《等差數列前n項

和的公式》

教學目標

1、掌握等差數列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

2、通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程

中培養學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

3、通過對公式從不同角度、不同惻面的剖析，培養學生思維的

靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

4、公式的發現反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學生受

到辯證唯物主義思想的熏陶。

教學重點：等差數列前n項和的公式。

教學難點：等差數列前n項和的公式的靈活運用。

教學方法：啟發、討論、引導式。

教具：現代教育多媒體技術。

教學過程

一、創設情景，導入新課。

師：上幾節，我們已經掌握了等差數列的概念、通項公式及其有

關性質，今天要進一步研究等差數列的前n項和公式。提起數列求和,

我們自然會想到德國偉大的數學家高斯"神速求和"的故事，小高斯上

小學四年級時，一次教師布置了一道數學習題："把從1到100的自

然數加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案

5050,這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算

出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀末的

新高斯。（教師觀察學生的表情反映，然后將此問題縮小十倍）。我們

來看這樣一道例題。

例1,計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討

論后，讓學生自行發言解答。

生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個11,得到55。

生2：可設S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據加法交換律，又可寫

成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2s=11+10+……+11=10X11=110

10個

所以我們得到S=55,

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計算出1到100所有自然數的各的方法，和上述兩

位同學的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個101,所以

1+2+3+……+100=50X101=5050。請同學們想一下，上面的方法用到等

差數列的哪一個性質呢？

二、教授新課（嘗試推導）

師：如果已知等差數列的首項al,項數為n,第n項an,根據

等差數列的性質，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上

面的例子同學們自己完成推導，并請一位學生板演。

生4：Sn=al+a2+.....an-1+an也可寫成

Sn=an+an-l+.....a2+al

兩式相力口得2Sn=(al+an)+(a2+an-l)+……(an+al)

n個

=n(al+an)

所以Sn=(l)

師：好！如果已知等差數列的首項為al,公差為d,項數為n,

則an=al+(n-l)d代入公式⑴得

Sn=nal+d(ll)

上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數列的前n項和公式。公式(I)

是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式(上底+下底)義高

彳2相類比，這里的上底是等差數列的首項al,下底是第n項an,

高是項數n。引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？(al,d,n,

an,Sn),它們由哪兒個關系聯系？Lan=al+(n-l)d,Sn==nal+d］；這

些量中有幾個可自由變化？(三個)從而了解到：只要知道其中任意

三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一

些應用。

三、公式的應用(通過實例演練，形成技能)。

1＞直接代公式(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量例2、計算：

(1)1+2+3+……+n

(2)1+3+5+……+(2n-l)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+……+(2n-l)-2n

請同學們先完成(1)-(3),并請一位同學回答。

生5：直接利用等差數列求和公式(I),得

(1)1+2+3+.....+n=

(2)1+3+5+……+(2n-l)=

(3)2+4+6++2n==n(n+l)

師：第(4)小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運

用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？小組討論后，讓學生發言

解答。

生6：(4)中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項

分開，可看成兩個等差數列，所以

原式=[1+3+5+……+(2n-l)]-(2+4+6+……+2n)

=n2-n(n+l)=-n

生7：上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為

故可得另一解法:

原式=-1-1-……-l=-n

n個

師：很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到

好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數列的項數，否則會

引起錯解。

例3、(1)數列｛an｝是公差d=-2的等差數列，如果al+a2+a3=12,

a8+a9+al0=75,求al,d,SlOo

生8：(1)由al+a2+a3=12得3al+3d=12,即al+d=4

Xd=-2,/.al=6

.*.S12=12al+66X(-2)=-60

生9：(2)由al+a2+a3=12,al+d=4

a8+a9+al0=75,al+8d=25

解得al=l,d=3.*.S10=10al+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式。在Sn

公式有5個變量。已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩

個變量(知三求二)，請同學們根據例3自己編題，作為本節的課外

練習題，以便下節課交流。

師：(繼續引導學生，將第(2)小題改編)

①數列｛an｝等差數列，若al+a2+a3=12,a8+a9+al0=75,且Sn=145,

求al,d,n

②若此題不求al,d而只求S10時，是否一定非來求得al,d不

可呢？引導學生運用等差數列性質，用整體思想考慮求al+alO的值。

2、用整體觀點認識Sn公式。

例4,在等差數列｛an｝,(1)已知例+a5+al2+al5=36,求S16；

(2)已知a已20,求S11。(教師啟發學生解)

師：來看第(1)小題，寫出的計算公式S16==8(al+a6)與已知相

比較，你發現了什么？

生10：根據等差數列的性質，有al+al6=a2+al5=a5+al2=18,所

以S16=8X18=144o

師：對！（簡單小結）這個題目根據已知等式是不能直接求出al,

al6和d的，但由等差數列的性質可求al與an的和，于是這個問題

就得到解決。這是整體思想在解數學問題的體現。

師：由于時間關系，我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一

一剖析，引導學生觀察當dWO時，Sn是