對稱問題與圓錐曲線綜合問題知識要點(diǎn)對稱問題是解析幾何中的一個重要問題，主要類型有：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題〔即線段重點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題〕設(shè)點(diǎn)，對稱中心為，那么點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義可知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的垂直平分線，利用“垂直〞“平分〞這兩個條件建立方程，就可以求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般情形如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，那么有可求得；特殊情形：點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為；假設(shè)對稱軸的斜率為，那么可把直接代入對稱軸方程求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo).直線關(guān)于直線軸對稱問題求直線關(guān)于直線的對稱直線有以下兩種解法：轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題；轉(zhuǎn)化為角相等問題〔這種解法文科不予以考慮〕特殊情形：直線和直線平行，那么直線關(guān)于直線對稱的直線也與直線平行，且到的距離等于到的距離，由兩條平行線之間的距離公式即可求得.曲線關(guān)于點(diǎn)，曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心或軸對稱〔這里既可以選擇特殊點(diǎn)，也可以選擇任意點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化〕.一般結(jié)論如下：曲線關(guān)于點(diǎn)對稱的曲線方程是曲線關(guān)于直線的對稱曲線的求法：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，那么與坐標(biāo)滿足從中解出，代入曲線，即應(yīng)用利用坐標(biāo)代換法就可以求出曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程，假設(shè)對稱軸的斜率為，那么可直接代入求得對稱軸曲線方程.解析幾何中對稱問題與函數(shù)圖象中的對稱問題具有一致性，可以互為參照.圓錐曲線的綜合問題主要表達(dá)在探究與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值、參數(shù)范圍問題.定值問題指會處理動曲線〔含直線〕過定點(diǎn)的問題以及會證明與曲線上的動點(diǎn)有關(guān)的定值問題.圓錐曲線中最值問題以及變量的取值范圍問題的求解：一是注意題中圖形的幾何特征，充分考慮圖形的性質(zhì)；二是運(yùn)用函數(shù)思想、建立目標(biāo)函數(shù)、求解最值，也即是幾何法與代數(shù)法兩種不同的處理方法，幾何法常須扣住圓錐曲線的定義并和平面幾何有關(guān)的結(jié)論巧妙結(jié)合，代數(shù)法那么常把有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用配方法、根本不等式、函數(shù)單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性來解.經(jīng)典例題例1橢圓的焦點(diǎn)，且與直線有公共點(diǎn)，求其中長軸最短的橢圓方程.解法一：利用圓錐曲線的定義：先求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，且直線與動橢圓交點(diǎn)為，當(dāng)為直線與橢圓的交點(diǎn)時〔即三點(diǎn)共線〕橢圓的長軸最短，即取，此時橢圓方程為.解法二：設(shè)橢圓為，與直線聯(lián)立方程組并消去得由題設(shè)此時橢圓方程為.解法三：設(shè)橢圓為直線的公共點(diǎn)為，那么有解由輔助角公式上式可以化為，此時橢圓方程為.例2橢圓方程，試確定的取值范圍，使得對于直線在橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對稱.解題策略：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系涉及對稱問題，一般有兩種方法：一是通過韋達(dá)定理處理中點(diǎn)弦問題，得到關(guān)于參數(shù)的的關(guān)系式，再由聯(lián)立可得參數(shù)的范圍，對稱常出現(xiàn)的問題在前面知識講解的時候已經(jīng)闡述；二是巧用“點(diǎn)關(guān)系〞，可以處理弦的中點(diǎn)和斜率問題，但要注意對該直線與曲線是否有兩個公共點(diǎn)，要作出必要的判斷.解法一：設(shè)與直線垂直的直線為，將該直線與聯(lián)立組成方程組得，由題意得又由解法二：設(shè)，的中點(diǎn)，那么兩式相減，得由題意得又在直線上，所以，因為點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以故.例3定值問題橢圓經(jīng)過點(diǎn)兩個焦點(diǎn)為求橢圓的方程；是橢圓上的兩個動點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值.解：〔1〕由題意，可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入這個式子，得，解得〔舍去〕，所以橢圓的方程為.設(shè)直線的方程為，代入得.設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上，又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式之中以代替，可得，所以直線的斜率.例4范圍問題過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn).假設(shè)，求點(diǎn)的軌跡方程；求的取值范圍.解：〔1〕①假設(shè)直線//軸，那么點(diǎn)為②設(shè)直線：，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，那么消去得〔〕由直線與橢圓有兩個不同交點(diǎn)，可得由及方程〔〕得即由于〔否那么直線與橢圓無公共點(diǎn)〕，將以上方程組兩式相除得，代入到方程中，整理得.綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.當(dāng)直線//軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，那么點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以；由方程〔〕得例5最值問題點(diǎn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的最大值是1，最小值是.求橢圓的方程；設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，求線段的長度的最小值；當(dāng)線段長度取得最小值時，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積是？假設(shè)存在，確定點(diǎn)的個數(shù)，假設(shè)不存在，說明理由.解：設(shè)，，那么，，.在線段上，可以看成線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圖形可以知道當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時取得最大，最大值為，所以的最大值為.當(dāng)時，取得最小值，最小值運(yùn)用等面積法可以得到的最小值為，所以的最小值為.又的最大值是1，最小值是，所以，解得，所以橢圓的方程是.直線的斜率為，顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而，由得.設(shè)，那么，又由得故.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.時線段長度取得最小值.由〔2〕知，當(dāng)取最小值時，此時的方程為，要使橢圓上存在點(diǎn)使得的面積是，只需點(diǎn)到直線的距離為，所以在平行于且與的距離等于的直線上.設(shè)直線的方程為，那么由解得或.當(dāng)時，由得，由于，故直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn).當(dāng)時，由得，由于，故直線與橢圓沒有交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)線段長度取得最小值時，在橢圓上僅存在這兩個點(diǎn)，使得的面積是.例6曲線的方程為假設(shè)曲線是橢圓，求的取值范圍；假設(shè)曲線是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是，求此雙曲線的方程；滿足〔2〕的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，假設(shè)存在，求出的直線方程；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕當(dāng)時，曲線表示直線.當(dāng)時，方程為①上式表示橢圓的充要條件是即是或.方程①表示雙曲線的充要條件是，即或或.當(dāng)或時，