2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102．將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．設(shè)和是兩個集合，定義集合，如果，，那么等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：①； ②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合．其中不正確的命題個數(shù)是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則（）A．0 B．1 C． D．6．若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個交點(diǎn)為，則等于（）A． B． C． D．8．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．59．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．10．已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（）A．60條 B．66條 C．72條 D．78條二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．11．已知函數(shù)的反函數(shù)是，則；．12．復(fù)數(shù)，且，若是實數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對可以是．（寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可）13．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 ．（毫克）（小時）14．某籃運(yùn)動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個球的概率 ．（用數(shù)值作答）（毫克）（小時）BBVADC19．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．AABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）20．（本小題滿分13分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）．21．（本小題滿分14分）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)．

參考答案與解析一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分50分．1．答案：選Ｂ解析：由展開式通項有由題意得，故當(dāng)時，正整數(shù)的最小值為5，故選Ｂ點(diǎn)評：本題主要考察二項式定理的基本知識，以通項公式切入探索，由整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得所求。本題中“非零常數(shù)項”為干擾條件。易錯點(diǎn)：將通項公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。2．答案：選Ａ解析：法一由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應(yīng)點(diǎn)，，則，帶入到已知解析式中可得選Ａ法二由平移的意義可知，先向左平移個單位，再向下平移2個單位。點(diǎn)評：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為簡單題。易錯點(diǎn)：將向量與對應(yīng)點(diǎn)的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選Ｃ3．答案：選Ｂ解析：先解兩個不等式得，。由定義，故選Ｂ點(diǎn)評：本題通過考察兩類簡單不等式的求解，進(jìn)一步考察對集合的理解和新定義的一種運(yùn)算的應(yīng)用，體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個集合的差。易錯點(diǎn)：對新定義理解不全，忽略端點(diǎn)值而誤選Ａ，以及解時出錯。4．答案：選Ｄ解析：由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法，可知①②③④均錯,具體可觀察如圖的正方體：但不垂直，故①錯；但在底面上的射影都是故②錯；相交，但異面，故③錯；但異面，故④錯點(diǎn)評：本題主要考察空間線面之間位置關(guān)系，以及射影的意義理解。關(guān)鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。易錯點(diǎn)：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯選Ｂ或Ｃ5．答案：選C解析：法一特殊值法，由題意取，則，可見應(yīng)選C法二令，分別取和，則原式化為所以原式=（分子、分母1的個數(shù)分別為個、個）點(diǎn)評：本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。易錯點(diǎn)：取特值時忽略和是兩個不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認(rèn)為是型而誤選B，看錯項數(shù)而錯選D6．答案：選B解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即即公比不一定為，則命題乙不成立，故選B點(diǎn)評：本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換。要是等比數(shù)列，則公比應(yīng)唯一確定。易錯點(diǎn)：本題是易錯題。由，得到的是兩個等比數(shù)列，而命題乙是指一個等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列的確定性，容易錯選C7．答案：選A解析：由題設(shè)可知點(diǎn)同時滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故由定義可得故原式 ，選A點(diǎn)評：本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的基本量的計算，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的重要性。易錯點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識。8．答案：選D解析：由等差數(shù)列的前項和及等差中項，可得，故時，為整數(shù)。故選D點(diǎn)評：本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項的綜合應(yīng)用，以及部分分式法，數(shù)的整除性是傳統(tǒng)問題的進(jìn)一步深化，對教學(xué)研究有很好的啟示作用。易錯點(diǎn)：不能將等差數(shù)列的項與前項和進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，胡亂選擇。9．答案：選C解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時，滿足，點(diǎn)的總個數(shù)為個，而位于直線上及其下方的點(diǎn)有個，故所求概率，選C點(diǎn)評：本題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計算以及數(shù)形結(jié)合的知識和方法。易錯點(diǎn)：不能數(shù)形直觀，確定點(diǎn)的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A10．答案：選A解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的整數(shù)點(diǎn)共有12個，分別為，，前8個點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A點(diǎn)評：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征。是較難問題易錯點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆。對直線截距式方程認(rèn)識不明確，認(rèn)識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會導(dǎo)致錯誤，胡亂選擇。二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．11．答案：解析：由互反函數(shù)點(diǎn)之間的對稱關(guān)系，取特殊點(diǎn)求解。在上取點(diǎn)，得點(diǎn)在上，故得；又上有點(diǎn)，則點(diǎn)在點(diǎn)評：本題主要考察反函數(shù)的概念及其對稱性的應(yīng)用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。易錯點(diǎn)：運(yùn)算錯誤導(dǎo)致填寫其他錯誤答案。12．答案：或滿足的任意一對非零實數(shù)對解析：由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可知，由題意得，答案眾多，如也可。點(diǎn)評：本題主要考察復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，有一般結(jié)論需要寫出一個具體結(jié)果，屬開放性問題。易錯點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算出錯導(dǎo)致結(jié)果寫錯，或?qū)忣}馬虎，只寫出，不合題意要求。13．答案：解析：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令，顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)時，取得最小值為點(diǎn)評：本題主要考察線性規(guī)劃的基本知識，考察學(xué)生的動手能力作圖觀察能力。易錯點(diǎn)：不能準(zhǔn)確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯，以及把直線間的相對位置搞錯，找錯點(diǎn)的位置而得到錯誤結(jié)果。14．答案：解析：由題意知所求概率點(diǎn)評：本題考察次獨(dú)立重復(fù)試驗中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。易錯點(diǎn)：把“恰好投進(jìn)3個球”錯誤理解為某三次投進(jìn)球，忽略“三次”的任意性。15答案：（I）（II） 解析：（I）由題意和圖示，當(dāng)時，可設(shè)（為待定系數(shù)），由于點(diǎn)在直線上，；同理，當(dāng)時，可得（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室．點(diǎn)評：本題考察函數(shù)、不等式的實際應(yīng)用，以及識圖和理解能力。易錯點(diǎn)：只單純解不等式，而忽略題意，在（II）中填寫了其他錯誤答案。三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運(yùn)算能力．解：（Ⅰ）設(shè)中角的對邊分別為，則由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即當(dāng)時，；當(dāng)時，．17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力．解：（Ⅰ）分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計1001.00樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54（Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．（Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為．18．本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．在中，；設(shè)，在中，，．，ADBCHADBCHV又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyz（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面ADBCVxyz則由．得可取，又，于是，，，．又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由，得ADBCVxADBCVxy于是，，，．又，，即直線與平面所成角的取值范圍為．解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)．ADBCVxADBCVxyz，即．，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個非零法向量，則取，得．可取，又，于是，，關(guān)于遞增．，．即直線與平面所成角的取值范圍為．19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，．21．本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲?，對一切正整數(shù)，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時，，．即．即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．故只需要討論的情形：當(dāng)時，，等式不成立；當(dāng)時，，等式成立