2021年中考數學一輪復習過關訓練匯編

專題13二次函數的應用

一、選擇題

1.二次函數夕=。》2+以+。(a*0)的圖象如圖所示，對稱軸為x=l,下列結論中：①abc>0；②2a+6=0；

③從一4ac>0；④。-b+c>0；⑤34+cV0.正確的個數是().

【答案】B

【分析】

①根據拋物線開口向下可得。<0,對稱軸在y軸右側，得6>0,拋物線與y軸正半軸相交，得c>0,進而

即可判斷；

b

②根據拋物線對稱軸是直線x=l，即-丁=1,可得6=-2a,進而可以判斷；

2a

③根據拋物線與x軸有兩個交點可得結論；

④當x=T時，y<0,即a-b+cVO,即可判斷；

⑤根據6=-2。，可得3a+c<0,即可判斷.

【詳解】

解：①根據拋物線開口向下可知：

因為對稱軸在V軸右側，

所以6>0,

因為拋物線與V軸正半軸相交,

所以c>0,

所以abc<0,

所以①錯誤；

②因為拋物線對稱軸是直線X=\,

HP---=1,

2a

所以b=-2a,

所以8+2用0,

所以②正確；

③由拋物線與x軸有兩個交點

勖2—4。。>0

故③正確；

④當x=-l時，y<0,即q-b+c<0,

故④錯誤；

⑤因為拋物線對稱軸是直線x=l,

所以b=?2a,

當x=-l時，yVO,即Q-b+cVO,

03a+c<O

故⑤正確，

團正確的有：②③⑤共3個，

故選：B

【點睛】

本題考查了：次函數圖象與系數的關系，解決本題的關鍵是掌握二次函數圖象和性質.

2.二次函數y=2f+3x+l的圖象與x軸交點的個數為（）

40個8.1個C.2個D.1個或2個

【答案】C

【分析】

根據二次函數與一元二次方程的關系，當產0時，判斷方程2x2+3x+l=0的根的情況即可.

【詳解】

解：@fe2-4ac=32-4x2xl=l>0,

回二次函數y=Z，+3x+1的圖象與x軸有兩個不同交點，

故選：c.

【點睛】

考查二次函數與一元二次方程的關系，利用根的判別式判斷當y=0時一元二次方程的根的個數是解決問題

的關鍵.

3.根據下列表格的對應值：

X00.511.52

x~+12x—15-15-8.75-25.2513

判斷方程f+i2x_15=0一個解的取值范圍是（）

A.0<x<0.5B.0.5<%<1

C.1<x<1.5D.1.5<x<2

【答案】C

【分析】

根據估算一元二次方程的近似解的方法：由于x=l時，X2+12X-15=-2；X=L5時，x2+12x-15=5.25.

則在1和1.5之間有一個值能使X2+12X-15的值為0,于是可判斷方程X2+12X-15=0一個解x的范圍

為

【詳解】

解：回x=l時，X2+12X-15=-2.

x=1.5時，/+1215=5.25，

團方程V+12X-15=0一個解x的范圍為

故選：C.

【點睛】

本題考查了估算一元二次方程的近似解，掌握用列舉法估算一元二次方程的近似解的方法是解題的關鍵.

4.如圖是二次函數y=62+以+或。彳0）的部分圖象，使成立的X的取值范圍是（）

y,

A.x>—1B.x<-\C.-l<x<3D.xW-1或xN3

【答案】C

【分析】

觀察函數圖象在尸-1上和上方部分的x的取值范圍便可.

【詳解】

解：由函數圖象可知，當時■，二次函數y=?2+法+”。工0)不在y=-l下方部分的自變量x滿足：-1女￡3,

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數與不等式，此類題目，利用數形結合的思想求解是解題的關鍵.

；，結合圖象分析

5.如圖，拋物線y=aN+6x+c(-0)與x軸交于點(-3,0),其對稱軸為直線工=

下列結論:

①abc>0；

②3a+c、>0：

③當x<0時，y隨x的增大而增大;

④吐4"cvo；

4a

⑤若〃(m<n)為方程。(x+3)(x-2)+3=0的兩個根，則加V-3且〃>2.

其中正確的結論有(

A.5個8.4個C.3個D2個

【答案】B

【分析】

根據拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及過特殊點時相應。、Ac之間的關系，進行綜合

判斷即可.

【詳解】

解：由拋物線y="2+bx+c（30）與x軸交于點（-3,0）,其對稱軸為直線x=-g可得，

9a-3/?+c=0,--=-—,即a=6,與x軸的另一個交點為（2,0）,4a+2b+c=0,

2a2

拋物線開口向下，a<0，b<0,

拋物線與y軸交于正半軸，因此c>0,

所以，ahc>0,因此①正確；

由9。-3b+c=0,而a=b,

所以6a+c=0,又a<0,

因此3a+c>0,所以②正確；

拋物線的對稱軸為x=-g,“V0,因此當'時，'隨x的增大而增大，

所以③不正確；

由于拋物線的頂點在第二象限，所以土”也>0,因此8二處<0,故④正確；

4a4a

拋物線與X軸的交點為（-3,0）（2,0）,

因此當y=-3時，相應的x的值應在（-3,0）的左側和（2,0）的右側，

因此加<-3,n>2,所以⑤正確；

綜上所述，正確的結論有：①②④⑤，

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與系數的關系，從圖象中獲取有效信息是解答

的關鍵.

二、填空題

6.小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，一邊與這條邊上的高之和為40cm,則這個三角形

的最大面積是cm2.

【答案】200

【分析】

表示出這邊上的高，然后利用三角形的面積公式列式整理，根據二次函數的最值問題解答.

【詳解】

解:設邊長為xcm,則邊上的高為(40-x)cm,

II,

三角形的面積=5(40-%卜=一5(%—20)一+200,

1

四一<0,

2

取=20時，三角形的面積有最大值為200,

故答案為：200.

【點睛】

本題考查了二次函數的最值問題，主要利用「三角形的面積，整理出二次函數的頂點式解析式的形式是解

題的關鍵.

7.在平面直角坐標系中，先將拋物線y=R+x-2關于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關于y軸作軸

對稱變換，那么經兩次變換后所得的新拋物線的解析式為.

【答案】尸-x2+x+2

【分析】

根據平面直角坐標系中，二次函數關于x軸、y軸軸對稱的特點得出答案.

【詳解】

解：先將拋物線y=/+x-2關于x軸作軸對稱變換，可得新拋物線為y=-/-x+2；再將所得的拋物線y

=-/一x+2關于y軸作軸對稱變換，可得新拋物線為、=-『+x+2.

故答案為：y=-N+x+2.

【點睛】

本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知關于x軸、y對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵.

8.拋物線y="2+bx+c的部分圖象如圖，則當y>3時，x的取值范圍是.

【答案】0<x<2

【分析】

根據拋物線與y軸的交點坐標和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與x軸的另一個交點，然后根據圖象

即可求得結論.

【詳解】

解：回拋物線？=。小+法+。（”（J）與y軸的交點坐標為（0,3）,對稱軸為x=-1,

回點（0,3）關于對稱軸的對稱點為（2,3）,

由圖象可知，當y>3時，x的取值范圍是0VxV2.

故答案為：0<x<2.

【點睛】

本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與不等式，熟練掌握二次函數的對稱性，利用數學結合思想

求不等式的解集是解答的關鍵.

9.如圖，R/0O/B的頂點4（-2,4）在拋物線、="2上，將放00/8向右平移得到自Oi小囪，平移后的OBi

與拋物線交于點尸，若點尸將線段4Oi分成1：3兩部分，則點尸的坐標為.

【答案】（1,1）或（、回，3）

【分析】

先根據待定系數法求得拋物線的解析式，作PQ取軸于0,得到「軟小囪，通過數據線系數從而求得尸的縱

坐標為2,代入求得的解析式即可求得P的坐標.

【詳解】

解：0/?旭048的頂點/（-2,4）在拋物線卜="2上,

04=4。,解得a=l,

回拋物線為y=x2,

回點4（-2,4）,

3L4B=4,0B—2,

日將Rt^OAB向右平移得到回。4囪，

'SlA\B\=AB—4,O\B\—OB=2,

作尸0ax軸于。，

臚加出，

mPO\Q^A\B\O\,

團組=也，

A4*

回點尸將線段小。分成1：3兩部分，

P0I3

團“八]=一或一,

4。44

S\PQ=\或3,

朋的縱坐標為1或3,

當y=l時，代入y=N,解得xi=l,xi=-1,

ISP（-1,1）（不合題意舍去）或（1,1）；

當y=3時，代入》=》2,解得回=百，X2=-，

臚（-6，3）（不合題意舍去）或（外，3）；

綜上，尸點的坐標為（1,1）或（6,3）;

故答案為（1,1）或（6,3）.

y

B°\BXQX

【點睛】

本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質，根據

題意求得尸點坐標是解題的關鍵

10."水晶晶南潺”的美食文化中以特有的雙交面出名，盛面的瓷碗截面圖如圖1所示，碗體OEC呈拋物線

狀（碗體厚度不計），點E是拋物線的頂點，碗底高Eb=lcm,碗底寬AB=26cm,當瓷碗中裝滿面湯時，

液面寬CC=83cm,此時面湯最大深度EG=6cm,將瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2,當

L48K=30時停止，此時液面C”到cm；碗內面湯的最大深度是cm.

AFBIKBI

圖1圖2

【答案】2百千

【分析】

以尸為原點，直線為x軸，直線￡尸為y軸，建立平面直角坐標系，得出反C的坐標用待定系數法求

拋物線的解析式，將瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，當NABK=3O時停止，所以旋轉前C”與水平方

向的夾角為30。，即NOC"=30。，求出C"與y軸的交點坐標G,把點C、G代入求出直線CH的解析式，

液面C"到平面/的距離文際就是點B到直線CH的距離，求出垂直于CH的函數解析式，聯立兩個函數求

出交點坐標，用兩點間的距離公式求出B點到CH的距離；將直線CH向下平移與拋物線只有一個交點時，

兩直線間的距離最短，利用二次函數與一次函數的交點問題求出平移后的函數解析式，作GJ04,得出直角

三角形，求出兩條直線間的距離即為碗內面湯的最大深度是.

【詳解】

解：以尸為原點，直線為x軸，直線E戶為y軸，建立平面直角坐標系，如圖:

F(0,0),E(0,1),C(4A/3.7),D(-45/3,7),

設拋物線的解析式為：y=ax1+\,

把點C(4后，7)代入得，

7=a(4商+1,

解得：

O

12I

團y=-x+1,

8

將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2,當NA8K=30時停止，所以旋轉前C”與水平方向的夾角為

30。，即NDCH=30°

設直線C/7的解析式為y=丘+/乙與y軸交于點G,如圖：

由題意知：點C(4有，7),

S1NDCH=30,CK=4色，

團KG=tan30。=4，即點G(0,3)

7=4收+。

0<,

3=0+/?

kB

解得：\3，

b=3

V3

回直線CH的解析式為:y=『+3,

0液面CH到平面/的距離實際就是點B到直線CH的距離，

過8作BLOCH,與CH交于點L,即BL的長為液面CH到平面I的距離.

團設直線比的解析式為：y=-y/3x+b],過點8(JL0),

解得：4=3,

回直線8乙的解析式為：y=—6X+3，

y=-V3x+30

rx=O

聯立〈、Q,解得〈,

y=&+31y=3

I3

即點L(0,3)與G點重合，

0BL=^(V3-O)2+(O-3)2=2技

團液面CH到平面/的距離為：

把直線C"：y=gx+3,向下平移小個單位得到直線4：y=^x—m，當直線4與拋物線只有一個交

點/時，兩平行線之間的距離最大，過G作(7龍4,交4丁點J,與y軸交于點A/,GJ的長即為碗內面湯的

最大深度.

整理為：-x2---x+l+/n=O,

83

團只要一個交點，

012=0,

即。2—44o=

解得：tn3

回直線《的解析式為：y="x+J_,

33

1

0點M(0,-),

3

GM=3.—1=—8，

33

0CH與水平血的夾角為30°,團直線4與水平面的夾角為30。，即團0GJ=3O。,

0在對0GM/中，

.,,?_8G4G

GriJ=GrMcoss0n=—x=―-—,

323

即碗內面湯的最大深度為：述

3

故答案為：2，5；3G

【點睛】

本題考查了二次函數，一次函數以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定系數

法求解析式是解題的關鍵.

三、解答題

11.已知二次函數y=—2f+4x+6.

(1)求出該函數的頂點坐標，圖象與x軸的交點坐標，

(2)當x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？當x在什么范圍內時，y隨x的增大而減小？當x在什么

范圍內時，y>0?

【答案】(1)頂點坐標(1,8),函數圖象與x軸交點坐標(3,0)；(2)當玉,1時，N隨著x的增大

而增大，當xNl時，y隨著x的增大而減小；當-l<x<3時，y>0

【分析】

(1)根據頂點坐標的公式即可求解，然后令方0解方程求出x的值，即可得到與x軸的坐標即可；

(2)根據函數圖象分別解答即可；

【詳解】

(1)0a=—2,b=4,c=6,

b44ac-b24x(-2)x6-160

圖----==1,------------=8,

2a2x(-2)4a4x(-2)

團頂點坐標(1,8),

當y=0時，-2x2+4x+6=0.

0^=3,x2=—1,

田函數圖象與X軸交點坐標(—1,0),(3,0)

(2)由(1)知函數的對稱軸為：x1,

0a=-2<0,

回函數圖象開口向下,

團當％,1時，y隨著x的增大而增大,

當龍》1時，y隨著x的增大而減小;

山（1）值函數圖象與X軸的交點坐標為：（-1,0）,（3,0）

回當-l<x<3時，y>0.

■x>

【點睛】

本題考查二次函數的圖象與二次函數的性質，涉及到二次函數的圖象頂點坐標、二次函數的對稱軸、二次

函數的增減性，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象及其性質.

12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=辦2+笈+。（4。0）交》軸于48兩點（點A在點8左側），

交軸于C點，頂點為。點.其中A（T,0）,OC=OB=3OA.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）在拋物線上A點左側的部分上存在點P,使得NA4O=NPR4，直接寫出點P的坐標；

（3）在x軸是否存在點軸是否存在點尸，使得以A、D、E、尸四點為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=f_2x—3;（2）尸點坐標為（-3,12）；（3）E點坐標為（2,0）或（-2,0）或（0,0）.

【分析】

（1）由題意可得/、8、C三點的坐標，再由待定系數法可以得到拋物線的表達式：

（2）可設點P為（x,V-2x-3）,然后根據己知條件可得關于x的方程，解方程即可得問題解答；

（3）設￡為（x,0）,F為（0,j）,根據題意列出關于x、y的方程組，解方程組可以得到答案.

【詳解】

解：（1）由題意可得8為（3,0）,C為（0,-3）,

把/、8、C三點坐標代入拋物線表達式可得：

0=a-b-^-c

<0=9。+3b+c,

-3=c

解之可得：b=-2,c=-3,

回該拋物線的表達式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖分別過P、。作尸儂軸、。麗丫軸于八E,

PFFB

0-----=------，

DEEA

由（1）可知。點坐標為（1,-4）,

□DE=4,EA=\-(-1)=2,

解之可得x=3(舍去)或x=-3,

眇=X2-2X-3=(-3)2-2x(-3；—3=12,

那點坐標為(-3,12)；

(3)可分兩種情況：

①如圖，力。為平行四邊形的邊,過。作OG取軸于G,設￡為(x,0),F為(0,y),

則由題意可得：^EOF^AGD,

EFFOE0

團---=-----=-----，

ADDGAG

則,…二2二

X

/1+1)2+("0)2，

42

x=2{x=-2

解之可得：＜/或〈

[y=4[y=-4

②如圖，為平行四邊形的對角線，貝l"￡0ED,

團尸坐標為（0,-4）,

設E為（x,0）,則由題意可得：x-（-1）=FD=1,

取=0,此時E為（0,0）,

團當E點坐標為（2,0）或（-2,0）或（0,0）時，以/、D、E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點睛】

本題考查二次函數的綜合應用，熟練掌握二次函數的圖象與性質、三角形相似的判定與性質、利用勾股定

理求兩點距離是解題關鍵.

13.某商場經營某種品牌的玩具，購進的單價是30元，根據市場調查，在一段時間內，銷售單價是40元

時，銷售量是600元，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具.

（1）設該種品牌玩具的銷售單價為x元，請你分別用x的代數式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲利

利潤W元；

（2）在（1）的條件下，若商場獲利了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應定為多少元？

（3）在（1）的條件下，若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低于45元，且商場要完成不少于480件的銷

售任務，求商場銷售該品牌玩具獲利的最大利潤是多少元？

【答案】（1）y=-10x+1000,W=-1Ox2+1300x-30000;（2）50元或80元；（3）商場銷售該品牌

玩具獲利的最大利潤是10560元

【分析】

（1）根據銷售量與銷售單價之間的變化關系就可以直接求出y與x之間的關系式；根據銷售問題的利潤=

售價-進價就可以表示出卬與x之間的關系；

（2）根據題意得方程求得xi=50,》2=80,于是得到結論；

（3）根據銷售單價不低于45元旦商場要完成不少于480件的銷售任務求得45<r<52,根據二次函數的性質

得到當45<r<52時，夕隨x增大而增大，于是得到結論.

【詳解】

解：(1)依等量關系式"銷量=原銷量-因漲價而減少銷量，總利潤=單個利潤x銷量"可列式為:

>-600-10(x-40)=-10x+1000；

2

W=(x-30)(-10A-+1000)=-10x+1300.r-30000

(2)由題意可得:-10x2+1300x-30000=10000,

解得:x=50或x=80,

回該玩具銷售單價x應定為50元或80元

x>45?

(3)由題意可得:'-10x+1000>480

解得:45京452,

郎=-10/+]300x-30000=-10(x-65)2+12250,

0-10<0,少隨x的增大而減小，

又045W52,

團當x=52時，比有最大值，最大值為10560元，

回商場銷售該品牌玩具獲利的最大利潤是10560元.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解法的運用，二次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，解答時求

出二次函數的解析式是關鍵.

14.如圖，己知NMON=90°,。7是NMON的平分線，A是射線上一點，O4=8cm.動點P從

點A出發，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點。從點0出發，也以1cm/s的

速度沿ON豎直向上作勻速運動.連接PQ,交。T于點3.經過。、P、。三點作圓，交。T于點。，連

接尸。、QC.設運動時間為？(s),其中()<f<8.

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在實數f,使得線段08的長度最大？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)8cm；(2)存在，當r=4時，線段08的長度最大，最大為2技加，理由見解析.

【分析】

(1)根據題意可得。尸=8-/,OQ=t,由此可求得OP+OQ的值;

(2)過5作8。，。尸，垂足為。，則BD//OQ,設線段5。的長為X,可得5O=OO=x,

OB=&BD=&，PQ=8—r—x,根據BQ//OQ可得△BBOS/^PQO,進而可得加=而，由

此可得尤=選丁，由此可得08=&?選二《=一孝。—4)2+2血，則可得到答案.

【詳解】

解：(1)由題可得：0P=8—/,。。="sOP+OQ=S-t+t=8(cm).

(2)當，=4時，線段。8的長度最大.

如圖，過8作6。_10尸，垂足為￡>,則BD//OQ.

回。7■平分NMON,

13/80。=NOB。=45°,

國BD=OD,OB=42BD-

設線段8。的長為x,則BO=OO=x,08=080=缶，PD=S-t-x.

^BDHOQ,

QPBDS^PQO,

PDBD

團---=----,

OP0Q

8-t-xx._8-2

團------=一,解得:X=-----

8t8

團神="號=一爭f+26

團當t=4時，線段。8的長度最大，最大為2近cm

本題考查了作輔助線構造相似三角形，解直角三角形、二次函數的最值問題等相關知識：作5。_LPO構造

相似相似三角形，將3。轉化出來用其他線段表示，化簡成二次函數的形式是關鍵.

15.如圖所示，動點A、3同時從原點。出發，運動的速度都是每秒1個單位，動點A沿％軸正方向運動，

動點3沿》軸正方向運動，以0A、。8為鄰邊建立正方形。ACB,拋物線yn—d+bx+c經過3、。兩

點，假設A、3兩點運動的時間為，秒：

(1)直接寫出直線的解析式；

(2)當，=3秒時，求此時拋物線的解析式；此時拋物線上是否存在一點。，使得=6?若存在，求

出點。的坐標；若不存在，說明理由；

(3)在(2)的條件下，有一條平行于》軸的動直線/,交拋物線于點E,交直線0C于點尸，若以。、B、

E、F四個點構成的四邊形是平行四邊形，求點尸的坐標；

(4)在動點A、3運動的過程中，若正方形。AC8內部有一個點P,且滿足=CP=2,

NOPA=135°,直接寫出此時AP的長度.

【答案】(1)蚱％；(2)存在，。(一1,一1),2(4，-1)；(3)點廠的坐標為(2,2),(1-V7,1-V7)^

(1+V7,1+S)；(4)AP=l.

【分析】

(1)根據正方形的性質可得0/IOC=45。，然后寫出直線OC的解析式即可；

(2)求出04、OB,然后寫出點8