第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年河南省商丘市名校聯考高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.圓C：x2+y2A.4 B.2 C.2 D.2.已知直線l1：x+y+1=0，l2：xA.22 B.524 3.如果直線2x?4y+1=0A.?2 B.?12 C.14.如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1A.45c?45a?3105.圓x2+y2=2A.相交 B.相切 C.內含 D.以上均有可能6.若圓O：x2+y2=4過雙曲線x2a2?A.2 B.3 C.27.方程kx?1+1A.(0,13] B.(?8.金剛石是天然存在的最硬的物質，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示.這就是說，圖2中有AE=BE=CE=DE，若正四面體A.AE?CD=0 B.E二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的有(

)A.直線的斜率越大，傾斜角越大

B.若直線y=kx+b經過第一、二、四象限，則(k,b)在第二象限

C.過點(?2,?3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為10.已知在直角坐標系中，等邊△ABC的頂點A與原點重合，且AB的斜率為32A.?35 B.?2311.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點A.AP⊥BC B.P∈平面BCC112.已知直線l：x?y?1=0交橢圓C：x2a2+y2b2A.橢圓C離心率為22

B.橢圓C的焦距是23

C.△AOB的面積是45三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.向量m=(0,1,014.若方程x24?t+y215.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，16.定義：圓錐曲線C：x2a2+y2b2=1的兩條相互垂直的切線的交點Q的軌跡是以坐標原點為圓心，a2+b2為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓C的方程為x26+y23=1，P是直線l四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

(1)已知直線l過點P(2,?1)，在x軸和y軸上的截距互為相反數，求直線l的方程；

(2)已知△ABC中，A18.(本小題12分)

已知A(?1,0)，B(2,0)，動點C滿足|CA||CB|=12，直線l：mx?19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB/?/CD，且CD=2AB=2，BC=20.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的雙曲線C過點T(2,3)，且有一條傾斜角為120°的漸近線，直線l：y=k(x?2)與C相交于A，B21.(本小題12分)

某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數學興趣小組發現《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊AB、CD、AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻甍”(如圖2)．

(1)若O是四邊形EBCF22.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點P(a,b)的直線l經過原點，交C于不同兩點A，B，且|AB|=27，|AF1|+|B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：x2+y2?4x?2y+1=2.【答案】B

【解析】解：根據題意，直線l1：x+y+1=0，l2：x+y?32=0，

3.【答案】C

【解析】解：由題知：2×1+(?4)×m=0，

4.【答案】A

【解析】解：連接MN，在△A1MN中，MN=MA1+A1N，

∵M是A1D1的中點，∴MA1=?A1D12=?AD2=?12b，

∵點N是CA1上的點，且CN：NA1=1：4，

∴A1N5.【答案】D

【解析】解：兩個圓的圓心分別為O1(0,0)，O2(?1,1)，

且圓心O2(6.【答案】B

【解析】解：圓O：x2+y2=4的圓心O(0,0)，半徑為r=2，

因為圓O：x2+y2=4過雙曲線x2a2?y2b2=1的實軸端點，所以a=27.【答案】A

【解析】解：方程kx?1+1?(x?2)2=0有兩相異實根，等價于函數y=kx?1與y=?1?(x?2)2的圖象有兩個交點，

作直線y=kx?1與曲線y=8.【答案】D

【解析】解：如圖所示，O是頂點A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面體的高，

OB是下底面的外接圓半徑，OM是下底面內切圓的半徑，

則BM=1，OM=33，OB=233，AO=22?(233)2=263，

A.∵AE⊥底面BCD，CD?底面BCD，∴AE⊥CD，∴AE?CD=0，故A正確；9.【答案】BD【解析】解：對于A，在[0°,90°)內，直線的斜率越大，傾斜角就越大；

在(90°,180°)時，直線的斜率越大，傾斜角也越大；

在[0°,180°)時，直線的斜率越大，不滿足傾斜角也越大，選項A錯誤；

對于B，若直線y=kx+b經過第一、二、四象限，

則k<0，b>0，所以點(k,b)在第二象限，選項B正確；

對于C，當直線過原點時，直線方程為y=32x，選項C錯誤；

對于D，直線kx10.【答案】AD【解析】解：根據題意，設AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，

則β=α+π3或β=2π3+α，tanα=32，

如圖所示，分2種情況討論：

或

當β=α+11.【答案】AB【解析】解：對于選項A，由12(BP?BC)+12BP=λBB1，得12CP+12BP=λBB1，得λBB1=?12(PC+PB)，

設BC的中點為O，則λBB1=?PO，

∴BB1//PO，

∴OP⊥平面ABC，且BC?平面ABC，

∴OP⊥BC，

連接OA，則OA⊥BC，

又∵OA∩OP=O，OP，OA?平面AOP12.【答案】BC【解析】解：對AB選項，將兩點(0,1)，(3,12)坐標代入橢圓方程中，

得b2=13a2+14b2=1，解得a=2，b=1，可得c=3，

于是e=ca=32，焦距為23，從而知A選項錯誤，B選項正確；

對C選項，記A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的方程為x=y+1，

由x2+4y2=4x=y+1，消去x得5y2+2y?3=0，解得y1=?1，y2=35，

直線l與x軸交于點P(1,0)，則S=12|OP||y13.【答案】π4【解析】解：因為向量m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，

所以cos<14.【答案】(1【解析】解：當曲線表示橢圓時，需4?t>0t?1>04?t≠t?15.【答案】3【解析】解：因為PA⊥底面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，

以A為原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z

軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，

因為E為PC的中點，所以E(12,12,16.【答案】?125或【解析】解：根據蒙日圓定義，橢圓x26+y23=1相應的蒙日圓圓O方程為x2+y2=a2+b2=9，

則由題意可知當∠MPN為直角時P點在圓x2+y2=9上；

圓心(0,0)到直線l：3x?2y+9=0的距離d=|9|32+(?2)2=913<3，即直線l與圓O相交，

設交點為A、B，聯立3x?2y+917.【答案】解(1)根據題意，直線l過點P(2,?1)，在x軸和y軸上的截距互為相反數，

分2種情況討論：

若直線l經過原點，

又由直線經過點(2,?1)，則該直線的斜率為?12，

故其方程為y=?12x，即x+2y=0；

若直線l不經過原點，設其方程為xa?ya=1，

又其過點(2,?1)，則2a+1a=1，

解得a=3，故直線l方程為x3?y3=1，整理可得x?y?3=0；

綜上所述，滿足題意的直線方程為x+【解析】(1)根據題意，分直線是否經過原點兩種情況討論，求出直線的方程，綜合可得答案；

(2)根據題意，設BC交x軸于點M，求出直線AB的斜率以及M的坐標，進而分析求出直線18.【答案】解：(1)設C(x,y)，因為動點C滿足|CA||CB|=12，所以(x+1)2+y2(x?2)2+y2=12，

整理可得x2+y2+4【解析】(1)根據題意，設C(x,y19.【答案】(1)證明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM=2，

可得AM2=3，DM2=6，

過A作AE⊥CD，垂足為E，則DE=1，AE=22，求得AD2=9，

則AD2=AM2+DM2，∴DM⊥AM．

∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，

又PA∩AM=A，∴DM⊥平面PAM，

∵DM?平面PDM，【解析】(1)在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2=AM2+DM2，則DM⊥AM.再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用線面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，進一步得到平面PDM⊥平面PAM；

(2)由(120.【答案】解：(1)設雙曲線C的標準方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，可得漸近線方程為y=±bax，

因為雙曲線C過點T(2,3)，且有一條傾斜角為120°的漸近線，

可得4a2?9b2=1，且?ba=tan120°=?3，解得a=1,b=3，

所以雙曲線C的標準方程為x【解析】(1)設雙曲線C的標準方程為x2a2?y2b2=1，根據題意得到4a2?9b2=121.【答案】解：(1)取CF的中點H，連接GH，OH，如圖所示，

∵四邊形EBCF是矩形，且CB=2BE，

∴O為線段BF與CE的中點，∴OH/?/BC，且OH=12BC，

由圖1可知，AG/?/BC且AG=12BC，EF/?/BC，且EF=BC，

∴在圖2中，AG/?/BC且AG=12BC，

∴AG//OH且AG=OH，

∴四邊形AOHG是平行四邊形，∴AO//GH，

又∵AO?平面GCF，GH?平面GCF，

∴AO/?/平面GCF．

(2)由圖1可知，EF⊥AE，EF⊥BE【解析】(1)取CF的中點H，連接GH，OH，由折疊前的圖形可知，AG/?/BC且AG=12BC，又OH/?/BC，且OH=12BC，所以AG//OH且AG=OH，所以四邊形