小學四年級奧數專題〔三〕高斯求和例5在以下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：〔1〕最大三角形的面積是多少平方厘米？〔2〕整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表：由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。解：〔1〕最大三角形面積為〔1＋3＋5＋…＋15〕×12＝［〔1＋15〕×8÷2］×12＝768〔厘米2〕。〔2〕火柴棍的數目為3＋6＋9+…+24＝〔3＋24〕×8÷2=108〔根〕。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×〔1＋2＋…＋10〕＝2×55＝110〔只〕。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113〔只〕。綜合列式為：〔3-1〕×〔1＋2＋…＋10〕＋3＝2×［〔1＋10〕×10÷2］＋3＝113〔只〕。練習31.計算以下各題：〔1〕2＋4＋6＋…＋200；〔2〕17＋19＋21＋…＋39；〔3〕5＋8＋11＋14＋…＋50；〔4〕3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等于該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內除以3余2的所有數的和。6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？小學五年級奧數教案

教學內容：長方形和正方形的周長和面積〔探究活動1～3〕教學目標：1、知識目標：會利用轉化及割補的方法求不規那么圖形的面積和周長。2、能力目標：培養學生的觀察能力及邏輯思維能力。3、情感目標：滲透轉化的數學思想，在轉化的過程中要抓住“變〞與“不變〞。教學重點：將不規那么圖形轉化為規那么圖求解教學難點：觀察轉化后的“變〞與“不變〞〔形狀、面積發生變化，但是周長不變〕教學關鍵：畫圖觀察教具準備：三角尺，兩個相同的長方形。教學過程：〔40分鐘〕一、復習導入〔5分鐘〕

1、我們已經學習過長方形、正方形的周長和面積，請你用字母表示長方形、正方形的周長和面積。

2、看圖：在練習本上寫出周長和面積

3、匯報。同時了解一下學生根底知識掌握如何。

二、新授〔探究1～3〕〔30分鐘〕

〔一〕、學習探究活動1

求ABEFGD的周長和面積。圖形ABEFGD是由一個長方形ABCD和一個正方形CEFG拼成的。AB＝10cmBE＝10cmDG＝4cm1、黑板上畫出圖形。

2、讓學生默讀幾遍題，要求看圖就能夠說出題中的條件和問題。

3、提問：看圖說出題中的條件和問題。教師把文字局部擦除。〔目的是讓學生理解題意，為講題打根底，同時也是培養學生良好的做題習慣〕

4、兩個人互相說題中的條件和問題。

5、自己試著解題，教師巡視，了解學生的做題方法及學生的水平。

6、匯報同時講解

方法一：直接求：AB＝DC

CG＝DC－DG＝10－4＝6cm

BC＝10－6＝4cm

AD＝BC＝4cm

ABEFGD周長＝AB＋BE＋EF＋GF＋DG＋AD＝10＋10＋6＋6＋4＋4＝40cm

ABEFGD面積＝ABCD面積＋GCEF面積＝10×4＋6×6＝76cm

方法二：轉化后求解

GF＝DG'＝4cmDG＝G'F＝6cmABEG'是一個正方形

所以：ABEFGD的周長就是ABEG'的周長＝10×4＝40cm〔轉化后周長沒有發生變化，把復雜的圖形轉化為簡單的圖形〕

不規那么圖形ABEFGD轉化為正方形ABEG'后面積卻發生了變化：增加了長方形DGFG'的面積，因此求ABEFGD的面積要用正方形ABEG'的面積減去長方形DGFG'的面積。

因此ABEFGD面積＝ABEG'的面積－DGFG'的面積＝10×10－4×6＝76cm

7、講解后讓學生把錯誤的改正過來，同時把黑板上的答案擦除，讓學生看圖再在練習本上做一遍此題，加深理解。

8、置疑。〔有不明白的地方、或者有其它看法的可以提出來〕〔二〕、學習探究活動2

求ABEFGD的周長和面積。兩個相同的長方形，長9cm，寬5cm。1、黑板上畫出圖形。同時用教具演示。

2、讓學生默讀幾遍題，要求看圖就能夠說出題中的條件和問題。

3、提問：看圖說出題中的條件和問題。教師把文字局部擦除。

4、兩個人互相說題中的條件和問題。

5、自己試著解題，教師巡視，了解學生的做題方法及學生的水平。

6、匯報同時講解〔因為有了前一道題的根底，所以此題重點讓學生分析轉化后什么沒有變化，什么發生變化〕7、還有其它的解法嗎？因為是兩個完全相同的長方形，因此有很多解法。

如：方法三：9×5×2－5×5

方法四：9×5＋4×5〔三〕、學習探究活動3

最小的正方形的面積是多少？圖中有六個正方形，較小的正方形都是由較大的正方形的四邊中點連接而成。最大的正方形的邊長是10厘米。那么最小的正方形的面積是多少平方厘米？

1.黑板上畫出圖形。

2.讓學生默讀幾遍題，要求看圖就能夠說出題中的條件和問題。

3.提問：看圖說出題中的條件和問題。教師把文字局部擦除。

4.兩個人互相說題中的條件和問題。

5.自己試著解題，教師巡視，了解學生的做題方法及學生的水平。

6.對于這種題大局部學生會感覺到束手無策，因此老師要抓住此題的關鍵，先降低此題的難度。只畫兩個正方形

先求黃色正方形的面積，做輔助線。

學生可以輕易地求出黃色正方形的

面積是藍色正方形的面積的一半。

從而找出規律：連接正方形的中點

所組成的小正方形的面積是大正方

形面積的一半。因此原題的面積可以迎刃而解：10×10÷2÷2÷2÷2÷2＝3.125平方厘米

6、置疑。

三、練習〔4分鐘〕

P6--------2四、總結〔1分鐘〕

本節課你學會了什么？掌握了怎么的解體方法？把你學會的技能跟老對說一說。]奧數練習：牛頓的“牛吃草問題〞〔六年級〕偉大的科學家牛頓，曾經寫過一本數學書。書中有一道非常有名的、關于牛在牧場上吃草的題目，后來人們就把這類題目稱為“牛頓問題〞。

“牛頓問題〞是這樣的：“有一牧場，養牛27頭，6天把草吃盡；養牛23頭，9天把草吃盡。如果養牛21頭，那么幾天能把牧場上的草吃盡呢？并且牧場上的草是不斷生長的。〞

這類題目的一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

〔1〕27頭牛6天所吃的牧草為：27×6＝162

〔這162包括牧場原有的草和6天新長的草。〕

〔2〕23頭牛9天所吃的牧草為：23×9＝207

〔這207包括牧場原有的草和9天新長的草。〕

〔3〕1天新長的草為：〔207－162〕÷〔9－6〕＝15

〔4〕牧場上原有的草為：27×6－15×6＝72

〔5〕每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：

72÷〔21－15〕＝72÷6＝12〔天〕

所以養21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡。

請你算一算。

有一牧場，如果養25只羊，8天可以把草吃盡；養21只羊，12天把草吃盡。如果養15只羊，幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡呢？奧數講座：第9講盈虧問題在日常生活中常有這樣的問題：一定數量的物品分給一定數量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。盈虧問題就是在虧盈的情況下來確定物品總數和參加分配的人數。這是一類典型問題，有很好的對應方法。

例1

猴大王對優秀小猴獎勵桃子，每只好小猴獎給12桃，桃子總數不夠，有只好小猴得不到桃；改為每只好小猴獎給10桃，桃子有余，余出的桃還可獎勵3只好小猴。問有多少好小猴及多少桃？

分析

桃子總數與優秀小猴總數都是確定不變的。按第一種獎勵法，桃子總數缺12桃。按第二種獎勵法，桃子總數余

10×3=

3(桃)。總數之差是由單個好猴的獎勵數改變引出來的。每只好猴差12-10＝2(桃)。由要求的總桃數不同，可求出好猴數，進而求出桃的總數。

解

好猴數

(12×1＋10×3)

÷(12-10)

＝

42÷2

＝

21(只)

桃子總數

12×(

21-1)

＝

12×20

＝240(個)

答

有21只好小猴，240個桃子。

例2

有一隊小朋友到山上去種一批樹，如果每人都種16株，還有24株樹沒有種；如果每人都種19株，還有6株樹沒有種。每人需種多少株樹正好把樹都種完？

分析

樹的總數與種樹的小朋友人數是確定的。第一階段與第二階段未種的樹的總數相差

24－6=18(株)。兩個階段每人種樹數相差19-16=3(株)。由此確定種樹的人數就很容易了。人數算出后，可按第一階段或第二階段的情況計算出樹的總數。然后求每人的平均種樹數。

解

種樹人數

(24－6)÷(19－16)

＝18÷3

＝6(位)

樹的總數

16×6＋

24

＝

96＋

24

=

120(株)

平均每人種樹

120÷6＝20(株)

答

每人需種20株樹正好把樹都種完。小學二年級課題倒推法解應用題、列表法解應用題知識點1、用倒推法的方法，根據加減互逆，乘除互逆的關系，正確解答。2、運用列表法，從條件出發，分析數量關系求出問題。教學目標1、分析思考題目所包含的數量關系，鍛煉思維的靈活性。2、讓學生在學習數學的過程中，感學與日常生活的密切聯系，體驗數學的價值，增強應用數學的意識。3、在探索問題解決方法的過程中，開展學生的數學思考能力，培養主動探索的意識。教學內容第一課時【典型例題】例1、小紅問媽媽多大年齡，媽媽說：“把我的年齡加10，然后乘5，減去25，再除以2，恰巧是100歲。〞小紅媽媽的年齡是多大？解題策略：題目中最后一步是除以2得100歲，說明除以2前就是100×2=200，減了25是200，那么不減25就是200+25=225，同樣的，不用乘5就是225÷5=45，不加10就是45-10=35，這樣，就得到了小紅媽媽的年齡是35歲。例2、一個數加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結果是6，這個數是幾？解題策略：最后一步是除以6得出的6，說明除以6前是6×6=36，減去了6得36，那么不減6前就是36+6=42，同樣，不乘6前是42÷6=7，不加6前是7-6=1。這樣就求出這個數是1。【畫龍點睛】倒推法是一種很重要的數學思維方法，也是分析應用題時常用的方法。用倒推法解應用題列算式時，經常要根據加減互逆，乘除互逆的關系，即把原題中的“加〞用“減〞算，“減〞用“加〞算，“乘〞用“除〞算，“除〞用“乘〞算。【舉一反三】1、一個數加上5，乘以5，減去5，除以5，最后結果還是5。這個數是幾？2、一個數的5倍加上6，再除以7，結果是8，求這個數。3、一個數加上4，減去4，乘以4，再除以2，結果是2，求這個數。4、小明爺爺今年的年齡加上15后，縮小4倍，再減去15后，擴大10倍，恰好是100歲，小明爺爺今年是多少歲？第二課時：【典型例題】例3：小明今年8歲，媽媽的年齡比小明的4倍還大1歲，爺爺的年齡比媽媽的2倍還大1歲。問：三個人的年齡和是多少歲？解題策略：根據題意列表：三個人年齡和：8+33+67=108〔歲〕【舉一反三】1、書架有上中下三層，上層有28本書，比中層多6本，比下層少6本，這個書架一共有多少本？2、5個蘋果分別放在三個不同的盤子里，每個盤子至少要有一個，問：共有幾種不同的放法？3、一條毛毛蟲從幼蟲長成成