2024屆北京市豐臺區第12中學數學高一下期末學業水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某市電視臺為調查節目收視率，想從全市3個縣按人口數用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，已知3個縣人口數之比為，如果人口最多的一個縣抽出60人，那么這個樣本的容量等于（）A．96 B．120 C．180 D．2402．下列各命題中，假命題的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根據弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長短有關3．已知圓錐的母線長為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知函數()的最小正周期為，則該函數的圖象()A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱5．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是A． B． C． D．6．同時拋擲兩個骰子，則向上的點數之和是的概率是（）A． B． C． D．7．圓與直線的位置關系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能8．方程的解所在的區間為（）A． B．C． D．9．三角形的三條邊長是連續的三個自然數，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最大邊長為（）A．4 B．5 C．6 D．710．閱讀如圖的程序框圖，運行該程序，則輸出的值為（）A．3 B．1C．-1 D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是第二象限角，且，且______.12．在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，且，則的周長的取值范圍是________.13．已知，若，則______.14．設數列的通項公式為，則_____．15．函數，函數，若對所有的總存在，使得成立，則實數的取值范圍是__________．16．在數列中，若，則____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，．（1）求函數的值域；（2）若恒成立，求m的取值范圍．18．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎券中獎的概率；（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．19．如圖1，在直角梯形中，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面(如圖2).為中點(1)求證:；(2)求四棱錐的體積；(3)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由20．如圖所示，是一個矩形花壇，其中米，米．現將矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對角線過點，且矩形的面積小于150平方米．（1）設長為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數，并確定函數的定義域；（2）當的長度是多少時，矩形的面積最小？并求最小面積．21．有n名學生，在一次數學測試后，老師將他們的分數（得分取正整數，滿分為100分），按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖（如圖1），并作出樣本分數的莖葉圖（如圖2）（圖中僅列出了得分在，的數據）.（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（2）分數在的學生中，男生有2人，現從該組抽取三人“座談”，求至少有兩名女生的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據分層抽樣的性質,直接列式求解即可.【題目詳解】因為3個縣人口數之比為,而人口最多的一個縣抽出60人,則根據分層抽樣的性質,有,故選:B.【題目點撥】本題考查分層抽樣,解題關鍵是明確分層抽樣是按比例進行抽樣.2、D【解題分析】

根據弧度制的概念，逐項判斷，即可得出結果.【題目詳解】A選項，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，正確；B選項，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正確；C選項，根據弧度的定義，一定等于弧度，正確；D選項，用角度制度量角，與圓的半徑長短無關，故D錯.故選：D.【題目點撥】本題主要考查弧度制的相關判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.3、B【解題分析】

根據母線長和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結果.【題目詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項：【題目點撥】本題考查錐體體積的求解問題，屬于基礎題.4、D【解題分析】∵函數()的最小正周期為，∴，，令，，，，顯然A，B錯誤；令，可得：，，顯然時，D正確故選D5、C【解題分析】分析：先確定不超過30的素數，再確定兩個不同的數的和等于30的取法，最后根據古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.6、C【解題分析】

由題意可知，基本事件總數為，然后列舉出事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】同時拋擲兩個骰子，共有個基本事件，事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共個基本事件.因此，所求事件的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】

由直線方程可確定其恒過的定點，由點與圓的位置關系的判定方法知該定點在圓內，則可知直線與圓相交.【題目詳解】由得：直線恒過點在圓內部直線與圓相交故選：【題目點撥】本題考查直線與圓位置關系的判定，涉及到直線恒過定點的求解、點與圓的位置關系的判定，屬于常考題型.8、B【解題分析】試題分析：由題意得，設函數，則，所以，所以方程的解所在的區間為，故選B.考點：函數的零點.9、C【解題分析】

根據三角形滿足的兩個條件，設出三邊長分別為，三個角分別為，利用正弦定理列出關系式，根據二倍角的正弦函數公式化簡后，表示出，然后利用余弦定理得到，將表示出的代入，整理后得到關于的方程，求出方程的解得到的值，【題目詳解】解：設三角形三邊是連續的三個自然，三個角分別為，

由正弦定理可得：，

，

再由余弦定理可得：，

化簡可得：，解得：或（舍去），

∴，故三角形的三邊長分別為：,故選：C.【題目點撥】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于中檔題.10、D【解題分析】

從起始條件、開始執行程序框圖，直到終止循環.【題目詳解】，，，，，輸出.【題目點撥】本題是直到型循環，只要滿足判斷框中的條件，就終止循環，考查讀懂簡單的程序框圖.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系求出，然后利用誘導公式可求出的值.【題目詳解】是第二象限角，則，由誘導公式可得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用同角三角函數的基本關系和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解題分析】

通過觀察的面積的式子很容易和余弦定理聯系起來，所以，求出，所以.再由正弦定理即可將的范圍通過輔助角公式化簡利用三角函數求出范圍即可．【題目詳解】因為的面積為，所以，所以.由余弦定理可得，則，即，所以.由正弦定理可得，所以.因為為銳角三角形，所以，所以，則，即.故的周長的取值范圍是.【題目點撥】此題考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范圍的題目轉化為求解三角函數值域即可，易錯點注意轉化后角的范圍區間，屬于中檔題目．13、【解題分析】

由條件利用正切函數的單調性直接求出的值．【題目詳解】解：函數在上單調遞增，且，若，則，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查正切函數的單調性，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．14、【解題分析】

根據數列的通項式求出前項和，再極限的思想即可解決此題。【題目詳解】數列的通項公式為，則，則答案．故為：．【題目點撥】本題主要考查了給出數列的通項式求前項和以及極限。求數列的前常用的方法有錯位相減、分組求和、列項相消等。本題主要利用了分組求和的方法。15、【解題分析】

分別求得f（x）、g（x）在[0，]上的值域，結合題意可得它們的值域間的包含關系，從而求得實數m的取值范圍．【題目詳解】∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），當x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．對于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于對所有的x2∈[0，]總存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]?[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得實數m的取值范圍是[1，]．故答案為．【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦函數，著重考查三角函數的性質的運用，考查二倍角的余弦，解決問題的關鍵是理解“對所有的x2∈[0，]總存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含義，轉化為f（x）的值域是g（x）的子集．16、【解題分析】

根據遞推關系式，依次求得的值.【題目詳解】由于，所以，.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據遞推關系式求數列某一項的值，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）根據用配方法求出二次函數對稱軸橫坐標，可得最小值，再代入端點求得最大值，可得函數的值域；（2）由（1）可得的最大值為6，轉化為求恒成立，求出m的取值范圍即可．【題目詳解】（1）因為，而，，，所以函數的值域為．（2）由（1）知，函數的值域為，所以的最大值為6，所以由得，解得或，故實數m的取值范圍為或．【題目點撥】本題考查二次函數的值域及最值，不等式恒成立求參數取值范圍，二次函數最值問題通常求出對稱軸橫坐標代入即可求得最值，由不等式恒成立求參數取值范圍可轉化為函數最值不等式問題，屬于中等題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,且、、兩兩互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”的對立事件為“1張獎券中特等獎或中一等獎”,則利用互斥事件的概率公式求解即可【題目詳解】（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,設“1張獎券中獎”為事件,則,因為、、兩兩互斥,所以故1張獎券中獎的概率為（2）設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件,則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,所以,故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為【題目點撥】本題考查互斥事件的概率加法公式的應用,考查古典概型,考查利用對立事件求概率19、（1）證明見解析（2）（3）存在，【解題分析】

（1）證明DG⊥AE，再根據面面垂直的性質得出DG⊥平面ABCE即可證明（2）分別計算DG和梯形ABCE的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過點C作CF∥AE交AB于點F，過點F作FP∥AD交DB于點P，連接PC，可證平面PCF∥平面ADE，故CP∥平面ADE，根據PF∥AD計算的值．【題目詳解】(1)證明:因為為中點，，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因為平面，故(2)在直角三角形中，易求，則所以四棱錐的體積為(3)存在點，使得平面，且=3:4過點作交于點，則.過點作交于點，連接，則.又因為平面平面，所以平面.同理平面.又因為，所以平面平面.因為平面，所以平面，由，則=3:4【題目點撥】本題考查了面面垂直的性質，面面平行性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．20、（1）,;（2）,.【解題分析】

（1）由可得，，∴．由，且，解得，∴函數的定義域為．（2）令，則，，當且僅當時，取最小值，故當的長度為米時，矩形花壇的面積最小，最小面積為