2.2基本不等式第1課時1.理解基本不等式2.能用基本不等式解決簡單的最值問題

思考：乘法公式在代數式的運算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？知識點：基本不等式前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：?a,b∈R，a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.如果a＞0,b＞0,我們用分別代替上式中的a,b，可得到什么結論？當且僅當a=b時，等號成立.替換后得到：即：即：基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.基本不等式幾何平均數算數平均數正數a,b正數a,b注：a,b均為正數提問：能否直接利用不等式的性質推導出基本不等式呢？只要把上述過程倒過來，就能直接推出基本不等式了．顯然，⑤成立，當且僅當時，等號成立.要證①要證②，只要證

③只要證②要證③，只要證

④要證④，只要證

⑤分析法：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.探究如圖,AB是圓的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？可證△ACD∽△DCB則有，則．由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數兩數的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0重要不等式與基本不等式的比較例1已知x>0，求的最小值.解：因為x>0，所以因此所求的最小值為2.當且僅當即x2=1，x=1時，等號成立，思考：這里2只是

的一個取值，試想一下當y0＜2時，

成立嗎？這時候能說明y0是的最小值嗎？能夠利用基本不等式求代數式最值的條件：

代數式能轉化為兩個正數的和積的形式，它們的和或者積是一個定值，不等式中的等號能夠取到，即“一正、二定、三相等”.歸納總結例2已知x，y都是正數，求證：證明：因為x，y都是正數，所以（1）如果xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值；（2）如果x+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最大值；（1）當積xy等于定值P時，所以，x+y≥2,當且僅當x=y時，上式等號成立.所以，當x=y時，和x+y有最小值.兩個正變量積為定值，則和有最小值，當且僅當兩變量值相等時取最值.簡記“積定和最小”.例2已知x，y都是正數，求證：（2）如果x+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最大值；（2）當積x+y等于定值S時，所以，,當且僅當x=y時，等號成立.所以，當x=y時，積xy有最大值.兩個正變量和為定值，則積有最大值，當且僅當兩變量值相等時取最值.簡記“和定積最大”.1.已知a>0，b>0，a+b=18,求ab的最大值.練一練解：∵∴當且僅當a=b=9時，等號成立，所以，ab的最大值為812.已知x，y都是正數，且x≠y，求證.練一練