所以為中點，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在中，，，所以，所以.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，以及二面角的余弦值的求法，考查學生空間想象能力，計算能力，由一定綜合性．21、(1)，；(2)至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.【解題分析】

(1)利用等比數列求和公式可求出n年內的旅游業總收入與n年內的總投入；（2）設至少經過年旅游業的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結合（1）可得，解得，進而可得結果.【題目詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+)，…，第n年旅游業收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅游業總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［(