中點問題一--斜中半 中點問題一--斜中半模型講解【定理：斜中半】已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC的中線，則：BC＝2AD．【證明】：延長AD到E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是斜邊BC的中線∴BD＝CD∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE∴△ADB≌△EDC（SAS）∴AB＝CE，∠B＝∠DCE∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC＝EA∵AE＝2AD∴BC＝2AD．【逆定理】如圖，CD是△ABC的中線，CD＝AB．則△ABC為直角三角形．【證明】：∵CD是△ABC的中線∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC為直角三角形．【模型一】在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；連接EC，取EC的中點M，連接DM和BM．若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，求證：，且．則：（1）BM＝DM（2）BM⊥DM【證明】：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵點M是CE的中點，∴BM＝CE，DM＝CE，∴BM＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∴∠BMD＝2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM．【模型二】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AB的長度恒定，CD是斜邊AB的中線，P為平面內一定點（在C運動軌跡之外），連接PC，則：PC+CD的最小值為PD．【證明】：∵AD是斜邊BC的中線∴BD＝CD=AD，且長度一定∴C的運動軌跡為：以D為圓心，CD為半徑的圓上。∵當P、C、D三點不共線時，PC+CD＞PD∴當P、C、D三點共線時，PC+CD=PD∴PC+CD的最小值=PD例題演練例題演練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【解答】解：連接AH，CH，∵在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中點，∴AH＝CH＝BD．∵點G時AC的中點，∴HG是線段AC的垂直平分線，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故選：B．2．如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的中點，連接CD，將△BCD沿著CD翻折，得到△ECD，CE與AB交于點F，連接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，則點C到AB的距離為（）A． B．4 C． D．2【解答】解：連接BE，延長CD交BE于點G，作CH⊥AB于點H，如圖所示，由折疊的性質可得：BD＝DE，CB＝CE，則CG為BE的中垂線，故BG＝，∵D為AB中點，∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，即2∠DEB+2∠DEA＝180°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，即∠BEA＝90°，在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：BE＝＝＝，∴BG＝，∵S△ABC＝2S△BDC，∴2×＝，∴CH＝＝＝．故選：C．3．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，則CF的最小值為（）A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3【解答】解：如圖取AB的中點E，連接EF、EC．∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，∴CE＝BC?sin60°＝3，∵∠AFB＝90°，AE＝EB，∴EF＝AB＝3，∴CF≥EC﹣EF，∴當E、F、C共線時，FC的值最小，最小值為3﹣3，故選：D．強化訓練強化訓練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，點E為AC的中點，∠DBE＝30°，BD＝2，則BC的長為．2．如圖，在△ABC中，AB＝6，D、E分別是AB、AC的中點，點F在DE上，且DF＝3FE，當AF⊥BF時，BC的長是．二．選擇題（共6小題）3．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°4．如圖，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D點，CE⊥AB于E點，F，G分別為BC、DE的中點，若ED＝10，則FG的長為（）A．2B． C．8 D．9如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是邊AB，CD上的點，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，則AB的長為（）A．8 B．8 C．4 D．66．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．2+2 B．2 C．2 D．67．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D為AB上一動點（不與點A重合），△AED為等邊三角形，過D點作DE的垂線，F為垂線上任一點，G為EF的中點，則線段BG長的最小值是（）A．6 B．9 C．3 D．68．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（3，4），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由．10．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；連接EC，取EC的中點M，連接DM和BM．（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖（1），求證：BM＝DM，且BM⊥DM；（2）如果將圖（1）中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖（2），那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給出證明．1．（2020?重慶中考真題）△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點D，E為線段AD上一點，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側構造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點．（1）如圖1，EF